a（一）學習指導
第一章函式和極限
一、關於函式的四個特性
1． 函式的有界性
定義1 設在數集a上有定義，若，,有，則稱在a上為有界函式，否則，即，,有，則稱在a上為無界函式.
幾何上，若能找到兩條平行的關於x軸對稱的水平直線 ，使在a上的影象夾在兩直線之間的，則稱在a上為有界函式．而無界函式是找不到具有上述性質的兩條平行水平直線的．
分析上，若證明在a上有界，則只要找到一正數m，使，有即可．而若證明在a上無界，則，由，只要找a上一點，使即可．這個既可由不等式解x求得，又可用觀察法．
定義2 設在數集a上有定義，若，，有，則稱在a上是有上界，下界的有界函式．若，，有（或），則稱在a上是有上界（或下界）的函式．
例1 證明在上為有界函式；在上是無界函式．
證因，有，故，，有．即在上為有界函式．
當時，，由，，於是，，有．
故在上為無界函式．
例2 證明在上為無界函式．
證:，由，因，，
令，，有，
故在上為無界函式．
2． 函式的單調性
定義:若，，有（或），則稱在a上為嚴格單調上公升（或單調下降）函式，簡稱單調上公升（或單調下降）函式，用↗（或↘）表示．
注：在a上單調下降的箭頭表示不可為「↙」．
若，，有（或），則稱在a上為一般單調上公升（或單調下降）函式．
在書本中若無特殊說明，函式單調性討論都指嚴格單調性的討論．
對數列：
若有（或），則稱為單調上公升（或下降）數列．
若有（或），則稱為一般單調上公升（或下降）數列．
注：驗證乙個函式在區間a上的單調性，根據定義，必須在a上任取兩點來比較其函式值大小（在第三章可用導數符號來討論函式單調性）．
例3若在上為偶函式，又在上↗。
證明在上↘。
證:，，．
因為偶函式，又在上↗，所以，
故在上↘．
3． 函式的奇偶性
⑴定義：若在對稱區間a上有定義．，此時，，有（或），則稱在a上為奇函式（或偶函式）．
幾何上，若在a上為奇（或偶）函式，則在a上的影象關於原點（或y軸）對稱．
⑵在對稱區間a上非奇非偶函式的判定：
幾何上，若曲線在a上影象既不關於y軸對稱，又不關於原點對稱，則在a上必是非奇非偶函式．
分析上，它是奇偶性定義的否定命題．因此只要驗證，，使得，同時，則在a上為非奇非偶函式．
注意：上述兩式絕不是，．
⑶由函式的奇偶性的幾何特性，可以容易地把定義在上的函式在進行延拓，以得到乙個新的函式，使在上為奇函式或偶函式．
①把，，作關於原點對稱的影象，如圖所示．於是
在上為奇函式．
圖圖② 把，作關於y軸對稱影象，如圖所示．於是
在上為偶函式．
例4 討論下列函式的奇偶性：
⑴（，它是以乙個特殊無理數為底數的對數函式）
解：，，．
故在上為奇函式．
⑵解：，．
故在上為偶函式．
注：是奇函式．但對不要因看到指數3就誤認為是奇函式．
⑶解：，
，，，．
故在是非奇非偶函式．
注：下面證明對嗎：因，，，，故為非奇非偶函式．
4． 函式的週期性
定義：設的定義域為一無限區間，例如：．若，，有，則稱是週期為t的函式．
一般說來，高等數學中討論的週期t都是指最小正週期．
例如：的週期為．
如果的週期為t，則都為週期，即．
如果的週期為t，則只要知道在乙個長度為週期的區間（例如：或）上的表示式，就可利用週期性知道在其定義域內所有點的函式值．
例5 是週期為的奇函式，在上的函式值已知，
例如：，則．
圖例6 設週期為1，時，，試作出在上的影象，並求：；．
解：在上的影象如所示．，．
例7 設，試證明是週期為1的函式，並求．
證：因，，
，故是週期為1的函式．
．注：是不超過x的最大整數，而是表示乙個正小數或零，並且，當時，，因此，就是例6中的函式．
二、函式和復合函式
1． 函式定義
設有非空數集和實數集．若，按某一法則f，總能對應r中唯一實數y，則稱對應法則f為定義在a上的函式．一般用數學記號表示如下：
f：其對映圖如圖所示．圖注：
①函式定義兩個要素：定義域和對應法則．如果兩個函式有相同的定義域和相同的對應法則，不管變數採用什麼記號，都應視為同一函式．例如：，是同一正弦三角函式，可記為，．
②不同的函式一般可用不同對應法則所表示的不同字母來表示．如用等表示．
2． 分段函式
分段函式是表示乙個函式，並且是在自變數x的不同範圍內對應法則f用不同式子表示的乙個函式．常見分段函式有兩種形式：
⑴； ⑵．
式中，，，是x的乙個表示式，是分段函式的交接點．
3． 復合函式
⑴定義：設的定義域為u，而的定義域為a，值域為，並且，，則在a上稱是的以中間變數為的復合函式．記為
．復合函式：
其對映圖如圖所示．圖注：
①．②的定義域a的確定是使有意義的x全體．
⑵把乙個復合函式分解成幾個簡單函式的復合．例如：
①，它由，，，復合而成．
②(，)稱為2的指方，不是的x指方．即
它由，復合而成．
注：對嗎？
③設，是兩個x的表示式，，稱為冪指函式．
，它由，復合而成．
恒等式務必熟記．以後對進行分析運算時，往往化為對的分析運算．
⑶把幾個簡單函式復合成乙個函式．
例1 ，，求：；．
解：，，．
故．例2 設，，
求：；；．
解：①求時，應根據分段函式自變數的分段情況，對的值域進行分段討論，從而確定自變數的分段情況．
，時，；
，時，．
故，．②求時，只要根據的分段情況來討論即可．．
③求時，根據的自變數x的分段情況確定相應的值域範圍，結合的分段情況得到相應．．
時，，此時，有；，有．
故時，；
時，；時，，故；
時，，有，；
，有，．
故 ⑷由復合函式求函式．由求有兩種方法：
①令，解，於是，，；
②把化為，則．
例3 設，求．
解：令，，於是，，
故．例4 設，求．
解：由解x較繁，可由湊表示式，
因，故．
例5 設，，且，求及其定義域．
解：因為，又因為，，其定義域為，故．
三、正確表達和理解極限定義中的邏輯關係
1． 數列極限的定義
若時，，稱是極限為a的收斂數列，記為．要反映這兩個無限接近的分析定義為：，，，有．
其中：①正數首先具有任意性，只有這樣，由才能反映數列無限接近於a，為此，以小為貴．其次，正數還具有相對固定性，即一旦給出一些充分小的正數，就應把暫時看作固定不變，此時，就可以由確定相應的n．為此有
等價定義1：若（,為某一正數），，，有，則
．② 正整數n表示時和a接近的程度．如①所述，對任意給定的，由可確定n．因此，一般說來，n是隨的變化而變化的，並且，當取越小的正數時，相應的n就越大．另外，在定義中，，，有，沒有要求第n項以前的非要．因此，此n不是唯一的．即如果，，，有，那麼，比n大的任一正整數仍然滿足定義要求．為此有
等價定義2：若，，，有，則．
③ 由於為任意給定的正數，所以，，，，，等也是任意給定的正數（其中m為某一正常數）．為此有
等價定義3：若，，，，有，則．
④ 對於兩個不同的收斂數列，，，分別無限接近於a，b都可用同一尺度來衡量，但是接近的程度，即n的選取，一般說來是不相同的．所以，若有，則，，，有；，則，，有，．
⑤ 下列敘述極限定義是錯誤的：
（ⅰ）因為，所以；或，有；或，，，有．
（ⅱ）因為；或，有；或，，，有，所以．
2． 函式極限定義的「」，「」語言
⑴：，，，有；
左極限，即：，，，有；
右極限，即：，，，有．
特別地，當時，記為
注：當時，，．
⑵ ：，，，有．
單側極限：：，，，有．
：，，，有．
⑶注：①在有無極限和在有無定義毫無關係．
②單側極限不能記為．
③不是函式值，它是在的左右極限．
3． 兩個結論
⑴．由此當，至少有乙個不存在時，或當時，則不存在．
⑵．由此當，至少有乙個不存在時，或當時，則不存在．
4． 熟練掌握並應用極限的三大性質（特別是保號性）
⑴唯一性：
數列：若收斂於a，則a是唯一的．
函式：若或，則a是唯一的．
⑵有界性和區域性有界性：
有界性：若是收斂數列，則必是有界數列，反之不然．
區域性有界性：
（ⅰ）若，則，，，有．
（ⅱ）若，則，，，有．
⑶保號性：
①數列：若，，，則，，有．
推論：（ⅰ）若，則，，有．
（ⅱ）若，則，，有．
（ⅲ）若，，又，，有（或），則．
②函式：以為例．若，，．則，，有．
推論：（ⅰ）若，則，，有．
（ⅱ）若，則，，有．
（ⅲ）若，，又，，有（或），則．
例1若，證明是的乙個極小值．
證：因，
由保號性知：，，有，即．
故是的乙個極小值．
5． 利用極限定義驗證極限的方法
以和為例：
⑴方法一（直接法）：
①若關於n的表示式比較簡單，就可以直接由解，此時，令即可（若解出，則肯定是錯誤的）．
②若關於的表示式比較簡單，就可以直接由解，此時，令即可（由不是解x的不等式，而要解的不等式．若解出，則肯定是錯誤的）．
例2試利用定義證明下列極限：
①當時，；②；③；④。
證①當時，自然收斂於0；
當時，，由，．
因，，故．當時，，．
於是 ，，有．
故當時，．從而當時，都有．
②，因時，，，．
於是，，，有．即．
③（由於關於x的表示式比較簡單，但由解較為困難．現利用左右極限來證明．）
先證：，當時，，．
故，，，有．即．
再證：，當時，，，時，．於是 ,，，有．即．因，故．
④，由，，
當時，．於是 ，，，有．即．
注：同理可證．由於，所以不存在．
⑵方法二（適當放大技巧）：
①若關於n的表示式比較複雜，即由解n不簡便，則可利用適當放大技巧．即若，，有．且滿足：
（ⅰ）；
（ⅱ）關於n的表示式比較簡單，即由解方便．於是
②若關於的表示式比較複雜，即由解不簡便，則可利用適當放大技巧．即首先選取適當（注意「適當」，一般以小為妥），，有（注意：此不等式不要求對所有x成立，只要求在內成立即可）．且滿足：
（ⅰ）；
（ⅱ）關於的表示式比較簡單，即由解方便，則令．
③在利用適當放大技巧證明極限時，會正確使用下列不等式：
（ⅰ）若，則；．
（ⅱ）對：若要放大，有；若要縮小，有．
例3試利用定義證明下列極限：
①；②有；
③；④．
證：①，，，
故，，，有．即．
②，由，因，令．
當時，，有，．
故，，，有．
即．③，由，令．
當時（如圖所示），，有
，．故，，，有，即．
圖④，由，
．故，，，有．
即．6． 關於無窮大和無窮小
⑴定義若（或∞），則稱數列是無窮小數列（或無窮大數列）；
若（或∞），則稱當時為無窮小（或無窮大）；
若（或∞），則稱當時為無窮小（或無窮大）．
國際貿易第五版第一章緒論
第一章緒論 第一節國際 含義 一 理論含義 國際 international trade 現又稱為世界 world trade 是指世界各國之間商品和勞務交換的活動，是各國之間分工的表現形式，反映了世界各國在經濟上的相互依靠。二 法律定義 國際 包括貨物進出口 技術進出口和國際服務 第二節國際 分類...
第一章有理數
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總分姓名 一 選擇題 3分 10 30分 1 2012廣東 5的絕對值是 a 5 b 5 c d 2 2012廣東 地球半徑約為6400000公尺，用科學記數法表示為 a 0.64 107 b 6.4 106 c 64 105 d 640 104 3 2011廣東 2的倒數是 a b c 2 d 2...