2023年全國數學考試大綱（課標版）中，能力要求中指出，能力是指思維能力、運算能力、空間想象能力以及實踐能力和創新意識。其中創新意識指對新穎的資訊、情境和設問，選擇有效的方法和手段收集資訊，綜合與靈活地應用所學的數學知識、思想和方法，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題.創新意識：
首先是能獨立思考、善於發現、提出有價值的問題，選擇有效的方法和手段分析資訊，綜合與靈活地應用所學的數學知識、思想和方法，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題. 2023年山東數學考試說明對創新意識的界定是：能夠獨立思考，靈活和綜合地運用所學數學的知識、思想和方法，創造性地提出問題、分析問題和解決問題．
創新意識是理性思維的高層次表現.對數學問題的「觀察、猜測、抽象、概括、證明」，是發現問題和解決問題的重要途徑，對數學知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創新意識也就越強.
對創新意識的考查是對高層次理性思維的考查.在考試中創設新穎的問題情境，構造有一定深度和廣度的數學問題，要注重問題的多樣化，體現思維的發散性.精心設計考查數學主體內容、體現數學素質的試題；反映數、形運動變化的試題；研究型、探索型、開放型的試題.
一、開放型
開放型問題是指那些題目條件不完備、結論不明確、或者答案不唯一，給學生留有較大探索餘地的試題．一般有題設開放型、結論開放型、題設和結論均開放型以及解題方法的開放型幾類問題．其中結論開放型探索性問題的特點是給出一定的條件而未給出結論，要求在給定的前提條件下，探索結論的多樣性，然後通過推理證明確定結論;題設開放型探索性問題的特點是給出結論，不給出條件或條件殘缺，需在給定結論的前提下，探索結論成立的條件，但滿足結論成立的條件往往不唯一，答案與已知條件對整個問題而言只要是充分的、相容的、獨立的．就視為正確的；全開放型，題設、結論都不確定或不太明確的開放型探索性問題，與此同時解決問題的方法也具有開放型的探索性問題，需要我們進行比較全面深入的探索，才能研究出解決問題的辦法來。
1. 條件開放型
這類題目的特點是給出了題目的結論，但沒有給出滿足結論的條件，並且這類條件常常是不唯一的，需要解題者從結論出發，通過逆向思維去判斷能夠追溯出產生結論的條件，並通過推理予以確認．這種條件**性問題實質上是尋找使命題為真的充分條件（未必是充要條件）．解決此類問題的策略有兩種，一種是將結論作為已知條件，逐步探索，找出結論成立所需的條件，這也是我們通常所說的"分析法"；第二種是假設題目中指定的探索條件，把它作為已知，並結合其他題設進行推導，如果能正確推導出結論，則此探索條件就可以作為題設條件，直覺聯想、較好的洞察力都將有助於這一類問題的解答．
1．在四稜錐中，四條側稜長都相等，底面是梯形，，．為保證頂點p在底面所在平面上的射影o在梯形的外部，那麼梯形需滿足條件填上你認為正確的乙個條件即可）．
講解： 條件給我們以啟示．由於四條側稜長都相等，所以，頂點p在底面上的射影o到梯形四個頂點的距離相等．即梯形有外接圓，且外接圓的圓心就是o．顯然梯形必須為等腰梯形．
再看結論．結論要求這個射影在梯形的外部，事實上，我們只需找出使這個結論成立的乙個充分條件即可．
顯然，點b、c應該在過a的直徑ae的同側．不難發現，應該為鈍角三角形．
故當（且ac>bc）時可滿足條件．其餘等價的或類似的條件可以隨讀者想象．
點評：本題為條件探索型題目，其結論明確，需要完備使得結論成立的充分條件，可將題設和結論都視為已知條件，進行演繹推理推導出所需尋求的條件．這類題要求學生變換思維方向，有利於培養學生的逆向思維能力．
2.如圖，在直四稜柱a1b1c1d1—abcd中，當底面四邊形abcd滿足條件時，有a1c⊥b1d1（注：填上你認為正確的條件即可，不必考慮所有可能的情況）
分析：本題是條件探索型試題，即尋找結論a1c⊥b1d1成立的充分條件，由aa1⊥平面a1c1以及a1c⊥b1d1（平面a1c1的一條斜線a1c與麵內的一條直線b1d1互相垂直），容易聯想到三垂線定理及其逆定理。因此，欲使a1c⊥b1d1，只需b1d1與ca1在平面a1c1上的射影垂直即可。
顯然，ca1在平面a1c1上的射影為a1c1，故當b1d1⊥a1c1時，有a1c⊥b1d1，又由於直四稜柱的上、下底面互相平行，從而b1d1∥bd，a1c1∥ac。因此，當bd⊥ac時，有a1c⊥b1d1。由於本題是要探求使a1c⊥b1d1成立的充分條件，故當四邊形abcd為菱形或正方形時，依然有bd⊥ac，從而有a1c⊥b1d1，故可以填：
①ac⊥bd或②四邊形abcd為菱形，或③四邊形abcd為正方形中的任乙個條件即可。
點評: ac⊥bd是結論a1c⊥b1d1成立的充要條件，而所填的abcd是正方形或菱形則是使結論a1c⊥b1d1成立的充分而不必要的條件． 本例中，滿足題意的充分條件不唯一，具有開放性特點，這類試題重在考查基礎知識的靈活運用以及歸納探索能力。
3.如圖，三條直線a、b、c兩兩平行，直線a、b間的距離為p，直線b、c間的距離為，a、b為直線a上兩定點，且｜ab｜=2p，mn是在直線b上滑動的長度為2p的線段.
（1）建立適當的平面直角座標系，求△amn的外心c的軌跡e；
（2）接上問，當△amn的外心c在e上什麼位置時，d+｜bc｜最小，最小值是多少？（其中d是外心c到直線c的距離）.
解：（1）以直線b為x軸，以過a點且與b直線垂直的直線為y軸建立直角座標系.
設△amn的外心為c(x,y)，則有a(0,p)、m（x–p,0)，n(x+p,0)，
由題意，有|ca|=|cm|
∴,化簡，得x2=2py
它是以原點為頂點，y軸為對稱軸，開口向上的拋物線.
（2）由（1）得，直線c恰為軌跡e的準線.
由拋物線的定義知d=｜cf｜，其中f（0,）是拋物線的焦點.
∴d+｜bc｜=｜cf｜+｜bc｜
由兩點間直線段最短知，線段bf與軌跡e的交點即為所求的點
直線bf的方程為聯立方程組
得.即c點座標為().
此時d+｜bc｜的最小值為｜bf｜=.
2.結論開放型
這類題目的特點是給出一定的條件，要求從條件出發去探索結論，而結論往往是不唯一的，甚至是不確定的，或給出特例後通過歸納得出一般性結論. 解決此類問題的策略有：從已知條件出發，運用所學過的知識進行推理、**或實驗得出結論；通過歸納得出一般性結論，再去證明；對多種結論進行優化（內含分類討論）等.
3．老師給出乙個函式，四個學生甲、乙、丙、丁各指出這個函式的乙個性質：
甲：對於，都有；
乙：在上函式遞減；
丙：在上函式遞增；
丁：不是函式的最小值．
如果其中恰有三個人說得正確，請寫出乙個這樣的函式
講解：首先看甲的話，所謂「對於，都有」，其含義即為：函式的影象關於直線對稱．數形結合，不難發現：甲與丙的話相矛盾．（在對稱軸的兩側，函式的單調性相反）
因此，我們只需選擇滿足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）條件的函式即可．
如果我們希望找到滿足甲、乙、丁條件的函式，則需要認識到：所謂函式在上單調遞減，並不是說函式的單調遞減區間只有．考慮到關於直線的對稱性，我們不妨建構函式，使之在上單調遞減，這樣，既不與乙的話矛盾，也滿足丁所說的性質．如即可．
如果希望找到滿足乙、丙、丁條件的函式，則分段函式是必然的選擇．如．
點評：本題考查學生對於函式性質的理解和掌握．思考這樣的問題，常常需要從熟悉的函式（一次、二次、反比例函式，指數、對數、三角函式等）入手，另外，分段函式往往是解決問題的關鍵．
（2023年全國高考)、是兩個不同的平面，、是平面及之外的兩條不同直線，給出四個論斷
以其中三個論斷作為條件，餘下乙個論斷作為結論，寫出你認為正確的乙個命題
4.（2023年全國高考試題）如圖，e、f分別為正方體的面add1a1和麵bcc1b1的中心，則四邊形bfd1e在該正方體的面上的射影可能是要求把可能的圖形的序號都填上）
分析：本題為結論探索型的試題，要求有一定的空間想象能力。
解：由於正方體的6個面可分為互為平行的三對，而四邊形bfd1e的在互為平行的平面上的射影相同，因此可把問題分為三類：a：
在上、下兩面上的射影為圖②；b：在前、後兩面上的射影為圖②；c：在左、右兩面上的射影為圖③.
綜上可知，在正方體各面上的射影是圖②或圖③。
點評：這也是一道結論探索型問題，結論不唯一，應從題設出發，通過分類以簡化思維，再利用射影的概念，得到正確的結論。
3.條件和結論都開放型
有些題目條件和結論都是不確定的，但是給出了一定量的資訊和情景，要求解題者在題目給出的情景中，自行設定條件，自己尋找結論，自己構建命題並進行演繹推理．
5.設f(x) 是定義域為r的乙個函式，給出下列五個論斷：
① f(x)的值域為r；
② f(x)是r上的單調遞減函式；
③ f(x)是奇函式；
④ f(x)在任意區間[a, b] (a f(b)；
f(x)有反函式．
以其中某一論斷為條件，另一論斷為結論（例如： ①），至少寫出你認為正確的三個命題
講解：本題考察對於函式性質的理解．
根據單調性的定義，不難知道：②⑤等價，又由於單調函式必有反函式，所以，不難寫出三個正確命題或④②）．
進一步思考，函式的值域與單調性、奇偶性並無直接聯絡，而且單調性與是否存在反函式之間也不是等價的關係．所以，可以知道，只有上述三個正確命題．
6．已知是實數，給出下列四個論斷：
（1）；（2）；
（3）；（4）
以其中的兩個論斷為條件，其餘兩個論斷為結論，寫出你認為正確的乙個命題．
講解 ：顯然，（1）、（2）等價，它們的含義均為：同號．在此前提之下，由（3）必可推出（4），所以，正確的命題為：（1）（3）（4）；（2）（3）（4）．
點評：對於這一類只給出了乙個特定的情境，而命題的條件、結論及推理論證的過程均不確定的開放性試題，應該靈活運用數學知識，回顧相近的題型、結論、方法，進行模擬猜想．在給定的情境中自己去假設，去求解，去調整方法，去確定結果．
7.（2023年全國高考試題）α,β是兩個不同的平面，m , n是平面α,β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：① m ⊥ nn ⊥ β ，④ m ⊥ α ．以其中三個論斷作為條件，餘下乙個論斷作為結論，寫出你認為正確的乙個命題．
8.已知函式
,給出以下三個條件:
(1) 存在，使得；
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