絕密★啟用前
2023年普通高等學校招生全國統一考試
文科數學
注意事項：
1．本試卷分第i卷（選擇題）和第ii卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必先將自己的姓名、准考證號碼填寫在答題卡上。
2．回答第i卷時，選出每小題的答案後，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號。寫在本試卷上無效。
3．回答第ii卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
4．考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回。
第i卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，，則
abcd．
2．若a為實數，且，則a =
a．-4 b．-3 c．3 d．4
3．根據下面給出的2023年至2023年我國二氧化硫年排放量（單位：萬噸）柱形圖，以下結論不正確的是
a．逐年比較，2023年減少二氧化硫排放量的效果最顯著
b．2023年我國治理二氧化硫排放顯現成效
c．2023年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢
d．2023年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關
4．向量，，則
a．-1 b．0 c．1 d．3
5．設sn等差數列的前n項和。若a1 + a3 + a5 = 3，則s5 =
a．5 b．7 c．9 d．11
6．乙個正方體被乙個平面截去一部分後，剩餘部分的三檢視如右圖，則截去部分體積與剩餘部分體積的比值為
a． b． c． d．
7．已知三點，，，則δabc外接圓的圓心到原點的距離為
a． b． c． d．
8．右邊程式框圖的演算法思路源於我國古代數學名著《九章算術》中的「更相減損術」。執行該程式框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a =
a．0 b．2 c．4 d．14
9．已知等比數列滿足，a3a5 =，則a2 =
a．2 b．1 c． d．
10．已知a，b是球o的球面上兩點，∠aob = 90°，c為該球面上的動點。若三稜錐o—abc體積的最大值為36，則球o的表面積為
a．36π b．64π c．144π d．256π
11．如圖，長方形abcd的邊ab = 2，bc = 1，o是ab的中點，點p沿著邊bc，cd與da運動，記∠aob = x。將動點p到a，b兩點距離之和表示為x的函式，則的圖象大致為
12．設函式，則使得成立的x的取值範圍是
a． b． c． d．
第ii卷（非選擇題，共90分）
本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題 ~ 第21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22題 ~ 第24題為選考題，考生根據要求作答。
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。
13．已知函式的圖象過點，則a
14．若x，y滿足約束條件，則的最大值為
15．已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程為
16．已知曲線在點處的切線與曲線相切，則a
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
δabc中，d是bc上的點，ad平分∠bac，bd=2dc。
（1）求；
（2）若，求。
18．（本小題滿分12分）
某公司為了解使用者對其產品的滿意度，從a，b兩地區分別隨機調查了40個使用者，根據使用者對產品的滿意度評分，得到a地區使用者滿意度評分的頻率分布直方圖和b地區使用者滿意度評分的頻數分布表。
a地區使用者滿意度評分的頻率分布直方圖
b地區使用者滿意度評分的頻數分布表
（1）在答題卡上作出b地區使用者滿意度評分的頻率分布直方圖，並通過直方圖比較兩地區滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結論即可）；
b地區使用者滿意度評分的頻率分布直方圖
（2）根據使用者滿意度評分，將使用者的滿意度從低到高分為三個等級：
估計哪個地區的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由
19．（本小題滿分12分）
如圖，長方體abcd—a1b1c1d1中，ab = 16，bc = 10，aa1 = 8，點e，f分別在a1b1，d1c1上，a1e = d1f = 4，過點e，f的平面α與此長方體的面相交，交線圍成乙個正方形。
（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；
（2）求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值。
20．（本小題滿分12分）
已知橢圓c：的離心率為，點在c上。
（1）求c的方程；
（2）直線l不過原點o且不平行於座標軸，l與c有兩個交點a，b，線段ab的中點為m。證明：直線om的斜率與直線l的斜率的乘積為定值。
21．（本小題滿分12分）
已知函式。
（1）討論的單調性；
（2）當有最大值，且最大值大於2a - 2時，求a的取值範圍。
請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時請寫清題號
22．（本小題滿分10分）
選修4 - 1：幾何證明選講
如圖，o為等腰三角形abc內一點，⊙o與δabc的底邊bc交於m，n兩點，與底邊上的高ad交於點g，且與ab，ac分別相切於e，f兩點。
（1）證明：ef∥bc；
（2）若ag等於⊙o的半徑，且，求四邊形ebcf的面積。
23．（本小題滿分10分）
選修4 - 4：座標系與引數方程
在直角座標系xoy中，曲線c1：（t為引數，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以o為極點，x軸正半軸為極軸的極座標系中，曲線c2：，c3：。
（1）求c2與c3交點的直角座標；
（2）若c1與c2相交於點a，c1與c3相交於點b，求的最大值。
24．（本小題滿分10分）
選修4 - 5：不等式選講
設a，b，c，d均為正數，且a + b = c + d，證明：
（1）若ab > cd；則；
（2）是的充要條件。
參***
一．選擇題
（1）a （2）d （3）d （4）c （5）a （6）d
（7）b （8）b （9）c （10）c （11）b （12）a
二．填空題
（13）-2 （14）8 （1516）8
三．解答題
（17）解：
（ⅰ）由正弦定理得
因為平分，所以
（ⅱ）因為，所以
由（ⅰ）知，所以，即
（18）解：
（ⅰ）通過兩地區使用者滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，b地區使用者滿意度評分的平均值高於a地區使用者滿意度評分的平均值；b地區使用者滿意度評分比較集中，而a地區使用者滿意度評分比較分散。
（ⅱ）a地區使用者的滿意度等級為不滿意的概率大。
記表示事件：「a地區使用者的滿意度等級為不滿意」； 記表示事件：「b地區使用者的滿意度等級為不滿意」。
由直方圖得的估計值為
的估計值為
所以a地區使用者的滿意度等級為不滿意的概率大。
（19）解：
（ⅰ）交線圍成的正方形如圖：
（ⅱ）作，垂足為m，則
因為為正方形，所以
於是因為長方體被平面分成兩個高為10的直稜柱，所以其體積的比值為（也正確）
（20）解：
（ⅰ）由題意有，
解得所以的方程為
（ⅱ）設直線
將代入得
故於是直線om的斜率，即
所以直線om的斜率與直線的斜率的乘積為定值。
（21）解：
（ⅰ）的定義域為
若，則，所以在單調遞增
若，則當時，；當時，。所以在單調遞增，在單調遞減。
（ⅱ）由（ⅰ）知，當時，在無最大值；當時，在取得最大值，最大值為
因此等價於
令，則在單調遞增，
於是，當時，；當時，
因此，的取值範圍是
（22）解：
（ⅰ）由於是等腰三角形，，所以是的平分線
又因為分別與ab，ac相切於點e，f，所以，故
從而（ⅱ）由（ⅰ）知，，，故是的垂直平分線.又為的弦，所以在上
鏈結，則
由等於的半徑得，所以，因此和都是等邊三角形
因為，所以
因為，所以，於是
所以四邊形的面積為
（23）解：
（ⅰ）曲線的直角座標方程為，曲線的直角座標方程為.
聯立解得或
所以與交點的直角座標為和
（ⅱ）曲線的極座標方程為，其中
因此的極座標為，的極座標為
所以當時，取得最大值，最大值為4
（24）解：
（ⅰ）因為，
由題設得
因此（ⅱ）（ⅰ）若，則，即
因為，所以
由（ⅰ）得
（ⅱ）若，則，即
因為，所以，於是
因此綜上，是的充要條件
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