第五屆中國大學生數學競賽預賽試卷
（非數學類，2013）
一、 解答下列各題（每小題6分，共24分）1．求極限
解：因為，
設，於是
所以．2．證明廣義積分不是絕對收斂的．
證明：因為，所以不是瑕點．設，
由，及級數發散，得級數發散，於是對級數的部分和有，從而，所以廣義積分不是絕對收斂的．
3．設函式由方程所確定，求的極值．
極大值，極小值）
解：方程兩邊同時對求導，有，
解得，由，有，得或．
當時，得；
當，代入原方程，有，得．
．當時，；
當時，，
所以，極大值為，極小值為
4．過曲線上的點作切線，使該切線與曲線及軸所圍成的平面圖形面積為，求點的座標
解：設切點座標為，則切線方程為
令，得切線在軸上的截距為，則切線與曲線及軸所圍成的平面圖形面積為．又，有，得，所以點的座標為．
二、（12分）計算定積分
解：根據公式，及，得
．三、（12分）設函式在點處存在二階導數，且，證明級數收斂．證明：由函式在連續，及，得．
因為，所以
由於級數收斂，根據比較判別法的極限形式，得級數收斂．四、（10分）在閉區間上，設，，證明．
證明：由於，知函式在區間上單調增加，於是存在單調增加反函式，設反函式為，則．
設，則．對積分作換元，則
．五、（14分）設是乙個光滑封閉曲面，方向朝外，給定第二型的曲面積分試確定曲面，使得積分的值最小，並求該最小值．解：記曲面所圍成的空間區域為，由高斯公式
．要使取最小值，需且只需空間區域取被積函式取非正值的全體集合，即：，所以曲面為橢球面．
用廣義球座標計算三重積分，
六、（14分）設，其中為常數，曲線為橢圓周的正向，求極限（時，；時，；時， ）
解：作換元，則；，
面是橢圓：變為面橢上圓：，改寫為
引數方程：，於是
由於對於固定的，積分值是與無關正數，所以
當時，；當時，；
當時，此時．
七、（14分）判斷級數的斂散性，若收斂，求其和．（ 收斂，和）解：這是正項級數，，則級數的一般項為．
由，有，而
．級數收斂，所以級數也收斂，進而級數收斂，即級數收斂．
設級數的部分和為，則
．由，且，有，於是
，所以原級數收斂，且和．
高等數學試題
一 選擇題 1 當時，arctgx的極限 a b c d 不存在，但有界 2a b c 0 d 不存在 3 當時，下列變數中是無窮小量的有 a b c d 4 下列變數在給定的變化過程中是無窮大量的有 a b c d 5a 1 b 2 c 0d 6 下列等式中成立的是 ab cd 7 函式在點處有定...
大學高等數學試題
高等數學 練習題 一 是非題 1 2 3 4 5 6 7 8 y sin e 的微分 dy cos edx 9 當，是等價無窮小。10 二 填空題 1 曲線在點x 1處的切線方程為23 4567 89 則 10三 選擇題 1 設函式當a 為何值時函式在定義域內是連續函式 a a 1,b 2b a 1...
《高等數學》試題庫
二 極限與連續 1 2 三 導數與微分 1 若函式，則 2 若y x x 1 x 2 x 3 則 04 設是可導函式且，則 四 中值定理導數的應用 1 函式的單調增加區間是 6 函式的單調遞增區間為最大值為 7 函式的駐點是 拐點是 五 不定積分 1 已知的乙個原函式為，則 2 若存在且連續，則 4...