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12.4圓錐曲線的共同性質及應用
【知識網路】
1．用聯絡的觀點看圓錐曲線的共同性質．
2．學會圓錐曲線幾何性質的簡單綜合應用．
3．進一步體會函式方程思想、化歸轉化思想、分類討論思想、數形結合思想．
【典型例題】
[例1] （1）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（ ）
ab． cd．
（2）曲線與曲線的 （ ）
a．焦距相等 b． 離心率相等 c．焦點相同 d．準線相同
（3）雙曲線的離心率為，雙曲線的離心率為，則+的最小值為（ ）
a． b．2 cd．4
（4）已知橢圓+=1與雙曲線－=1（m,n,p,q∈r+）有共同的焦點f1、f2，p是橢圓和雙曲線的乙個交點，則|pf1|·|pf2
（5）若方程（1－k)x2＋(3－k2)y2=4表示橢圓，則k的取值範圍是
[例2] 雙曲線c與橢圓有相同的焦點，直線y=為c的一條漸近線.
（1）求雙曲線c的方程；
（2）過點p(0,4)的直線，交雙曲線c於a,b兩點，交x軸於q點（q點與c的頂點不重合）.當，且時，求q點的座標.
[例3] 已知橢圓c1的方程為，雙曲線c2的左、右焦點分別為c1的左、右頂點，而c2的左、右頂點分別是c1的左、右焦點。
(1) 求雙曲線c2的方程；
(2) 若直線l：與橢圓c1及雙曲線c2恒有兩個不同的交點，且l與c2的兩個交點a和b滿足(其中o為原點)，求k的取值範圍。
[例4] 學校科技小組在計算機上模擬太空飛行器變軌返回試驗. 設計方案如圖：太空飛行器執行（按順時針方向）的軌跡方程為，變軌（即太空飛行器執行軌跡由橢圓變為拋物線）後返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點的拋物線的實線部分，降落點為.
觀測點同時跟蹤太空飛行器.
（1）求太空飛行器變軌後的執行軌跡所在的曲線方程；
（2）試問：當太空飛行器在軸上方時，觀測點測得離太空飛行器的距離分別為多少時，應向太空飛行器發出變軌指令？
【課內練習】
1．雙曲線離心率為2，有乙個焦點與拋物線的焦點重合，則mn的值為
a． b． c． d．
2．已知雙曲線的中心在原點，離心率為.若它的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線與拋物線的交點到原點的距離是 （ ）
a．2+ b． c． d．21
3．方程所表示的曲線是 （ ）
a．焦點在x軸上的橢圓 b．焦點在y軸上的橢圓
c．焦點在x軸上的雙曲線 d．焦點在 y軸上的雙曲線
4．某圓錐曲線c是橢圓或雙曲線，其中心為原點，對稱軸為座標軸，且過點a（－2，2），b（，－），則
a．曲線c可以是橢圓也可以是雙曲線 b．曲線c一定是雙曲線
c．曲線c一定是橢圓d．這樣的曲線不存在
5．若直線與圓沒有公共點，則以（m，n）為點p的座標，過點p的一條直線與橢圓的公共點有_________個。
6．設圓過雙曲線的右頂點和右焦點，圓心在雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離 ．
7．如圖，從點發出的光線沿平行於拋物線的軸的方向射向此拋物線上的點p，反射後經焦點f又射向拋物線上的點q，再反射後沿平行於拋物線的軸的方向射向直線再反射後又射回點m，則
x08．設f1(-c，0)、f2(c，0)是橢圓+=1(a>b>0)的兩個焦點，p是以f1f2為直徑的圓與橢圓的乙個交點，若∠pf1f2=5∠pf2f1，求橢圓的離心率．
9．雙曲線中心在原點，座標軸為對稱軸，與圓x2＋y2=17交於a（4，－1）．若圓在點a的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求雙曲線的方程．
10．垂直於x軸的直線交雙曲線－=1右支於m，n兩點，a1，a2為雙曲線的左右兩個頂點，求直線a1m與a2n的交點p的軌跡方程，並指出軌跡的形狀．
12.4圓錐曲線的共同性質及應用
a組1．若方程表示雙曲線時，這些雙曲線有相同的（ ）
a．實軸長 b．虛軸長 c．焦距 d．焦點
2． p是雙曲線的右支上一點，m、n分別是圓（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的點，則|pm|－|pn|的最大值為（ ）
a.6 b.7 c.8 d.9
3．設雙曲線以橢圓長軸的兩個端點為焦點，其準線過橢圓的焦點，則雙曲線的漸近線的斜率為
a． b． c． d．
4．設0≤α＜2π，若方程x2sinα－y2cosα=1表示焦點在y軸上的橢圓，則α的取值範圍是
5．已知雙曲線的一條準線與拋物線y2=－6x的準線重合，則該雙曲線的離心率是
6．設f1、f2為曲線c1∶的焦點，p是曲線c2∶與c1的乙個交點，求的值．
7．設雙曲線方程為，p為雙曲線上任意一點，f為雙曲線的乙個焦點，討論以|pf|為直徑的圓與圓x2＋y2=a2的位置關係．
8．已知a（－2，0），b（2，0），動點p與a、b兩點連線的斜率分別為和，且滿足·=t (t≠0且t≠－1).
（1）求動點p的軌跡c的方程；
（2）當t＜0時，曲線c的兩焦點為f1，f2，若曲線c上存在點q使得∠f1qf2=120o，
求t的取值範圍.
b組1．已知雙曲線m：9x2－16y2=144,若橢圓n以m的焦點為頂點，以m的頂點為焦點，則橢圓n的準線方程是 （ ）
ab. c. d.
2．當8＜k＜17時，曲線與有相同的（ ）
a．焦距 b．準線 c．焦點 d．離心率
3．已知橢圓（a＞b＞0),與雙曲線（m＞0,n＞0)有相同的焦點（－c,0),(c,0),若c是a,m的等比中項，n2是2m2與c2的等差中項，則橢圓的離心率是（ ）
a． b． c． d．
4．設橢圓，雙曲線，拋物線y2=2(m+n)x(其中m＞n＞0)的離心率分別為e1、e2、e3，則e1e2與e3的大小關係是
5．一動圓圓心在拋物線x2=2y上，過點（0，）且恆與定直線l相切，則直線l的方程（ ）
a. x= b. x= c. d. y= －
6．已知定點a（0，t）（t≠0),點m是拋物線y2=x上一動點，a點關於m的對稱點是n．
（1）求n點的軌跡方程；
（2）設（1）中所求軌跡與拋物線y2=x交於b，c兩點，求當ab⊥ac時t的值．
7．直線l：x－2y＋3=0與橢圓c1：交於a，b兩點，r是拋物線c2：y2=2px(p＞0)上一點．若直線l與c2無公共點，且△abr有最小面積，求p的值和r點的座標．
8．設雙曲線c的中心在原點，以拋物線y2=2x-4的頂點為雙曲線的右焦點，拋物線的準線為雙曲線的右準線.
（1）試求雙曲線c的方程；
（2）設直線l:y=2x+1與雙曲線c交於a、b兩點，求|ab|；
（3）對於直線y=kx+1,是否存在這樣的實數k，使直線l與雙曲線c的交點a、b關於直線y=ax(a為常數)對稱，若存在，求出k值；若不存在，請說明理由.
12.4圓錐曲線的共同性質及應用
【典型例題】
例1 （1）解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選d．
（2）由知該方程表示焦點在x軸上的橢圓，由知該方程表示焦點在y軸上的雙曲線，故只能選擇答案a．
（3）c．提示：用基本不等式．
（4）m-p ．提示：分別用橢圓和雙曲線的定義，並將兩等式平方相減．
（5）（－，1）．提示：將問題轉化成解不等式組問題．
例2(1)依據漸近線設雙曲線方程，並用待定係數法求得雙曲線方程是;(2)設q點的座標，用定比分點公式聯列方程組，得..
例3、（1）設雙曲線c2的方程為，則
故c2的方程為
（2）將
由直線l與橢圓c1恒有兩個不同的交點得即.
由直線l與雙曲線c2恒有兩個不同的交點a，b得
解此不等式得 ③
由①、②、③得
故k的取值範圍為
例4、（1）設曲線方程為，
由題意可知，.
.曲線方程為.
（2）設變軌點為，根據題意可知
得， 或（不合題意，捨去）.
得或（不合題意，捨去）. 點的座標為，
.答：當觀測點測得距離分別為時，應向太空飛行器發出變軌指令.
【課內練習】
1．a． 提示：可以分別求出m，n．
2．b．提示：求出基本量．
3．c．提示：注意sinθ的取值範圍．
4．b．提示：考慮對稱性．
5．2．提示：運用點到直線的距離公式後，說明點p在橢圓內．
6．．提示：可以利用距離相等求出圓心的座標．
7．6．提示：由拋物線方程得焦點座標，進而得到p，q的座標，再由直線qn與mn關於直線l對稱，求得x0．
8．8．． ∵，∴.
9．．提示：先求圓的切線方程，進而得到雙曲線的漸近線方程，再用待定係數法求雙曲線的方程．
10．，a=b時表示以原點為圓心，a為半徑的圓；a＞b時，表示焦點在x軸上的橢圓；a＜b時，表示焦點在y軸上的橢圓．提示：設出點的座標，寫出直線方程（含參變數），結合點在曲線上，消去引數．
12.4圓錐曲線的共同性質及應用
a組1．d．提示：焦點可以在不同的軸上．
2．設雙曲線的兩個焦點分別是f1（－5，0）與f2（5，0），則這兩點正好是兩圓的圓心，當且僅當點p與m、f1三點共線以及p與n、f2三點共線時所求的值最大，此時
|pm|－|pn|＝（|pf1|－2）－（|pf2|－1）＝10－1＝9故選b．
3．c．提示：求出基本量．
4．（）∪（）．提示：二次項係數為正，且y2的分母較大．
5． ．提示：依據基本量之間的關係及準線方程，分別求出a,c．
6．．提示：分別應用橢圓、雙曲線的定義，求出|pf1|，|pf2|，再用餘弦定理．
解析幾何方法技巧2圓錐曲線的綜合應用
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