求軌跡方程的常用方法

重點: 掌握常用求軌跡方法

難點：軌跡的定型及其純粹性和完備性的討論

【自主學習】

知識梳理：

（一）求軌跡方程的一般方法：

1. 待定係數法：如果動點p的運動規律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據已知條件，待定方程中的常數，即可得到軌跡方程，也有人將此方法稱為定義法。

2. 直譯法：如果動點p的運動規律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點p滿足的等量關係易於建立，則可以先表示出點p所滿足的幾何上的等量關係，再用點p的座標（x，y）表示該等量關係式，即可得到軌跡方程。

3. 引數法：如果採用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發動點p運動的某個幾何量t，以此量作為參變數，分別建立p點座標x，y與該引數t的函式關係x＝f（t），y＝g（t），進而通過消參化為軌跡的普通方程f（x，y）＝0。

4. 代入法（相關點法）：如果動點p的運動是由另外某一點p'的運動引發的，而該點的運動規律已知，（該點座標滿足某已知曲線方程），則可以設出p（x，y），用（x，y）表示出相關點p'的座標，然後把p'的座標代入已知曲線方程，即可得到動點p的軌跡方程。

5.幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質（如線段的垂直平分線，角平分線的性質等），可以用幾何法，列出幾何式，再代入點的座標較簡單。

6：交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現要求兩動曲線交點的軌跡問題，這燈問題通常通過解方程組得出交點（含引數）的座標，再消去引數求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的引數，也可直接消去引數得到軌跡方程），該法經常與引數法並用。

（二）求軌跡方程的注意事項：

1. 求軌跡方程的關鍵是在紛繁複雜的運動變化中，發現動點p的運動規律，即p點滿足的等量關係，因此要學會動中求靜，變中求不變。

來表示，若要判斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需將引數方程化為普通方程。

3. 求出軌跡方程後，應注意檢驗其是否符合題意，既要檢驗是否增解，（即以該方程的某些解為座標的點不在軌跡上），又要檢驗是否丟解。（即軌跡上的某些點未能用所求的方程表示），出現增解則要捨去，出現丟解，則需補充。

檢驗方法：研究運動中的特殊情形或極端情形。

4．求軌跡方程還有整體法等其他方法。在此不一一綴述。

課前熱身：

1. p是橢圓=1上的動點，過p作橢圓長軸的垂線，垂足為m，則pm中點的軌跡中點的軌跡方程為

a、 b、 c、 d、=1

【答案】：b

【解答】:令中點座標為,則點p 的座標為(代入橢圓方程得,選b

2. 圓心在拋物線上，並且與拋物線的準線及軸都相切的圓的方程是（）

abcd【答案】：d

【解答】:令圓心座標為(,則由題意可得,解得,則圓的方程為,選d

3: 一動圓與圓o：外切，而與圓c：內切，那麼動圓的圓心m的軌跡是：

a：拋物線b：圓 c：橢圓 d：雙曲線一支

【答案】：d

【解答】令動圓半徑為r，則有，則|mo|-|mc|=2，滿足雙曲線定義。故選d。

4: 點p(x0，y0)在圓x2+y2=1上運動，則點m（2x0，y0）的軌跡是

a.焦點在x軸上的橢圓b. 焦點在y軸上的橢圓

c. 焦點在y軸上的雙曲線d. 焦點在x軸上的雙曲線

【答案】：a

【解答】:令m的座標為則代入圓的方程中得,選a

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名師點題一：用定義法求曲線軌跡

求曲線軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，通過座標互化將其轉化為尋求變數之間的關係，在求與圓錐曲線有關的軌跡問題時，要特別注意圓錐曲線的定義在求軌跡中的作用，只要動點滿足已知曲線定義時，通過待定係數法就可以直接得出方程。

例1：已知的頂點a，b的座標分別為（-4，0），（4，0），c 為動點，且滿足求點c的軌跡。

【解析】由可知，即，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點）。

【點評】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關鍵。

（1）圓：到定點的距離等於定長

（2）橢圓：到兩定點的距離之和為常數（大於兩定點的距離）

（3）雙曲線：到兩定點距離之差的絕對值為常數（小於兩定點的距離）

（4）到定點與定直線距離相等。

【變式1】: 1:已知圓的圓心為m1，圓的圓心為m2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心p的軌跡方程。

解：設動圓的半徑為r，由兩圓外切的條件可得：，。

。∴動圓圓心p的軌跡是以m1、m2為焦點的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。

故所求軌跡方程為

2:一動圓與圓o：外切，而與圓c：內切，那麼動圓的圓心m的軌跡是：

a：拋物線b：圓 c：橢圓 d：雙曲線一支

【解答】令動圓半徑為r，則有，則|mo|-|mc|=2，滿足雙曲線定義。故選d。

二：用直譯法求曲線軌跡方程

此類問題重在尋找數量關係。

例2：一條線段ab的長等於2a,兩個端點a和b分別在x軸和y軸上滑動，求ab中點p的軌跡方程？

解設m點的座標為由平幾的中線定理：在直角三角形aob中，om=

m點的軌跡是以o為圓心，a為半徑的圓周.

【點評】此題中找到了om=這一等量關係是此題成功的關鍵所在。一般直譯法有下列幾種情況：

1）代入題設中的已知等量關係：若動點的規律由題設中的已知等量關係明顯給出，則採用直接將數量關係代數化的方法求其軌跡。

2）列出符合題設條件的等式：有時題中無座標系，需選定適當位置的座標系，再根據題設條件列出等式，得出其軌跡方程。

3）運用有關公式：有時要運用符合題設的有關公式，使其公式中含有動點座標，並作相應的恒等變換即得其軌跡方程。

4）借助平幾中的有關定理和性質：有時動點規律的數量關係不明顯，這時可借助平面幾何中的有關定理、性質、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質等等，從而分析出其數量的關係，這種借助幾何定理的方法是求動點軌跡的重要方法.

【變式2】: 動點p（x,y）到兩定點a（－3，0）和b（3，0）的距離的比等於2（即），求動點p的軌跡方程？

【解答】∵|pa|=

代入得化簡得（x－5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4為半徑的圓.

三：用引數法求曲線軌跡方程

此類方法主要在於設定合適的引數，求出引數方程，最後消參，化為普通方程。注意引數的取值範圍。

例3．過點p（2，4）作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸於a點，l2交y軸於b點，求線段ab的中點m的軌跡方程。

【解析】

分析1：從運動的角度觀察發現，點m的運動是由直線l1引發的，可設出l1的斜率k作為引數，建立動點m座標（x，y）滿足的引數方程。

解法1：設m（x，y），設直線l1的方程為y－4＝k（x－2），（k≠０）

∵m為ab的中點，

消去k，得x＋2y－5＝0。

另外，當k＝0時，ab中點為m（1，2），滿足上述軌跡方程；

當k不存在時，ab中點為m（1，2），也滿足上述軌跡方程。

綜上所述，m的軌跡方程為x＋2y－5＝0。

分析2：解法1中在利用k1k2＝－1時，需注意k1、k2是否存在，故而分情形討論，能否避開討論呢？只需利用△pab為直角三角形的幾何特性：

解法2：設m（x，y），鏈結mp，則a（2x，0），b（0，2y），

∵l1⊥l2，∴△pab為直角三角形

化簡，得x＋2y－5＝0，此即m的軌跡方程。

分析3：：設m（x，y），由已知l1⊥l2，聯想到兩直線垂直的充要條件：k1k2＝－1，即可列出軌跡方程，關鍵是如何用m點座標表示a、b兩點座標。

事實上，由m為ab的中點，易找出它們的座標之間的聯絡。

解法3：設m（x，y），∵m為ab中點，∴a（2x，0），b（0，2y）。

又l1，l2過點p（2，4），且l1⊥l2

∴pa⊥pb，從而kpa·kpb＝－1，

注意到l1⊥x軸時，l2⊥y軸，此時a（2，0），b（0，4）

中點m（1，2），經檢驗，它也滿足方程x＋2y－5＝0

綜上可知，點m的軌跡方程為x＋2y－5＝0。

【點評】

1）解法1用了引數法，消參時應注意取值範圍。解法2，3為直譯法，運用了kpa·kpb＝－1，這些等量關係。。

用引數法求解時，一般引數可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時間，速度，距離，角度，有向線段的數量，直線的斜率，點的橫，縱座標等。也可以沒有具體的意義，選定參變數還要特別注意它的取值範圍對動點座標取值範圍的影響

【變式3】過圓o：x2 +y2= 4 外一點a（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦bc的中點m的軌跡。

解法一：「幾何法」

設點m的座標為（x,y）,因為點m 是弦bc的中點，所以om⊥bc,

所以|om即(x2 +y2)+(x －４)2 +y2 =16

化簡得：（x－2）2+ y2 =4

由方程 ① 與方程x2 +y2= 4得兩圓的交點的橫座標為1，所以點m的軌跡方程為

（x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）。所以m的軌跡是以（2，0）為圓心，

2為半徑的圓在圓o內的部分。

解法二：「引數法」

設點m的座標為（x,y），b（x1,y1）,c（x2,y2）直線ab的方程為y=k(x－4),

由直線與圓的方程得（1+k2）x2 －8k2x +16k2－4=0

由點m為bc的中點，所以x1) , 又om⊥bc，所以k2)由方程（1）（2）

求軌跡方程的常用方法

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