【複習要點】
解不等式對學生的運算化簡等價轉化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進一步轉化，對解不等式的考查將會更是熱點，解不等式需要注意下面幾個問題：
(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法.
(2)掌握用序軸標根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法.
(3)掌握無理不等式的三種型別的等價形式，指數和對數不等式的幾種基本型別的解法.
(4)掌握含絕對值不等式的幾種基本型別的解法.
(5)在解不等式的過程中，要充分運用自己的分析能力，把原不等式等價地轉化為易解的不等式.
(6)對於含字母的不等式，要能按照正確的分類標準，進行分類討論.
【例題】
【例1】 解不等式：
解：原不等式可化為：＞0，
即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.
當a＞1時，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解.
若≥2，即0≤a＜1時，原不等式無解；若＜2，即a＜0或a＞1，於是a＞1時原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞).
當a＜1時，若a＜0，解集為(，2)；若0＜a＜1，解集為(2，)
綜上所述：
當a＞1時解集為(－∞，)∪(2，+∞)；
當0＜a＜1時，解集為(2，)；
當a=0時，解集為；
當a＜0時，解集為(，2).
【例2】 設不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為m，如果m［1，4］，求實數a的取值
範圍.解：m［1，4］有n種情況：其一是m=，此時δ＜0；其二是m≠，此時δ＞0，分三種情況計算a的取值範圍.
設f(x)=x2 －2ax+a+2，有δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
(1)當δ＜0時，－1＜a＜2，m=［1，4］
(2)當δ=0時，a=－1或2.當a=－1時m= ［1，4］；當a=2時，m=［1，4］.
(3)當δ＞0時，a＜－1或a＞2.設方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1＜x2，那麼m=［x1，x2］，m［1，4］1≤x1＜x2≤4
即，解得：2＜a＜，
∴m［1，4］時，a的取值範圍是(－1，).
【例3】 解關於x的不等式：．
解：原不等式等價於①，即.
由於，所以，所以，上述不等式等價於 ②
解答這個含引數的不等式組，必然需要分類討論，此時，分類的標準的確定就成了解答的關鍵．如何確定這一標準？
（1）當時，不等式組②等價於
此時，由於，所以．
從而 ．
（2）當時，不等式組②等價於
所以 ．
（3）當時，不等式組②等價於
此時，由於，所以，．
綜上可知：
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為．
【例4】 解關於的不等式：
解：原不等式等價於
，∴當時，原不等式的解集為
當時，原不等式的解集為
【例5】 設函式，
（1）當時，解不等式；
（2）求的取值範圍，使得函式在上為單調函式．
講解：（1）時，可化為：，等價於：
或 ②
解①得，解②得．
所以，原不等式的解集為 ．
（2）任取，且，則
要使函式在上為單調函式，需且只需：
恆成立，（或恆成立）．
因此，只要求出在條件「，且」之下的最大、最小值即可．為了探求這個代數式的最值，我們可以考慮極端情況，如：，容易知道，此時；若考慮，則不難看出，此時，至此我們可以看出：要使得函式為單調函式，只需．
事實上，當時，由於恆成立，所以，．所以，在條件「，且」之下，必有：．
所以，在區間上單調遞減．
當時，由（1）可以看出：特例的情況下，存在．由此可以猜想：函式在區間上不是單調函式．為了說明這一點，只需找到，使得即可．簡便起見，不妨取，此時，可求得，也即：
，所以，在區間上不是單調函式．
另解：，對，易知：
當時，；當時，；
所以當時，，
從而只須，必有，函式在上單調遞減。
【例6】 已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函式，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，
m+n≠0時＞0.
(1)用定義證明f(x)在［－1，1］上是增函式；
(2)解不等式：f(x+)＜f()；
(3)若f(x)≤t2－2at+1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恆成立，求實數t的取值範圍.
解：(1)證明：任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，
則f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=·(x1－x2)
∵－1≤x1＜x2≤1，
∴x1+(－x2)≠0，由已知＞0，又 x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上為增函式.
(2)解：∵f(x)在［－1，1］上為增函式，
∴ 解得：
(3)解：由(1)可知f(x)在［－1，1］上為增函式，且f(1)=1，
故對x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，
所以要f(x)≤t2－2at+1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恆成立，
即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0，
記g(a)=t2－2at，對a∈［－1，1］，g(a)≥0，
只需g(a)在［－1，1］上的最小值大於等於0，
g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或t=0或t≥2.
∴t的取值範圍是：.
【例7】 給出乙個不等式（x∈r）。
經驗證：當c=1, 2, 3時，對於x取一切實數，不等式都成立。
試問：當c取任何正數時，不等式對任何實數x是否都成立？若能成立，請給出證明；若不成立，請求出c的取值範圍，使不等式對任何實數x都能成立。
解：令f(x)=，設u= (u≥)
則f(x)= (u≥)
∴f(x)
要使不等式成立，即f(x)－≥0
∵u≥>0 ∴只須u－1≥0
∴u2c≥1 u2≥ ∴x2+c≥
∴x2≥－c 故當c=時，
原不等式不是對一切實數x都成立，即原不等式對一切實數x不都成立
要使原不等式對一切實數x都成立，即使x2≥－c對一切實數都成立。
∵x2≥0 故－c≤0
∴c≥1(c>0) ∴c≥1時，原不等式對一切實數x都能成立。
【不等式的解法練習1】
1．不等式的解集是 （ d ）
（ab）{}
（cd）{}
2．當時，不等式恆成立，則的取值範圍是（ b ）
（a） （b）（1，2） （c） （d）（0，1）
3．不等式成立的乙個充分但不必要條件是 （ b ）
（a） （b） （c） （d）
4．三個數的大小關係是 （ b ）
（ab）
（cd）
5．若全集是( b )
a． b． c． d．
6．下列命題中，正確的是( c )
a．若b．若
c．若d．若
7．若是任意實數，且，則( d )
a． b． c． d．
8．設，則下列四數中最大的是( a )
abcd．
9．不等式恆成立，則的取值範圍為( d )
a． b． c． d．
10．不等式的解集是( b )
a． b． c． d．
11．當成立的充要條件是( c )
a． b． c． d．
12．已知，那麼的最小值是( b )
a．6b． cd．
13．不等式組的解集是( d )
a． b． c． d．
14．不等式的解集是( c )
a． b． c． d．
15．的大小順序是
16．若，則的取值範圍是
17．不等式的解集是
18．關於的不等式的解集是空集，那麼的取值區間是 [0，4]
19. 解不等式：
解：∵ a+a=(a2+)ax，變形原不等式，得
a(1) 當0 < a < 1時，a，則a2 < ax < a-2，∵-2 < x < 2
(2) 當a>1時，a，則a-2 < ax < a2，∴-2 (3) 當a=1時，a，無解。 綜上，當a≠1時，-2 < x < 2，當a=1時無解。
20．對於x，關於x的不等式<1總成立，求實數a的取值範圍。
解：由1＜x≤2，得a>0,a+x>1,∴lg(a+x)>0 ∴有lg2ax(1)a>時，x<，由1＜x≤2時x《總成立，得》2，∴ (2)a=時，有0·x< ∴1＜x≤2時不等式總成立
(3)0，由1＜x≤2時x>總成立，得a≤1，綜合0 綜上，021、已知函式（1）求函式的定義域；（2）判斷的單調性，並用函式單調性的定義予以證明
解：（1）由或，
故的定義域為
（2）任取令，則
=，故又函式在上是減函式，
所以有，即，
即在上是增函式
22．解不等式
解：由且，得，
原不等式等價於
而；整理，∴為所求。
【不等式的解法練習2】
一、選擇題
1．設函式f(x)=，已知f(a)＞1，則a的取值範圍是( )
a.(－∞，－2b.(－，)
c.(－∞，－2)∪(－，1d.(－2，－)∪(1，+∞)
二、填空題
2．已知f(x)、g(x)都是奇函式，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(，)，則f(x)·g(x)＞0的解集是
3．已知關於x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，則a的取值範圍是
三、解答題
4．已知適合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值為3.
(1)求p的值；
(2)若f(x)=，解關於x的不等式f-－1(x)＞(k∈r+)
5．設f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，問是否存在a、b、c∈r，使得不等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+對一切實數x都成立，證明你的結論.
6．已知函式f(x)=x2+px+q，對於任意θ∈r，有f(sinθ)≤0，且f(sinθ+2)≥2.
(1)求p、q之間的關係式；
(2)求p的取值範圍；
(3)如果f(sinθ+2)的最大值是14，求p的值.並求此時f(sinθ)的最小值.
7．解不等式loga(1－)＞1
8．設函式f(x)=ax滿足條件：當x∈(－∞，0)時，f(x)＞1；當x∈(0，1時，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恆成立，求實數m的取值範圍.
高三地理單元知識點精析精練習題
第3單元水土流失的治理 以黃土高原為例 3 2 水土流失的治理 知識歸納 學法建議 1 學習本節內容要注意內容前後 內在的聯絡。根據水土流失形成的人為原因應採取相應的水土保持的基本措施。而 小流域的綜合治理 體現了環境可持續發展和社會經濟可持續發展的雙重要求。2 學習本節內容要注意知識的滲透性。例如...
高三數學知識點總結
高中數學知識梳理總匯 第一部分集合與函式 1 在集合運算中一定要分清代表元的含義.舉例1 已知集，求.2 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.舉例 若且，求的取值範圍.3 充要條件的判定可利用集合包含思想判定 若，則a是b的充分條件 若，則a是b的必要條件 若且即，則a是b的充要條件....
高三數學知識點總結
集合與簡易邏輯 基本概念 公式及方法是數學解題的基礎工具和基本技能，為此作為臨考前的高三學生，務必首先要掌握高中數學中的概念 公式及基本解題方法，其次要熟悉一些基本題型，明確解題中的易誤點，還應了解一些常用結論，最後還要掌握一些的應試技巧。本資料對高中數學所涉及到的概念 公式 常見題型 常用方法和結...