章節題目
第三節格林公式及其應用（2）
曲線積分與路徑無關的定義、條件二元函式的全微分求積
內容提要
曲線積分與路徑無關的判定全微分函式的計算重點分析
積分與路徑無關的四個等價命題難點分析
習題布置
p1844（3）、5（單）、6（單）備註1
教學內容
一、曲線積分與路徑無關的定義如果在區域g內有yl1
bl2gao
l1xl2pdxqdypdxqdy
則稱曲線積分pdxqdy在g內與路徑無關,否則與路徑有關.
l二、曲線積分與路徑無關的條件
定理2設開區域g是乙個單連通域,函式p(x,y),q(x,y)在g內具有一階連續偏導數,則曲線積分pdxqdy在g內與路徑無關（或沿g內任意閉曲線的
l曲線積分為零）的充要條件是有關定理的說明：
pyqx
在g內恆成立.
(1)開區域g是乙個單連通域.
(2)函式p(x,y),q(x,y)在g內具有一階連續偏導數.兩條件缺一不可
三、二元函式的全微分求積
定理3設開區域g是乙個單連通域,函式p(x,y),q(x,y)在g內具有一階連續偏導數,則p(x,y)dxq(x,y)dy在g內為某一函式u(x,y)的全微分的充要
pyqx
條件是等式在g內恆成立.2y
b(x1,y1)
a(x0,y0)c(x1,y0)ox若
pyqx
x1y1y0
則b(x1,y1)
a(x0,y0)
pdxqdy
x0p(x,y0)dx
q(x1,y)dy
或y1y0
q(x0,y)dy
x1x0
p(x,y1)dx24
例1計算線弧ysin
py(xl2
2xy)dx(xy)dy.其中l為由點o(0,0)到點b(1,1)的曲x2
.2解y
(x2xy)2x，qxx
(xy)2x
24py
qx，原積分與路徑無關
1故原式10
xdx2
0(1y)dy24
2315
.例2設曲線積分xydxy(x)dy與路徑無關,其中具有連續的導數,且
l(0)0,計算
(1,1)
(0,0)
xydxy(x)dy.
2解p(x,y)xy,q(x,y)y(x),py
y(xy)2xy,22
qxx[y(x)]y(x),
積分與路徑無關
pyqx
，由y(x)2xy(x)xc
2由(0)0，知c0(x)x.23
故(1,1)
(0,0)
xydxy(x)dy21
00dxydy01
12.四、小結
與路徑無關的四個等價命題條件
在單連通開區域d上p(x,y),q(x,y)具有連續的一階偏導數,則以下四個命題成立.等價命題(1)(2)
在d內pdxqdy與路徑無關lc
pdxqdy0,閉曲線cd
(3)在d內存在u(x,y)使dupdxqdy
pyqx
(4)在d內,4
高等數學公式
注 tan和tg都表示正切 ctg和cot都表示餘切導數公式 基本積分表 三角函式的有理式積分 一些初等函式兩個重要極限 三角函式公式 三角函式值 誘導公式 和差角公式和差化積公式 倍角公式 半形公式 正弦定理 餘弦定理 反三角函式性質 高階導數公式 萊布尼茲 leibniz 公式 中值定理與導數應...
高等數學公式
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