2023年高考數學試卷（理科）（全國新課標ⅱ）
一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）
1. 設集合a=，b=，則a∩b=（ ）
a. （-∞，1） b. （-2，1） c. （-3，-1） d. （3，+∞）
2. 設z=-3+2i，則在復平面內對應的點位於（ ）
a. 第一象限 b. 第二象限 c. 第三象限 d. 第四象限
3. 已知=（2，3），=（3，t），||=1，則=（ ）
a. -3 b. -2 c. 2 d. 3
4. 2023年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就．實現月球背面軟著陸需要解決的乙個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯絡．為解決這個問題，發**嫦娥四號中繼星「鵲橋」，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日l2點的軌道執行．l2點是平衡點，位於地月連線的延長線上．設地球質量為m1，月球質量為m2，地月距離為r，l2點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：+=（r+r）．
設α=．由於α的值很小，因此在近似計算中≈3α3，則r的近似值為（ ）
a. r b. r c. r d. r
5. 演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數字特徵是（ ）
a. 中位數 b. 平均數 c. 方差 d. 極差
6. 若a＞b，則（ ）
a. ln（a-b）＞0 b. 3a＜3b c. a3-b3＞0 d. |a|＞|b|
7. 設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是（ ）
a. α內有無數條直線與β平行 b. α內有兩條相交直線與β平行
c. α，β平行於同一條直線 d. α，β垂直於同一平面
8. 若拋物線y2=2px（p＞0）的焦點是橢圓+=1的乙個焦點，則p=（ ）
a. 2 b. 3 c. 4 d. 8
9. 下列函式中，以為週期且在區間（，）單調遞增的是（ ）
a. f（x）=|cos2x| b. f（x）=|sin2x|
c. f（x）=cos|x| d. f（x）=sin|x|
10. 已知α∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=（ ）
a. b. c. d.
11. 設f為雙曲線c：-=1（a＞0，b＞0）的右焦點，o為座標原點，以of為直徑的圓與圓x2+y2=a2交於p，q兩點．若|pq|=|of|，則c的離心率為（ ）
a. b. c. 2 d.
12. 設函式f（x）的定義域為r，滿足f（x+1）=2f（x），且當x∈（0，1]時，f（x）=x（x-1）．若對任意x∈（-∞，m]，都有f（x）≥-，則m的取值範圍是（ ）
abcd. （-∞，]
二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 我國高鐵發展迅速，技術先進．經統計，在經停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.
98，有10個車次的正點率為0.99，則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為______．
14. 已知f（x）是奇函式，且當x＜0時，f（x）=-eax．若f（ln2）=8，則a=______．
15. △abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c．若b=6，a=2c，b=，則△abc的面積為______．
16. 中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的**獨孤信的印信形狀是「半正多面體」（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現了數學的對稱美．圖2是乙個稜數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同乙個正方體的表面上，且此正方體的稜長為1．則該半正多面體共有______個面，其稜長為______．
三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）
17. 如圖，長方體abcd-a1b1c1d1的底面abcd是正方形，點e在稜aa1上，be⊥ec1．
（1）證明：be⊥平面eb1c1；
（2）若ae=a1e，求二面角b-ec-c1的正弦值．
18. 11分制桌球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10：10平後，每球交換發球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發球時甲得分的概率為0.
5，乙發球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立．在某局雙方10：10平後，甲先發球，兩人又打了x個球該局比賽結束．
（1）求p（x=2）；
（2）求事件「x=4且甲獲勝」的概率．
19. 已知數列和滿足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4，4bn+1=3bn-an-4．
（1）證明：是等比數列，是等差數列；
（2）求和的通項公式．
20. 已知函式f（x）=lnx-．
（1）討論f（x）的單調性，並證明f（x）有且僅有兩個零點；
（2）設x0是f（x）的乙個零點，證明曲線y=lnx在點a（x0，lnx0）處的切線也是曲線y=ex的切線．
21. 已知點a（-2，0），b（2，0），動點m（x，y）滿足直線am與bm的斜率之積為-．記m的軌跡為曲線c．
（1）求c的方程，並說明c是什麼曲線；
（2）過座標原點的直線交c於p，q兩點，點p在第一象限，pe⊥x軸，垂足為e，鏈結qe並延長交c於點g．
（i）證明：△pqg是直角三角形；
（ii）求△pqg面積的最大值．
22. 在極座標系中，o為極點，點m（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲線c：ρ=4sinθ上，直線l過點a（4，0）且與om垂直，垂足為p．
（1）當θ0=時，求ρ0及l的極座標方程；
（2）當m在c上運動且p**段om上時，求p點軌跡的極座標方程．
23. 已知f（x）=|x-a|x+|x-2|（x-a）．
（1）當a=1時，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）當x∈（-∞，1）時，f（x）＜0，求a的取值範圍．
答案和解析
1.【答案】a
【解析】
解：根據題意，a==，
b==，
則a∩b==（-∞，1）；
故選：a．
根據題意，求出集合a、b，由交集的定義計算可得答案．
本題考查交集的計算，關鍵是掌握交集的定義，屬於基礎題．
2.【答案】c
【解析】
解：∵z=-3+2i，
∴，∴在復平面內對應的點為（-3，-2），在第三象限．
故選：c．
求出z的共軛複數，根據復數的幾何意義求出複數所對應點的座標即可．
本題考查共軛複數的代數表示及其幾何意義，屬基礎題．
3.【答案】c
【解析】
解：∵=（2，3），=（3，t），
∴==（1，t-3），
∵||=1，
∴t-3=0即=（1，0），
則=2故選：c．
由=先求出的座標，然後根據||=1，可求t，結合向量數量積定義的座標表示即可求解．
本題主要考查了向量數量積的定義及性質的座標表示，屬於基礎試題
4.【答案】d
【解析】
解：∵α=．∴r=αr，
r滿足方程：+=（r+r）．
∴=≈3α3，
∴r=αr=．
故選：d．
由α=．推導出=≈3α3，由此能求出r=αr=．
本題考查點到月球的距離的求法，考查函式在我國航天事業中的奶靈活運用，考查化歸與轉化思想、函式與方程思想，考查運算求解能力，是中檔題．
5.【答案】a
【解析】
解：根據題意，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分，
7個有效評分與9個原始評分相比，最中間的乙個數不變，即中位數不變，
故選：a．
根據題意，由資料的數字特徵的定義，分析可得答案．
本題考查資料的數字特徵，關鍵是掌握資料的平均數、中位數、方差、極差的定義以及計算方法，屬於基礎題．
6.【答案】c
【解析】
解：取a=0，b=-1，則
ln（a-b）=ln1=0，排除a；
，排除b；
a3=03＞（-1）3=-1=b3，故c對；
|a|=0＜|-1|=1=b，排除d．
故選：c．
取a=0，b=-1，利用特殊值法可得正確選項．
本題考查了不等式的基本性質，利用特殊值法可迅速得到正確選項，屬基礎題．
7.【答案】b
【解析】
解：對於a，α內有無數條直線與β平行，α∩β或α∥β；
對於b，α內有兩條相交直線與β平行，α∥β；
對於c，α，β平行於同一條直線，α∩β或α∥β；
對於d，α，β垂直於同一平面，α∩β或α∥β．
故選：b．
充要條件的定義結合面面平行的判定定理可得結論
本題考查了充要條件的定義和麵麵平行的判定定理，考查了推理能力，屬於基礎題．
8.【答案】d
【解析】
解：由題意可得：3p-p=（）2，解得p=8．
故選：d．
根據拋物線的性質以及橢圓的性質列方程可解得．
本題考查了拋物線與橢圓的性質，屬基礎題．
9.【答案】a
【解析】
解：f（x）=sin|x|不是週期函式，可排除d選項；
f（x）=cos|x|的週期為2π，可排除c選項；
f（x）=|sin2x|在處取得最大值，不可能在區間（，）單調遞增，可排除b．
故選：a．
根據正弦函式，余弦函式的週期性及單調性依次判斷，利用排除法即可求解．
本題主要考查了正弦函式，余弦函式的週期性及單調性，考查了排除法的應用，屬於基礎題．
10.【答案】b
【解析】
解：∵2sin2α=cos2α+1，
∴可得：4sinαcosα=2cos2α，
∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，
∴cosα=2sinα，
∵sin2α+cos2α=sin2α+（2sinα）2=5sin2α=1，
∴解得：sinα=．
故選：b．
由二倍角的三角函式公式化簡已知可得4sinαcosα=2cos2α，結合角的範圍可求sinα＞0，cosα＞0，可得cosα=2sinα，根據同角三角函式基本關係式即可解得sinα的值．
本題主要考查了二倍角的三角函式公式，同角三角函式基本關係式在三角函式化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬於基礎題．
11.【答案】a
【解析】
解：如圖，
由題意，把x=代入x2+y2=a2，得pq=，
再由|pq|=|of|，得，即2a2=c2，
∴，解得e=．
故選：a．
由題意畫出圖形，先求出pq，再由|pq|=|of|列式求c的離心率．
本題考查雙曲線的簡單性質，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題．
12.【答案】b
【解析】
解：因為f（x+1）=2f（x），∴f（x）=2f（x-1），
∵x∈（0，1]時，f（x）=x（x-1）∈[-，0]，
∴x∈（1，2]時，x-1∈（0，1]，f（x）=2f（x-1）=2（x-1）（x-2）∈[-，0]；
∴x∈（2，3]時，x-1∈（1，2]，f（x）=2f（x-1）=4（x-2）（x-3）∈[-1，0]，
當x∈（2，3]時，由4（x-2）（x-3）=-解得m=或m=，
若對任意x∈（-∞，m]，都有f（x）≥-，則m≤．
故選：b．
因為f（x+1）=2f（x），∴f（x）=2f（x-1），分段求解析式，結合圖象可得．
本題考查了函式與方程的綜合運用，屬中檔題．
2023年高考數學試卷分析 理科
數學 理科 試卷分析 一 試卷結構及分值 全卷共150分，考試時間為120分鐘考試結構分為選擇題 60分 和非選擇題 90分 試卷結構如下表 二 具體題型分析 1 選擇題 1 7題為基礎知識的考察，需掌握定義和公式並能熟練運用。如 複數 集合 增減函式 概率等。8 12題考察的知識點比較深，需在熟練...
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一 選擇題 共12小題，每小題5分，滿分60分 1 5分 已知集合m n 則m n 2 5分 2009石景山區一模 函式y sin2xcos2x的最小正週期是 3 5分 4 5分 如圖，pa pb de分別與 o相切，若 p 40 則 doe等於 度 5 5分 2014四川二模 已知 abc的頂點b...
2019高考數學試卷理科
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