高考高考數學求軌跡方程的幾種常用方法

求軌跡方程的幾種常用方法

求軌跡的方程，是學習解析幾何的基礎，求軌跡的方程常用的方法主要有：

1．直接法：

若命題中所求曲線上的動點與已知條件能直接發生關係，這時，設曲線上動點座標為（）後，就可根據命題中的已知條件，研究動點形成的幾何特徵，在此基礎上運用幾何或代數的基本公式、定理等列出含有的關係式。從而得到軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱作直接法。

例1：在直角△abc中，斜邊是定長，求直角頂點c的軌跡方程。

解：由於未給定座標系，為此，首先建立直角座標系，取ab所在的直線為軸，ab的中點o為座標原點，過o與ab垂直的直線為軸(如圖)．則有a，b。

設動點c為，

∵，∴，

即．由於c點到達a、b位置時直角三角形abc不存在，軌跡中應除去a、b兩點，

故所求方程為（）。

2．代入法（或利用相關點法）：

即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴於它，那麼可尋求它們座標之間的關係，然後代入定曲線的方程進行求解，就得到原動點的軌跡。

例2：已知一條長為6的線段兩端點a、b分別在、軸上滑動，點m**段ab上，且，求動點m的軌跡方程。

解：設a，b，m，

一方面另一方面，m分的比為，

②代入①得：，即。

評注：本例中，由於m點的座標隨著a、b的變化而變化，因而動點m的座標可以用a、b點的座標來表示，而點m又滿足已知條件，從而得到m的軌跡方程。此外，與上例一樣，求曲線的方程時，要充分注意化簡過程是否完全同解變形，還要考慮曲線上的一些特殊點。

3．幾何法：

求動點軌跡問題時，動點的幾何特徵與平面幾何中的定理及有關平面幾何知識有著直接或間接的聯絡，且利用平面幾何的知識得到包含已知量和動點座標的等式，化簡後就可以得到動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱作幾何法。

例3：如圖，已知兩定點a（），b（），o為原點，動點p與線段ao、bo所張的角相等，求動點p的軌跡方程。

解：設p，由題，由三角形角平分線定理有，

∴，整理得，當時，，p和o重合，無意義，∴，

又易知p落在軸上時，除線段ab以外的任何點均有，

∴（或）也滿足要求。

綜上，軌跡方程為（）或（或）。

評注：本例利用平面幾何的知識（三角形的角平分線定理進行解題），方便了求軌跡的方程。

4．引數法：

有時很難直接找出動點的橫、縱座標之間關係。如果借助中間量（引數），使之間的關係建立起聯絡，然後再從所求式子中消去引數，這便可得動點的軌跡方程。

例4：過不在座標軸上的定點m,的動直線交兩座標軸於點a、b，過a、b作座標軸的垂線交於點p，求交點p的軌跡方程。

解：設p，並設過m的動直線為：，

由於與座標軸交於a、b兩點，所以必存在，且，

則a（），b（），所以p（），

即，消去引數，即：。

評注：本題由把聯絡在一起，稱之為引數。由於p點是直線的交點，則p的座標一定會滿足這兩條動直線的方程，解出，消去引數就得到了的關係，這種求曲線方程的方法稱為引數法。

以上介紹了求曲線方法的幾種主要方法，即直譯法、相關點法、幾何法及引數法。求曲線方程的關鍵是仔細審題，分析已知條件和曲線的特徵，尋找曲線上任一點（動點）所滿足的條件，然後把動點所適合的條件轉化為動點座標所適合的等式。其間要注意同解變形，並考慮一些特徵點是否適合方程。

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