1、 理解多元函式的概念和二元函式的幾何意義。
2、 了解二元函式的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上的連續函式的性質。
3、 理解多元函式偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。
4、 理解方向導數與梯度的概念並掌握其計算方法。
5、 掌握多元復合函式偏導數的求法。
6、 會求隱函式（包括由方程組確定的隱函式）的偏導數。
7、 了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。
8、 了解二元函式的二階泰勒公式。
9、 理解多元函式極值和條件極值的概念，掌握多元函式極值存在的必要條件，了解二元函式極值存在的充分條件，會求二元函式的極值，會用拉格郎日乘數法求條件極值，會求簡多元函式的最大值和最小值，並會解決一些簡單的應用問題。
教學重點：
1、 二元函式的極限與連續性；
2、 函式的偏導數和全微分；
3、 方向導數與梯度的概念及其計算；
4、 多元復合函式偏導數；
5、 隱函式的偏導數
6、 曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線；
7、 多元函式極值和條件極值的求法。
教學難點：
1、 二元函式的極限與連續性的概念；
2、 全微分形式的不變性；
3、 復合函式偏導數的求法；
4、 二元函式的二階泰勒公式；
5、 隱函式（包括由方程組確定的隱函式）的偏導數；
6、 拉格郎日乘數法；
7、 多元函式的最大值和最小值。
1．平面點集
由平面解析幾何知道, 當在平面上引入了乙個直角座標系後, 平面上的點p與有序二元實陣列(x, y)之間就建立了一一對應. 於是, 我們常把有序實陣列(x, y)與平面上的點p視作是等同的. 這種建立了座標系的平面稱為座標平面.
二元的序實陣列(x, y)的全體, 即r2=rr=就表示座標平面.
座標平面上具有某種性質p的點的集合, 稱為平面點集, 記作
e=.例如, 平面上以原點為中心、r為半徑的圓內所有點的集合是
c=.集合.
有界集: 對於平面點集e, 如果存在某一正數r, 使得
eu(o, r),
其中o是座標原點, 則稱e為有界點集.
無界集: 乙個集合如果不是有界集, 就稱這集合為無界集.
例如, 集合是有界閉區域; 集合是無界開區域;
集合是無界閉區域.
2. n維空間
設n為取定的乙個自然數, 我們用rn表示n元有序陣列(x1, x2, , xn)的全體所構成的集合, 即
rn=rrr=.
rn中的元素(x1, x2, , xn)有時也用單個字母x來表示, 即x=(x1, x2, , xn). 當所有的xi (i=1, 2, , n)都為零時, 稱這樣的元素為rn中的零元, 記為0或o . 在解析幾何中, 通過直角座標, r2(或r3)中的元素分別與平面(或空間)中的點或向量建立一一對應, 因而rn中的元素x=(x1, x2, , xn)也稱為rn中的乙個點或乙個n維向量, xi稱為點x的第i個座標或n維向量x的第i個分量.
特別地, rn中的零元0稱為rn中的座標原點或n維零向量.
為了在集合rn中的元素之間建立聯絡, 在rn中定義線性運算如下:
設x=(x1, x2, , xn), y=(y1, y2, , yn)為rn中任意兩個元素, λ∈r, 規定
x+y=(x1+ y1, x2+ y2, , xn+ yn), λx=(λx1, λx2, , λxn).
這樣定義了線性運算的集合rn稱為n維空間.
rn中點x=(x1, x2, , xn)和點 y=(y1, y2, , yn)間的距離, 記作ρ(x, y), 規定
顯然, n=1, 2, 3時, 上術規定與數軸上、直角座標系下平面及空間中兩點間的距離一至.
rn中元素x=(x1, x2, , xn)與零元0之間的距離ρ(x, 0)記作||x||(在r1、r2、r3中, 通常將||x||記作|x|), 即
採用這一記號, 結合向量的線性運算, 便得
在n維空間rn中定義了距離以後, 就可以定義rn中變元的極限:
設x=(x1, x2, , xn), a=(a1, a2, , an)∈rn.
如果x-a||→0,
則稱變元x在rn中趨於固定元a, 記作x→a .
顯然,x→a x1→a1, x2→a2, , xn→an .
在rn中線性運算和距離的引入, 使得前面討論過的有關平面點集的一系列概念, 可以方便地引入到n(n≥3)維空間中來, 例如,
設a=(a1, a2, , an)∈rn, δ是某一正數, 則n維空間內的點集
u(a, δ)=
就定義為rn中點a的δ鄰域. 以鄰域為基礎, 可以定義點集的內點、外點、邊界點和聚點, 以及開集、閉集、區域等一系列概念.
例１ 圓柱體的體積v 和它的底半徑r、高h之間具有關係
v =πr2h.
這裡, 當r、h在集合內取定一對值(r , h)時, v對應的值就隨之確定.
例2 一定量的理想氣體的壓強p、體積v和絕對溫度t之間具有關係
其中r為常數. 這裡, 當v、t在集合內取定一對值(v, t)時, p的對應值就隨之確定.
例3 設r 是電阻r1、r2併聯後的總電阻, 由電學知道, 它們之間具有關係
這裡, 當r1、r2在集合內取定一對值( r1 , r2)時, r的對應值就隨之確定.
定義1 設d是r2的乙個非空子集, 稱對映f : d→r為定義在d上的二元函式, 通常記為
z=f(x, y), (x, y)∈d (或z=f(p), p∈d)
其中點集d稱為該函式的定義域, x, y稱為自變數, z稱為因變數.
上述定義中, 與自變數x、y的一對值(x, y)相對應的因變數z的值, 也稱為f在點(x, y)處的函式值, 記作f(x, y), 即z=f(x, y).
值域: f(d)=.
函式的其它符號: z=z(x, y), z=g(x, y)等.
類似地可定義三元函式u=f(x, y, z), (x, y, z)∈d以及三元以上的函式.
一般地, 把定義1中的平面點集d換成n維空間rn內的點集d, 對映f : d→r就稱為定義在d上的n元函式, 通常記為
u=f(x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)∈d,
或簡記為
u=f(x), x=(x1, x2, , xn)∈d,
也可記為
u=f(p), p(x1, x2, , xn)∈d .
關於函式定義域的約定: 在一般地討論用算式表達的多元函式u=f(x)時, 就以使這個算式有意義的變元x的值所組成的點集為這個多元函式的自然定義域. 因而, 對這類函式, 它的定義域不再特別標出.
例如,
函式z=ln(x+y)的定義域為(無界開區域);
函式z=arcsin(x2+y2)的定義域為(有界閉區域).
同濟大學六版高等數學
下冊第八章 空間解析幾何與向量代數 數一考第九章 多元函式微分的基本概念 第三節全微分 二 全微分在近似計算中的應用 不考第六節 多元函式微分學的幾何應用 數一考第七節 方向導數與梯度 數一考第九節 二元函式的泰勒公式 非重點 數一考一 二函式的泰勒公式 二 極值充分條件的證明 非重點第十節 最小二...
高等數學》試卷 同濟六版上
一 選擇題 本題共5小題，每小題3分，共15分 1 若函式，則 a 0bc 1d 不存在 2 下列變數中，是無窮小量的為 a bc d 3 滿足方程的是函式的 a 極大值點b 極小值點c 駐點d 間斷點4 函式在處連續是在處可導的 a 必要但非充分條件 b 充分但非必要條件 c 充分必要條件 d 既...
高等數學複習題 同濟六版 下冊
一 選擇題 本大題共20分,每小題2分 1.設與為非零向量，則是 a 的充要條件b 的充要條件 c 的充要條件d 的必要但不充分條件 2.準線為平面上以原點為圓心，半徑為2的圓周，母線平行於軸的圓柱面方程是 ab cd 3.向量 垂直的充分必要條件是 ab c d 4.設，則 ab cd 5.函式在...