廣州大學2012-2013學年第二學期考試卷解答課程：高等數學ⅱ2考試形式：閉卷考試
學院專業班級學號姓名
一．填空題（每空3分，本大題滿分15分）
1．設，則， .
2． 0 .
3．已知，則.
4．多元函式可微的充分條件為偏導數存在且連續 .
二．解答下列各題（每小題7分，本大題滿分21分）1．求函式的偏導數和全微分.
解：，------2分
，------5分
.------7分
2．設，其中具有二階連續偏導數，求和.
解：令，，則
，------3分
------5分
------7分
.3．設由方程確定隱函式，求和.
解：令，則，，------3分
.------5分
.------7分
三．（本題滿分14分）
求函式的極值.
解：解方程組
，------4分
得駐點6分
8分在點處，，且，
所以為極小值；------10分
在點處，，所以不是極值；------11分在點處，，所以不是極值；------12分在點處，，且，
所以為極大值.------14分
四．解答下列各題（每小題8分，本大題滿分24分）1．計算，其中是由直線，和所圍成的有界閉區域.
解：積分區域如圖陰影部分所示，------2分------4分
------6分
.------8分
2．計算，其中為圓盤：.
解：------4分
.------8分
3．計算.
解：積分區域如圖陰影部分所示，------2分交換積分次序得
------4分
------6分
.------8分
五．解答下列各題（每小題8分，本大題滿分16分）1．求微分方程的通解.
解：由通解公式得
------4分
.------8分
2．求微分方程滿足初始條件，的特解.
解：特徵方程為，特徵根為，
通解為.------4分
，由初始條件，，得，.
所求特解為.------8分
六．（本題滿分10分）
乙個煮熟了的雞蛋有，把它放在的水池裡，分鐘後，雞蛋的溫度是．假定沒有感到水變熱，雞蛋冷卻到需要多長時間？
解：從雞蛋放在水池裡起開始記時，設在時刻雞蛋的溫度為，那麼根據冷卻定律得微分方程
，其中為冷卻係數. ------2分
方程分離變數得，兩邊積分得.------5分由得，再由得.------8分
令，得.------10分
雞蛋冷卻到需要再經過分鐘.
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