一、圓錐曲線的最值問題
【考情快遞】 最值問題是高考的熱點，可能出選擇題、填空題和解答題．
方法1：定義轉化法
【例1】已知點f是雙曲線－＝1的左焦點，定點a的座標為(1,4)，p是雙曲線右支上的動點，則|pf|＋|pa|的最小值為________．
解析如圖所示，根據雙曲線定義|pf|－|pf′|＝4，
即|pf|－4＝|pf′|.又|pa|＋|pf′|≥|af′|＝5，
將|pf|－4＝|pf′|代入，得|pa|＋|pf|－4≥5，
即|pa|＋|pf|≥9，等號當且僅當a，p，f′三點共線，
即p為圖中的點p0時成立，故|pf|＋|pa|的最小值為9.故填9.
答案 9
方法2：切線法
【例2】求橢圓＋y2＝1上的點到直線y＝x＋2的距離的最大值和最小值，並求取得最值時橢圓上點的座標．
解設橢圓的切線方程為y＝x＋b，
代入橢圓方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.
由δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝±.
當b＝時，直線y＝x＋與y＝x＋2的距離d1＝，將b＝代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，
解得x＝－，此時y＝，
即橢圓上的點到直線y＝x＋2的距離最小，最小值是；
當b＝－時，直線y＝x－到直線y＝x＋2的距離d2＝，將b＝－代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，
解得x＝，此時y＝－，
即橢圓上的點到直線y＝x＋2的距離最大，最大值是.
方法3：引數法
【例3】在平面直角座標系xoy中，點p(x，y)是橢圓＋y2＝1上的乙個動點，則s＝x＋y的最大值為________．
解析因為橢圓＋y2＝1的引數方程為
(φ為引數)．
故可設動點p的座標為(cos φ，sin φ)，
其中0≤φ＜2π.
因此s＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝2＝2sin，所以，當φ＝時，s取最大值2.故填2.
答案 2
方法4：基本不等式法
【例4】設橢圓中心在座標原點，a(2,0)，b(0,1)是它的兩個頂點，直線y＝kx(k＞0)與橢圓相交於e，f兩點，求四邊形aebf面積的最大值．
解依題設得橢圓的方程為＋y2＝1.
直線ab，ef的方程分別為x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)．
設e(x1，kx1)，f(x2，kx2)，其中x1＜x2，
且x1，x2滿足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝.①
根據點到直線的距離公式和①式，
得點e，f到ab的距離分別為
h1＝＝，
h2＝＝，
又|ab|＝＝，所以四邊形aebf的面積為
s＝|ab|(h1＋h2)＝··＝
＝2≤2，
當2k＝1，即k＝時，取等號．
所以四邊形aebf面積的最大值為2.
二、圓錐曲線的範圍問題
【考情快遞】 圓錐曲線中的範圍問題是高考中的常見考點，一般出選擇題、填空題．
方法1：曲線幾何性質法
【例1】已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點分別為f1，f2，點p在雙曲線的右支上，且|pf1|＝4|pf2|，則此雙曲線的離心率e的取值範圍是________．
解析根據雙曲線定義|pf1|－|pf2|＝2a，設|pf2|＝r，
則|pf1|＝4r，故3r＝2a，即r＝，|pf2|＝.
根據雙曲線的幾何性質，|pf2|≥c－a，即≥c－a，
即≤，即e≤.又e＞1，
故雙曲線的離心率e的取值範圍是.故填.
答案 方法2：判別式法
【例2】(2011·瀏陽一中月考)在平面直角座標系xoy中，經過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個不同的交點p和q.
(1)求k的取值範圍；
(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為a，b，是否存在常數m，使得向量＋與共線？如果存在，求m值；如果不存在，請說明理由．
解 (1)由已知條件，知直線l的方程為y＝kx＋，
代入橢圓方程，得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0.①
由直線l與橢圓有兩個不同的交點p和q，
得δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，
解得k＜－或k＞，
即k的取值範圍為∪.
(2)設p(x1，y1)，q(x2，y2)，
則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)．
由方程①，知x1＋x2＝－.②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.③
由a(，0)，b(0,1)，得＝(－，1)．
所以＋與共線等價於x1＋x2＝－(y1＋y2)，
將②③代入，解得k＝.
由(1)知k＜－或k＞，
故不存在符合題意的常數k.
三、圓錐曲線的定值、定點問題
【考情快遞】 此類問題也是高考的熱點，圓錐曲線中的定值問題是指某些幾何量不受運動變化的點的影響而有固定取值的一類問題，．
方法1：特殊到一般法
【例1】已知雙曲線c：x2－＝1，過圓o：x2＋y2＝2上任意一點作圓的切線l，若l交雙曲線於a，b兩點，證明：∠aob的大小為定值．
證明當切線的斜率不存在時，切線方程為x＝±.
當x＝時，代入雙曲線方程，得y＝±，
即a(，)，b(，－)，此時∠aob＝90°，
同理，當x＝－時，∠aob＝90°.
當切線的斜率存在時，設切線方程為y＝kx＋b，
則＝，即b2＝2(1＋k2)．
由直線方程和雙曲線方程消掉y，
得(2－k2)x2－2kbx－(b2＋2)＝0，
由直線l與雙曲線交於a，b兩點．
故2－k2≠0.設a(x1，y1)，b(x2，y2)．
則x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2
＝＋＋＝，
故x1x2＋y1y2＝＋＝，
由於b2＝2(1＋k2)，
故x1x2＋y1y2＝0，即·＝0，∠aob＝90°.
綜上可知，若l交雙曲線於a，b兩點，
則∠aob的大小為定值90°.
方法2：引進引數法
【例2】如圖所示，曲線c1：＋＝1，曲線c2：y2＝4x，過曲線c1的右焦點f2作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線c1，c2依次交於b，c，d，e四點．若g為cd的中點、h為be的中點，證明為定值．
證明由題意，知f1(－1,0)，f2(1,0)，設b(x1，y1)，e(x2，y2)，c(x3，y3)，d(x4，y4)，
直線y＝k(x－1)，代入＋＝1，
得82＋9y2－72＝0，即(8＋9k2)y2＋16ky－64k2＝0，
則y1＋y2＝－，y1y2＝－.
同理，將y＝k(x－1)代入y2＝4x，得ky2－4y－4k＝0，
則y3＋y4＝，y3y4＝－4，
所以＝·＝＝
＝＝3為定值．
方法運用訓練2
1．設p是曲線y2＝4x上的乙個動點，則點p到點a(－1,1)的距離與點p到x＝－1直線的距離之和的最小值為( )．
a. b. c. d.
解析如圖，易知拋物線的焦點為f(1,0)，
準線是x＝－1，由拋物線的定義知：
點p到直線x＝－1的距離等於點p到焦點f的距離；
於是，問題轉化為：在曲線上求一點p，
使點p到點a(－1,1)的距離與點p到f(1,0)的距離之和最小；顯然，連af交曲線於p點．
故最小值為，即為.
答案 c
2．橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圓x2＋y2＝2有四個交點，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓離心率e的範圍為( )．
a.＜e＜ b．0＜e＜
c.＜e＜ d.＜e＜
解析此題的本質是橢圓的兩個頂點(a,0)與(0，b)乙個在圓外、乙個在圓內即：
＜e＜.
答案 a
3．(2011·長郡中學1次月考)設f是橢圓＋＝1的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點pi(i＝1,2,3，…)，使|fp1|，|fp2|，|fp3|，…組成公差為d的等差數列，則d的取值範圍為________．
解析若公差d＞0，則|fp1|最小，|fp1|＝－1；
數列中的最大項為＋1，並設為第n項，
則＋1＝－1＋(n－1)dn＝＋1≥21d≤，
注意到d＞0，得0＜d≤；若d＜0，易得－≤d＜0.
那麼，d的取值範圍為∪.
答案 ∪
4．過拋物線y2＝2px(p＞0)上一定點p(x0，y0)(y0＞0)作兩直線分別交拋物線於a(x1，y1)，b(x2，y2)，當pa與pb的斜率存在且傾斜角互補時，則的值為________．
解析設直線pa的斜率為kpa，pb的斜率為kpb，
由y＝2px1，y＝2px0，得kpa＝＝，
同理kpb＝，
由於pa與pb的斜率存在且傾斜角互補，
因此＝－，即y1＋y2＝－2y0(y0＞0)，
那麼＝－2.
答案 －2
5．橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的左焦點為f，過f點的直線l交橢圓於a，b兩點，p為線段ab的中點，當△pfo的面積最大時，求直線l的方程．
解求直線方程，由於f(－c,0)為已知，僅需求斜率k，
設a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x0，y0)，則y0＝，
由於s△pfo＝|of|·|y0|＝|y0|只需保證|y0|最大即可，
由(b2＋a2k2)y2－2b2cky－b4k2＝0，
|y0|＝＝＝≤
得：s△pfo≤，此時＝a2|k|k＝±，
故直線方程為：y＝±(x＋c)．
6．(長沙雅禮中學最新月考)已知⊙o′過定點a(0，p)(p＞0)，圓心o′在拋物線c：x2＝2py(p＞0)上運動，mn為圓o′在軸上所截得的弦．
解析幾何方法技巧2圓錐曲線的綜合應用
一 圓錐曲線的最值問題 考情快遞 最值問題是高考的熱點，可能出選擇題 填空題和解答題 方法1 定義轉化法 例1 已知點f是雙曲線 1的左焦點，定點a的座標為 1,4 p是雙曲線右支上的動點，則 pf pa 的最小值為 解析如圖所示，根據雙曲線定義 pf pf 4，即 pf 4 pf 又 pa pf ...
解析幾何的技巧
專題七解析幾何新題型的解題技巧 命題趨向 解析幾何例命題趨勢 1.注意考查直線的基本概念，求在不同條件下的直線方程，直線的位置關係，此類題大多都屬中 低檔題，以選擇 填空題的形式出現，每年必考 2.考查直線與二次曲線的普通方程，屬低檔題，對稱問題常以選擇題 填空題出現 3.考查圓錐曲線的基礎知識和基...
必修選修2 解析幾何
2006學年高三數學訓練題 由課本例 習題選編或改編 八 解析幾何 a 組 1.若直線和直線垂直,則的值為 2.焦距是8，離心率0.8的橢圓的標準方程為 d.以上都不是 3.曲線與曲線的 a.長軸長相等b.短軸長相等c.離心率相等d.焦距相等 4.與圓以及都外切的圓的圓心在 a.乙個橢圓 b.雙曲線...