難點22 軌跡方程的求法
求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用「座標化」將其轉化為尋求變數間的關係.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點.
●難點磁場
(★★★★)已知a、b為兩定點，動點m到a與到b的距離比為常數λ,求點m的軌跡方程，並註明軌跡是什麼曲線.
●案例**
［例1］如圖所示，已知p(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，a、b是圓上兩動點，且滿足∠apb=90°，求矩形apbq的頂點q的軌跡方程.
命題意圖：本題主要考查利用「相關點代入法」求曲線的軌跡方程，屬★★★★★級題目.
知識依託：利用平面幾何的基本知識和兩點間的距離公式建立線段ab中點的軌跡方程.
錯解分析：欲求q的軌跡方程，應先求r的軌跡方程，若學生思考不深刻，發現不了問題的實質，很難解決此題.
技巧與方法：對某些較複雜的探求軌跡方程的問題，可先確定乙個較易於求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關點，求得軌跡方程.
解：設ab的中點為r，座標為(x,y)，則在rt△abp中，|ar|=|pr|.
又因為r是弦ab的中點，依垂徑定理：在rt△oar中，|ar|2=|ao|2－|or|2=36－(x2+y2)
又|ar|=|pr|=
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此點r在乙個圓上，而當r在此圓上運動時，q點即在所求的軌跡上運動.
設q(x,y)，r(x1,y1)，因為r是pq的中點，所以x1=,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
－10=0
整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.
［例2］設點a和b為拋物線 y2=4px(p＞0)上原點以外的兩個動點，已知oa⊥ob，om⊥ab，求點m的軌跡方程，並說明它表示什麼曲線.(2023年北京、安徽春招)
命題意圖：本題主要考查「引數法」求曲線的軌跡方程，屬★★★★★級題目.
知識依託：直線與拋物線的位置關係.
錯解分析：當設a、b兩點的座標分別為(x1,y1),(x2,y2)時，注意對「x1=x2」的討論.
技巧與方法：將動點的座標x、y用其他相關的量表示出來，然後再消掉這些量，從而就建立了關於x、y的關係.
解法一：設a(x1,y1),b(x2,y2),m(x,y)依題意，有
①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)
若x1≠x2,則有
①×②,得y12·y22=16p2x1x2
③代入上式有y1y2=－16p2
⑥代入④，得
⑥代入⑤，得
所以即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2
⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)
當x1=x2時，ab⊥x軸，易得m(4p,0)仍滿足方程.
故點m的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉座標原點.
解法二：設m(x,y)，直線ab的方程為y=kx+b
由om⊥ab，得k=－
由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0
所以x1x2=,消x,得ky2－4py+4pb=0
所以y1y2=，由oa⊥ob，得y1y2=－x1x2
所以=－,b=－4kp
故y=kx+b=k(x－4p),用k=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)
故動點m的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉座標原點.
［例3］某檢驗員通常用乙個直徑為2 cm和乙個直徑為1 cm的標準圓柱，檢測乙個直徑為3 cm的圓柱，為保證質量，有人建議再插入兩個合適的同號標準圓柱，問這兩個標準圓柱的直徑為多少？
命題意圖：本題考查「定義法」求曲線的軌跡方程，及將實際問題轉化為數學問題的能力，屬★★★★★級題目.
知識依託：圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點.
錯解分析：正確理解題意及正確地將此實際問題轉化為數學問題是順利解答此題的關鍵.
技巧與方法：研究所給圓柱的截面，建立恰當的座標系，找到動圓圓心的軌跡方程.
解：設直徑為3,2,1的三圓圓心分別為o、a、b，問題轉化為求兩等圓p、q,使它們與⊙o相內切，與⊙a、⊙b相外切.
建立如圖所示的座標系，並設⊙p的半徑為r,則
|pa|+|po|=1+r+1.5－r=2.5
∴點p在以a、o為焦點，長軸長2.5的橢圓上，其方程為
=1同理p也在以o、b為焦點，長軸長為2的橢圓上，其方程為
(x－)2+y2=1
由①、②可解得，∴r=
故所求圓柱的直徑為 cm.
●錦囊妙計
求曲線的軌跡方程常採用的方法有直接法、定義法、代入法、引數法.
(1)直接法直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關係，直接座標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程.
(2)定義法若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求.
(3)相關點法根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程.
(4)引數法若動點的座標(x,y)中的x,y分別隨另一變數的變化而變化，我們可以以這個變數為引數，建立軌跡的引數方程.
求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區別「軌跡」與「軌跡方程」是兩個不同的概念.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)已知橢圓的焦點是f1、f2，p是橢圓上的乙個動點，如果延長f1p到q，使得|pq|=|pf2|，那麼動點q的軌跡是( )
a.圓b.橢圓
c.雙曲線的一支d.拋物線
2.(★★★★)設a1、a2是橢圓=1的長軸兩個端點，p1、p2是垂直於a1a2的弦的端點，則直線a1p1與a2p2交點的軌跡方程為( )
ab.cd.
二、填空題
3.(★★★★)△abc中，a為動點，b、c為定點，b(－,0),c(,0)，且滿足條件sinc－sinb=sina,則動點a的軌跡方程為
4.(★★★★)高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的座標分別確定為a(－5，0)、b(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是
三、解答題
5.(★★★★)已知a、b、c是直線l上的三點，且|ab|=|bc|=6，⊙o′切直線l於點a，又過b、c作⊙o′異於l的兩切線，設這兩切線交於點p，求點p的軌跡方程.
6.(★★★★)雙曲線=1的實軸為a1a2，點p是雙曲線上的乙個動點，引a1q⊥a1p，a2q⊥a2p，a1q與a2q的交點為q，求q點的軌跡方程.
7.(★★★★★)已知雙曲線=1(m＞0,n＞0)的頂點為a1、a2，與y軸平行的直線l交雙曲線於點p、q.
(1)求直線a1p與a2q交點m的軌跡方程；
(2)當m≠n時，求所得圓錐曲線的焦點座標、準線方程和離心率.
8.(★★★★★)已知橢圓=1(a＞b＞0),點p為其上一點，f1、f2為橢圓的焦點，∠f1pf2的外角平分線為l，點f2關於l的對稱點為q，f2q交l於點r.
(1)當p點在橢圓上運動時，求r形成的軌跡方程；
(2)設點r形成的曲線為c，直線l：y=k(x+a)與曲線c相交於a、b兩點，當△aob的面積取得最大值時，求k的值.
參***
難點磁場
解：建立座標系如圖所示，
設|ab|=2a,則a(－a,0）,b(a,0).
設m(x,y）是軌跡上任意一點.
則由題設，得=λ,座標代入，得=λ,化簡得
(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0
(1)當λ=1時，即|ma|=|mb|時，點m的軌跡方程是x=0，點m的軌跡是直線(y軸).
(2)當λ≠1時，點m的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0.點m的軌跡是以
(－，0）為圓心，為半徑的圓.
殲滅難點訓練
一、1.解析：∵|pf1|+|pf2|=2a,|pq|=|pf2|,
∴|pf1|+|pf2|=|pf1|+|pq|=2a,
即|f1q|=2a,∴動點q到定點f1的距離等於定長2a,故動點q的軌跡是圓.
答案：a
2.解析：設交點p(x,y）,a1(－3,0),a2(3,0),p1(x0,y0),p2(x0,－y0)
∵a1、p1、p共線，∴
∵a2、p2、p共線，∴
解得x0=
答案：c
二、3.解析：由sinc－sinb=sina,得c－b=a,
∴應為雙曲線一支，且實軸長為,故方程為.
答案：4.解析：設p(x,y），依題意有,化簡得p點軌跡方程為4x2+4y2－85x+100=0.
答案：4x2+4y2－85x+100=0
三、5.解：設過b、c異於l的兩切線分別切⊙o′於d、e兩點，兩切線交於點p.
由切線的性質知：|ba|=|bd|，|pd|=|pe|，|ca|=|ce|，故|pb|+|pc|=|bd|+|pd|+|pc|=|ba|+|pe|+|pc|
=|ba|+|ce|=|ab|+|ca|=6+12=18＞6=|bc|，故由橢圓定義知，點p的軌跡是以b、c為兩焦點的橢圓，以l所在的直線為x軸，以bc的中點為原點，建立座標系，可求得動點p的軌跡方程為=1(y≠0)
6.解：設p(x0,y0）(x≠±a),q(x,y).
∵a1(－a,0),a2(a,0).
由條件而點p(x0,y0)在雙曲線上，∴b2x02－a2y02=a2b2.
即b2(－x2)－a2()2=a2b2
化簡得q點的軌跡方程為：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).
7.解：(1)設p點的座標為(x1,y1)，則q點座標為(x1,－y1),又有a1(－m,0),a2(m,0),
則a1p的方程為：y
a2q的方程為：y
①×②得：y2
又因點p在雙曲線上，故
代入③並整理得=1.此即為m的軌跡方程.
(2)當m≠n時，m的軌跡方程是橢圓.
(ⅰ)當m＞n時，焦點座標為(±,0)，準線方程為x=±,離心率e=；
(ⅱ)當m＜n時，焦點座標為(0,±),準線方程為y=±,離心率e=.
22軌跡方程的求法
求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用 座標化 將其轉化為尋求變數間的關係.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也...
曲線的軌跡方程的求法
課題 求軌跡方程 二 二 待定係數法 例1 雙曲線c與橢圓有相同的焦點，直線y 為c的一條漸近線.求雙曲線c的方程 變式練習 1 設中心在原點的橢圓與雙曲線 1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數，則該橢圓的方程是 2 已知橢圓的中心在原點，離心率，且它的乙個焦點與拋物線的焦點重合，則此橢圓方程為 ...
難點22軌跡方程的求法
求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用 座標化 將其轉化為尋求變數間的關係.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也...