2023年江蘇數學高考試題
參考公式
圓柱的體積公式： =sh，其中s是圓柱的底面積，h為高.
圓錐的體積公式： sh，其中s是圓錐的底面積，h為高.
1、填空題：本大題共14個小題,每小題5分,共70分.請把答案寫在答題卡相應位置上。
1.已知集合則
2.複數其中i為虛數單位，則z的實部是
3.在平面直角座標系xoy中，雙曲線的焦距是
4.已知一組資料4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組資料的方差是
5.函式y= 的定義域是 ▲ .
6.如圖是乙個演算法的流程圖，則輸出的a的值是 ▲ .
7.將一顆質地均勻的骰子（一種各個面上分別標有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具）先後拋擲2次，則出現向上的點數之和小於10的概率是 ▲ .
8.已知是等差數列，sn是其前n項和.若a1+a22=3，s5=10，則a9的值是 ▲ .
9.定義在區間[0,3π]上的函式y=sin2x的圖象與y=cosx的圖象的交點個數是 ▲ .
10.如圖，在平面直角座標系xoy中，f是橢圓的右焦點，直線與橢圓交於b，c兩點，且,則該橢圓的離心率是 ▲ .
(第10題)
11.設f（x）是定義在r上且週期為2的函式，在區間[ 1,1)上， 其中若，則f（5a）的值是 ▲ .
12. 已知實數x，y滿足，則x2+y2的取值範圍是 ▲ .
13.如圖，在△abc中，d是bc的中點，e，f是ad上的兩個三等分點，， ，則的值是
14.在銳角三角形abc中，若sina=2sinbsinc，則tanatanbtanc的最小值是
二、解答題 （本大題共6小題，共90分.請在答題卡制定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15.（本小題滿分14分）
在中，ac=6，
（1）求ab的長；
（2）求的值.
16.(本小題滿分14分)
如圖，在直三稜柱abc-a1b1c1中，d，e分別為ab，bc的中點，點f在側稜b1b上，且，.
求證：（1）直線de∥平面a1c1f；
（2）平面b1de⊥平面a1c1f.
17.（本小題滿分14分）
現需要設計乙個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四稜錐，下部分的形狀是正四稜柱(如圖所示)，並要求正四稜柱的高是正四稜錐的高的四倍.
(1) 若則倉庫的容積是多少？
(2) 若正四稜錐的側稜長為6 m,則當為多少時，倉庫的容積最大？
如圖，在平面直角座標系xoy中，已知以m為圓心的圓m:及其上一點a(2，4)
(1) 設圓n與x軸相切，與圓m外切，且圓心n在直線x=6上，求圓n的標準方程；
(2) 設平行於oa的直線l與圓m相交於b、c兩點，且bc=oa,求直線l的方程；
(3) 設點t（t,0）滿足：存在圓m上的兩點p和q,使得,求實數t的取值範圍。
19. （本小題滿分16分）
已知函式.
（1） 設a=2,b=.
1 求方程=2的根;
②若對任意,不等式恆成立，求實數m的最大值；
（2）若，函式有且只有1個零點，求ab的值.
20.（本小題滿分16分）
記.對數列和的子集t，若,定義;若，定義.例如：時，.現設是公比為3的等比數列，且當時，.
(1) 求數列的通項公式；
(2) 對任意正整數，若，求證：；
（3）設,求證：.
21.【選做題】本題包括a、b、c、d四小題，請選定其中兩小題，並在相應的答題區域內作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
a．【選修4—1幾何證明選講】（本小題滿分10分）
如圖，在△abc中，∠abc=90°，bd⊥ac，d為垂足，e是bc的中點，求證：∠edc=∠abd.
b.【選修4—2：矩陣與變換】（本小題滿分10分）
已知矩陣矩陣b的逆矩陣，求矩陣ab.
c.【選修4—4：座標系與引數方程】（本小題滿分10分）
在平面直角座標系xoy中，已知直線l的引數方程為（t為引數），橢圓c的引數方程為（為引數）.設直線l與橢圓c相交於a，b兩點，求線段ab的長.
d.設a＞0，|x-1|＜，|y-2|＜，求證：|2x+y-4|＜a.
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分. 請在答題卡指定區域內作答．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
22. （本小題滿分10分）
如圖，在平面直角座標系xoy中，已知直線l：x-y-2=0，拋物線c：y2=2px(p＞0).
（1）若直線l過拋物線c的焦點，求拋物線c的方程；
（2）已知拋物線c上存在關於直線l對稱的相異兩點p和q.
①求證：線段pq的中點座標為（2-p，-p）；
②求p的取值範圍.
23.（本小題滿分10分）
（1）求的值；
（2）設m，nn*，n≥m，求證：
（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）.
參***
1. 2.5
3. 4.0.1
5. 6.9
7. 8.20.
9.7.
10.11.
12.13.
14.8.
15.解（1）因為所以
由正弦定理知，所以
（2）在三角形abc中，所以
於是又，故
因為，所以
因此16.證明：（1）在直三稜柱中，
在三角形abc中，因為d,e分別為ab,bc的中點.
所以，於是
又因為de平面平面
所以直線de//平面
（2）在直三稜柱中，
因為平面，所以
又因為所以平面
因為平面，所以
又因為所以
因為直線，所以
17.本小題主要考查函式的概念、導數的應用、稜柱和稜錐的體積等基礎知識，考查空間想象能力和運用數學模型及數學知識分析和解決實際問題的能力.滿分14分.
解：（1）由po1=2知oo1=4po1=8.
因為a1b1=ab=6，
所以正四稜錐p-a1b1c1d1的體積
正四稜柱abcd-a1b1c1d1的體積
所以倉庫的容積v=v錐+v柱=24+288=312（m3）.
(2)設a1b1=a(m),po1=h(m)，則0因為在中，
所以，即
於是倉庫的容積，
從而.令，得或（舍）.
當時， ，v是單調增函式；
當時，，v是單調減函式.
故時，v取得極大值，也是最大值.
因此，當時，倉庫的容積最大.
18.本小題主要考查直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關係、平面向量的運算等基礎知識，考查分析問題能力及運算求解能力.滿分16分.
解：圓m的標準方程為，所以圓心m(6，7)，半徑為5,.
（1）由圓心在直線x=6上，可設.因為n與x軸相切，與圓m外切，
所以，於是圓n的半徑為，從而，解得.
因此，圓n的標準方程為.
(2)因為直線l||oa，所以直線l的斜率為.
設直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0，
則圓心m到直線l的距離
因為 而
所以，解得m=5或m=-15.
故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)設
因為,所以……①
因為點q在圓m上，所以…….②
將①代入②，得.
於是點既在圓m上，又在圓上，
從而圓與圓沒有公共點，
所以解得.
因此，實數t的取值範圍是.
19．（1）因為，所以.
①方程，即，亦即，
所以，於是，解得.
②由條件知.
因為對於恆成立，且，
所以對於恆成立.
而，且，
所以，故實數的最大值為4.
（2）因為函式只有1個零點，而，
所以0是函式的唯一零點.
因為，又由知，
所以有唯一解.
令，則，
從而對任意，，所以是上的單調增函式，
於是當，；當時，.
因而函式在上是單調減函式，在上是單調增函式.
下證.若，則，於是，
又，且函式在以和為端點的閉區間上的圖象不間斷，所以在和之間存在的零點，記為. 因為，所以，又，所以與「0是函式的唯一零點」矛盾.
若，同理可得，在和之間存在的非0的零點，矛盾.
因此，.
於是，故，所以.
20．（1）由已知得.
於是當時，.
又，故，即.
所以數列的通項公式為.
（2）因為，，
所以.因此，.
（3）下面分三種情況證明.
①若是的子集，則.
②若是的子集，則.
③若不是的子集，且不是的子集.
令，則，，.
於是，，進而由，得.
設是中的最大數，為中的最大數，則.
由（2）知，，於是，所以，即.
又，故，
從而，故，所以，
即.綜合①②③得，.
21．a 證明：在和中，
因為為公共角，
所以∽，於是.
在中，因為是的中點，
所以，從而.
所以.b．解：設，則，
即，故，解得，所以.
因此，.
c．解：橢圓的普通方程為，將直線的引數方程，代入，得，即，解得，.
所以.21d.證明：因為
所以22.解：（1）拋物線的焦點為
由點在直線上，得，即
所以拋物線c的方程為
（2）設，線段pq的中點
因為點p和q關於直線對稱，所以直線垂直平分線段pq,
於是直線pq的斜率為，則可設其方程為
①由消去得
因為p 和q是拋物線c上的相異兩點，所以
從而，化簡得.
方程（*）的兩根為，從而
因為在直線上，所以
因此，線段pq的中點座標為
②因為在直線上
所以，即
由①知，於是，所以
因此的取值範圍為
23.解：（1）
（2）當時，結論顯然成立，當時
又因為所以因此
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