一、單項選擇題
1.若,則的範圍為( ).
a.且 b.或 cd.
2. ( ).
a. abcdb. -abcdc. 2abcd d. -2abcd
3.中的代數余子式為( ).
a. 0b. 36c. 12d. -12
4. 將n階行列式d中所有元素都反號、形成的行列式的值為( ).
a. 0b. dc. -dd.
5.下列階行列式的值必為零的是( ).
a.主對角元全為零b.三角形行列式中有乙個主對角元為零
c.零元素的個數多餘個d.非零元素的個數小於零元素的個數
6. 若=d，則( ).
a. db. 2dc. -6dd. 6d
7.設,則( ).
a.8b.-12c.24d.-24
8.若,則( ).
a.12b.-12c.18d.0
9.設齊次線性方程組有非零解,則的值為( ).
abcd.
10.如果已知矩陣則下列運算可行的是( ).
abcd.
11．已知,均為階矩陣,則必有( ).
ab.c.時,或
d.的充分必要條件是或
12. 若a為4階方陣，且( ).
a. 15b. 60c. 405d. 45
13.設,是同階實對稱矩陣,則是( ).
a.對稱矩陣b.非對稱矩陣c.反對稱矩陣d.以上均不對
14．設, ,為同階方陣，若，必推出，則應滿足條件( ).
abcd.
15. 若a=為奇異陣，則( ).
a. 1b. 2c. 0d. -2
16.設是階可逆矩陣,是的伴隨矩陣,則=( ).
abcd.
17. 分塊矩陣，其中a，b都是可逆方陣，則( ).
a. b. c. d.
18.設,為階非零矩陣滿足,則和的秩為( ).
a.必有乙個等於零b.都小於
c.都等於d.乙個小於乙個等於
19.已知則r (a)為( ).
a. 1b. 2c. 3d. 4
20.設n階方陣a滿足=0，則a必有乙個特徵值為( ).
a. 1b. -1c. 0d. 2
21．設a為乙個可逆矩陣，則其特徵值中( ).
a. 有零特徵值b. 有二重特徵值零
c. 無零特徵值d. 以上均不對.
22．若矩陣a與b相似，則( ).
a. e-a =e-bb.|a|=|b|
c. a,b有相同的特徵向量. d. a與b均與乙個對角矩陣相似.
23. n階方陣a的n個特徵值互不相同,是a可以與對角陣相似的（ ）條件.
a.充分 b.必要c.充要d.無關
24．設3階方陣，則= ( ).
a.3b.4c.5d）6
25.設是階可逆陣,是的乙個特徵值，則 ( ) 是的特徵值.
a. b. c. d.
26.二次型的矩陣是( ).
a. bcd.
27.矩陣,則合同於矩陣( ).
a. b. c. d.
28.下列各矩陣中,正定矩陣是( ).
a. b. c. d.
二、計算題
1.計算下列各行列式：
(1) ， (2) ，3).
2.已知= 0，求.
3. 設，且，求.
4.設求及.
5.設求及.
6．設，，計算.
7. 設.
8.已知求.
9.設為3階矩陣求.
10.求下列矩陣的逆矩陣.
(1),(2).
11.試利用矩陣的初等變換求下列方陣的逆矩陣.
12. 求下列矩陣的逆陣.
13.解矩陣方程:.
14.設3階方陣和滿足，其中，求．
15.求下列矩陣的秩並求乙個最高端非零子式:
(1) (2).
16.判定下列向量組是線性相關還是線性無關
(1) (1 3 1)t (2 1 0)t (1 4 1)t
(2) (2 3 0)t (1 4 0)t (0 0 2)t
17. 問a取什麼值時下列向量組線性相關？ a1(a 1 1)t a2(1 a 1)t a3(1 1 a)t
18. 求下列向量組的秩及其乙個極大線性無關組，並把其餘向量用此極大無關組線性表示.
(1), , ,.
(2), , ,，.
19. 求下列非齊次線性方程組的全部解,並用基礎解系表示．
(1) (2), (3)
20.求下列矩陣的特徵值和特徵向量:
(1); (2).
21.設有三個線性無關的特徵向量，求和應滿足的條件.
22.設矩陣，問能否對角化？若能，試求可逆陣陣，使為對角矩陣
23.設,計算.
24.已知三階矩陣的特徵值為,對應的特徵向量分別為, , ,求矩陣.
25.寫出下列二次型的矩陣
(1) (2)
26. 用矩陣記號表示下列二次型:
(1) fx24xy4y22xzz24yz (2) fx2y27z22xy4xz4yz
27.用配方法化下列二次形成規範形並寫出所用變換的矩陣
(1) f(x1 x2 x3)x123x225x322x1x24x1x3 (2) f(x1 x2 x3)x122x322x1x32x2x3
28.判斷下列矩陣是否為正定矩陣:
(1).(2).
29.判斷下列二次型是否為正定二次型:
(1).
(2).
30.設fx12x225x322ax1x22x1x34x2x3為正定二次型求a.
三、證明題
1.設為階矩陣，且為對稱矩陣，證明也是對稱矩陣．
2.設為階方陣，為階單位陣，且滿足證明
3.已知階方陣滿足矩陣方程,證明可逆,並求出其逆矩陣.
4．設為階方陣，為階單位陣，滿足條件，且，證明： ⑴可逆，並求， ⑵不可逆.
5.設向量組,，線性無關，證明：向量組，，線性無關.
6.設都是階正交陣證明也是正交陣.
2023年07月編寫
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