（6）【2023年新課標全國ⅱ，文6】乙個正方形被乙個平面截去一部分後，剩餘部分的三視
圖如右圖，則截去部分體積與剩餘部分體積的比值為（ ）
（abcd）
【答案】d
【解析】由三檢視得，在正方體中，截去四面體，如圖所示，設正方體稜長為，則，故剩餘幾何體體積為，所以截去部分體積與剩餘部分體積的比值為．
（7）【2023年新課標全國ⅱ，文7】已知三點，則外接圓的
圓心到原點的距離為（ ）
（abcd）
【答案】b
【解析】根據題意，是等邊三角形，設外接圓的圓心為，則所以，
故選b．
（8）【2023年新課標全國ⅱ，文8】右邊程式框圖的演算法思路源於我國古代數學名著《九章算術》中的「更相減損術」．執行該程式框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a＝( )
（a）0b）2c）4d）14
【答案】b
【解析】程式在執行過程中，，的值依次為，，，；
；；，此時程式結束，輸出的值為2，故選b．
（9）【2023年新課標全國ⅱ，文9】已知等比數列滿足，，則（ ）
（a）2b）1cd）
【答案】c
【解析】因為滿足，，所以，，解得，又，所以，所以，故選c．
（10）【2023年新課標全國ⅱ，文10】已知是球的球面上兩點，,為該球面上的動點．若三稜錐體積的最大值為36，則球的表面積為（ ）
（abcd）
【答案】c
【解析】如圖所示，當點位於垂直於面的直徑端點時，三稜錐的體積最大，
設球的半徑為，此時，故，則
球的表面積為，故選c．
（11）【2023年新課標全國ⅱ，文11】如圖，長方形的邊，，是的中點，
點沿著邊，與運動，記，將動點到，兩點距離之和表
示為的函式，則的影象大致為（ ）
（abcd）
【答案】b
【解析】解法一：
由已知得，當點在邊上運動時，即時，，當點在邊上
運動時，即，時，，時，
當點在邊上運動時，即，，從點的運動過程可以看出，
軌跡關於直線對稱，且，且軌跡非線型，故選b．
解法二：排除法：由題意可知，，所以，排除c和d，當
，，可知時，影象不是線段，可排除a，故選b．
（12）【2023年新課標全國ⅱ，文12】設函式，則使得成立的的取值
範圍是（ ）
（ab） （c） （d）
【答案】a
【解析】因為函式是偶函式，時函式是增函式，，，
，解得，故選a．
第ii卷
本卷包括必考題和選考題兩部分．第（13）題~第（21）題為必考題，每個試題考生都必須作答．第（22）題~第（24）題為選考題，考生根據要求作答．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上
（13）【2023年新課標全國ⅱ，文13】已知函式的影象過點，則=______．
【答案】
【解析】由可得，所以．
（14）【2023年新課標全國ⅱ，文14】若，滿足約束條件，則的最大值為__ ____．
【答案】8
【解析】不等式組表示的可行域是以，，為頂點的三角形區域，的最大值必在頂點處取得，經驗算，時，．
（15）【2023年新課標全國ⅱ，文15】已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程為_______．
【答案】
【解析】設雙曲線的方程為，點代入方程，解得，所以雙曲線．
（16）【2023年新課標全國ⅱ，文16】已知曲線在點處的切線與曲線相切，則
【答案】8
【解析】，所以切線的斜率為2，切線方程為，將與聯立得
，由，解得或．時，曲線為與切線平行，不符，
所以． 三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
（17）【2023年新課標全國ⅱ，文17】（本小題滿分12分）中，是上的點，平分，．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若，求．
解：（ⅰ）由正弦定理得，再由三角形內角平分線定理得
（ⅱ），，由（ⅰ）得，所以，
，展開得，．
（18）【2023年新課標全國ⅱ，文18】（本小題滿分12分）某公司為了了解使用者對其產品的滿意度，從，兩地區分別隨機調查了40個使用者，根據使用者對其產品的滿意度的評分，得地區使用者滿意度評分的頻率分布直方圖和地區使用者滿意度評分的頻率分布表．
地區使用者滿意度評分的頻數分布表
（ⅰ）在答題卡上作出地區使用者滿意度評分的頻率分布直方圖，並通過此圖比較兩地區滿意度評分的平
均值及分散程度．（不要求計算出具體值,給出結論即可）
地區使用者滿意度評分的頻率分布直方圖
（ⅱ）根據使用者滿意度評分，將使用者的滿意度評分分為三個等級：
估計那個地區的使用者的滿意度等級為不滿意的概率大，說明理由．
解：（ⅰ）地區頻率分布直方圖如圖所示．
通過兩地區使用者滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，地區使用者滿意度評分的平均值高於地區
使用者滿意度評分的平均值；地區使用者滿意度評分比較集中，而地區使用者滿意度評分比較分散．
（ⅱ）地區使用者滿意度等級為不滿意的概率大．
記表示事件：「地區使用者滿意度等級為不滿意」；表示事件：「地區使用者滿意度等級為不滿意」．
由直方圖得， ，
所以地區使用者滿意度等級為不滿意的概率大．
（19）【2023年新課標全國ⅱ，文19】（本小題滿分12分）如圖，長方體中，，，，點，分別在，上，．過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成乙個正方形．
（ⅰ）在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；
（ⅱ）求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值．
解：（ⅰ）交線圍成的正方形如圖：
（ⅱ）作，垂足為，則，，，因此是正方形，所以
，於是，，．因為長方體被平面分成兩個
高位10的直稜柱，所以其體積比值為（也正確）．
（20）【2023年新課標全國ⅱ，文20】（本小題滿分12分）已知橢圓的離心
率為，點在上．
（ⅰ）求的方程；
（ⅱ）直線不經過原點，且不平行於座標軸，與有兩個交點，，線段中點為，證明：
直線的斜率與直線的斜率乘積為定值．
解：（ⅰ）由題意有，，解得．所以的方程為．
（ⅱ）設直線，
將代入得，
故於是直線的斜率，
，所以直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值．
（21）【2023年新課標全國ⅱ，文21】（本小題滿分12分）已知．
（ⅰ）討論的單調性；
（ⅱ）當有最大值，且最大值為時，求的取值範圍．
解：（ⅰ）的定義域為，
若則所以在單調遞增．
若，則當時，，當時，，
所以在單調遞增，在單調遞減．
（ⅱ）由（ⅰ）知，當時，無最大值；當時，在取得最大值，
最大值為，因此等價於
令，則在單調遞增，，於是，當時；
當時，，因此，的取值範圍是．
請考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做第乙個
題目計分，做答時請寫清題號．
（22）【2023年新課標全國ⅱ，文22】（本題滿分10分）（選修4-1：幾何證明選講）如圖，
為等腰三角形內一點，與的底邊交於，兩點，與底邊上的高
交於點，且與，分別相切於，兩點．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）若等於的半徑，且，求四邊形的面積．
解：（ⅰ）由於是等腰三角形，，所以是的平分線．
又因為分別與，相切於點，，所以，故，
從而．（ⅱ）由（ⅰ）知，，，故是的垂直平分線．
又為的弦，所以在上．鏈結，則．
由等於的半徑得，所以，
因此和都是等邊三角形．
因為，所以．
因為，所以，於是．
所以四邊形的面積為．
（23）【2023年新課標全國ⅱ，文23】（本小題滿分10分）（選修4-4：座標系與引數方程）在直角座標系中，曲線 (為引數，)，其中．在以為極點，軸正半軸為極軸的極座標系中，曲線，．
（ⅰ）求與交點的直角座標；
（ⅱ）若與相交於點，與相交於點，求的最大值．
解：（ⅰ）曲線的直角座標方程為，曲線的直角座標方程為．
聯立，解得，或，所以與交點的直角座標為和．
（ⅱ）曲線的極座標方程為，其中，
因此的極座標為，的極座標為，
所以，當時，取得最大值，最大值為4．
（24）【2023年新課標全國ⅱ，文24】（本小題滿分10分）（選修4-5：不等式選講）設，，，均為正數，且，證明：
（ⅰ）若，則；
（ⅱ）是的充要條件．
解：（ⅰ）因為，
由題設得，因此．
（ⅱ）（i）若，則，即，
因為，所以，由（ⅰ）得．
（ii）若，則，即．
因為，所以，於是．
因此．綜上，是的充要條件．
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