1答案一 ．填空題（每小題3分，共18分）
1．直線與則與的夾角為．
2．函式在點處的梯度grad．．
3．設為周長為的橢圓，則．
4．二元函式在點處兩個偏導數，存在，是在該點可微分的必要條件.
5．冪級數的收斂半徑 1 ．
6．已知是某二階非齊次線性微分方程的三個解，則該方程的通解為．
二．選擇題（每小題3分，共18分）
1．設空間直線及兩平面，，則（ a ）
（a）． （b）． （c）． （d）．
2．二元函式在點處（ b ）
（a）連續、偏導數存在． （b）不連續、偏導數存在．
（c）連續、偏導數不存在． （d）不連續、偏導數不存在．
3．設有空間閉區域，則（ c ）
（a）． （b）． （c）． （d） ．
4． 設函式是以為週期的週期函式，在上有則的傅利葉級數在處收斂於（ b ）
（a）． （b）． （c）． （d）．
5．二階常係數非齊次線性微分方程的特解的形式是（ d ）
（a）． （b）． （c）． （d）．
6. 設有常數項級數收斂，則（ c ）。
（abcd） 不存在．
三．解答題（共43分）
1．（5分）設，求．
2．（6分）設是曲線上由到的一段弧，計算．
解： 原式3
3)3．（6分）計算，其中是由直線及所圍成的閉區域．
解法一： 原式
解法二： 原式.(同上類似給分)
4．（6分）將積分化為柱面座標下的三次積分，其中是由曲面及所圍成的閉區域．是連續函式．
解3)3)
5．（6分）判別級數的收斂性．
解： 因為2)
2)，故該級數收斂2)
6．（7分）求冪級數的收斂域．
解： ,故收斂半徑為12)
當時，級數收斂；當時，級數發散2)
當，即在處，發散1)
當，即在處，收斂1)
故原級數的收斂域為1)
7．（7分）求微分方程的通解．
解：由解得，故對應的齊次方程的通解為
3)因不是特徵方程的根，故可設是原方程的乙個特解，代入方程解得，即.於是原方程的通解為2)
2)四．綜合題（共21分）
1．（7分）計算，其中是上半球面的上側．
解：新增輔助曲面，取下側，則在由和所圍成的空間閉區域上應用高斯公式得23)
於是，原式2)
2．（7分）證明：曲面的切平面與座標面形成體積一定的四面體．
證2)曲面上點處的切平面方程為
2)從而截距式方程為，
四面體的體積3)
3． （7分）設函式在上連續，且滿足方程
，(1)證明， (2)求．
證明：(1)由於
， (2)
所以有兩邊對求導，得2)
(2) 此一階線性微分方程的通解為
2)又由題設得，代入上式得，因此1)
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