09級《線性代數》（）階段練習題（一）答案一、填空題
1.行列式160.
解：2.排列的逆序數等於3，排列的逆序數等於7.
解：排列排列的逆序數之和等於10.因此排列的逆序數等於3，則排列的逆序數等於7.
3.已知四階行列式中第三列元素依次為，它們的余子式依次為，則=-15.
4.矩陣，則.
5.為7階方陣，且滿足,則0.
解:.6. .
解:事實上故.
7.設階方陣的行列式，則.
解：事實上.
8.設矩陣，則.
解:因此
.9.設分塊矩陣,其中,可逆,則.
10.設，且，則.
二、選擇題
1.如果,則.
.2.如果，則.
.3.下列行列式中()的值必為零.
.4.如果線性方程組有非零解，則.
.5.是乙個範德蒙行列式，的第四行元素的代數余子式之和.
.解: .
6.均為階矩陣，且，則必有.
.7.是階可逆矩陣，是的伴隨矩陣，則.
.8.均為階方陣，且，則必有.
.9.均為階可逆矩陣，下列諸式是正確的.
.10.、、、均為同階矩陣，為單位矩陣，若，則下列諸式中是正確的.
.三、計算題
1.計算行列式.解:
2.計算行列式.解:
3.計算行列式.解：
.4.計算行列式.解：
5.當取何值時，齊次線性方程組
有非零解?
解：方程組的係數行列式
當或時，，方程組有非零解.
6.設為三階矩陣，為的伴隨陣.已知,求.
解：.或.
7.已知三階矩陣的逆矩陣,試求.
解：，求.
.8.解矩陣方程,其中,.
解：,以下求
將代入(*)式可得
.9.已知，其中,求.
解： .
10.已知階方陣滿足,試證可逆，並求.
解：由.由定理2.2的推論知可逆，且.
四、證明題
1.是兩個階方陣，且，證明：.
證明:.由(*)式知與互為逆矩陣，故與可交換.即有: .
2.若階方陣可逆，則也可逆，並求.
證明:可逆必非奇，.且，
因此可逆，且.由於,故有
.3.為階方陣，且有，證明：可逆.
證明:,另外還有.用(**)式減(*)式，可得:，因此可逆，且.
4.如果為非奇異的對稱陣，則也是對稱陣.
證明:由於,因此有
由定理2.2的推論知,即是對稱陣.
5.已知,均為階矩陣，,可逆，且,求證矩陣可逆.
證明:由,當有
因此對(*)式兩端取行列式有
.非奇必可逆.
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