微積分中不等式的證明方法討論
不等式的證明題經常出現在考研題中，雖然題目各種各樣，但方法無非以下幾種：
1.利用函式的單調性證明不等式
若在上總有，則在單調增加；若在上總有，則在單調減少。
注：考研題的難點是，構造恰當的輔助函式，有時需要兩次利用函式的單調性證明不等式，有時需要對進行分割，分別在小區間上討論。
例１：證明：當時，
. 【分析】 利用「引數變易法」構造輔助函式，再利用函式的單調性證明.
【詳解】 令，
則，且.
又，（），
故當時，單調減少，即，則單調增加，於是，即
.【評注】 證明數值不等式一般需構造輔助函式，輔助函式一般通過移項，使不等式一端為「0」，另一端即為所作輔助函式，然後求導驗證的增減性，並求出區間端點的函式值（或極限值）。
例2：設, 證明.
【分析】即證
證明： 設，則
，,所以當x>e時， 故單調減少，從而當時，
即當時，單調增加.
因此當時，，
即 ，
故 .
【評注】 本題也可設輔助函式為，請自己證明。
例3：證明不等式：
【分析】當時，兩端都等於0， 等號成立；應分兩種情況討論。
即證：（1）
（2）（3）下面的證明就簡單了。
例4：設，證明：
【分析】該題的關鍵是設輔助函式，由多種設法
（1）（2），
當然，第二種設法更簡單
例5：設，證明
【分析】輔助函式也有多種設法
（1），
（2），
（3），
當然，第三種設法更簡單。
2.利用拉格朗日中值定理證明不等式
對於不等式中含有拉格朗日中值定理先處理以下。
例6：證明：當0【分析】即證：
證明：令，在上使用拉格朗日中值定理，知存在
所以，即，變形得證。
例7：設, 證明
【分析】即前面的例2。
證明對函式在[a,b]上應用拉格朗日中值定理，得
設，則，
當t>e時，所以單調減少，從而，即
，故.例8：設， 證明：當時，
【分析】即證：即證：，用中值定理並注意到單調減小得證。
3.利用函式的最值證明不等式
令上連續，則存在最大值和最小值，那麼：
例9：設, 證明
證明：令，
由得，球的惟一的駐點，
，和1是在[0，1]上的最小值和最大值。
所以：4.利用泰勒公式證明不等式
如果要證明的不等式中，含有函式的二階或二階以上的導數，一般通過泰勒公式證明不等式。
例10：在［０，１］上具有二階導數，且滿足，是（０,１）內的任意一點．證明：
證明：1) ………………(2)
(2)-(1)得：
，因為5.積分表示的不等式的證明
例11: 設f(x),g(x)在[0，1]上的導數連續，且f(0)=0, ,.證明：對任何a,有
解： ，則f(x)在[0，1]上的導數連續，並且，由於時，
，因此，即f(x)在[0，1]上單調遞減.
注意到，
而故f(1)=0.因此時，，由此可得對任何，有
例12:設f (x) , g(x)在[a , b]上連續，且滿足
，x [a , b)，.
證明：.
解：令f(x) = f (x) g(x)，，
由題設g(x) 0，x [a , b]，
g(a) = g(b) = 0，.
從而，由於 g(x) 0，x [a , b]，故有
即. 因此.
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