2023年普通高等學校招生全國統一考試
數學(理)(北京卷)
本試卷共5頁. 150分.考試時長120分鐘.考試生務必將答案答在答題卡上.在試卷上作答無效.考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回.
第一部分(選擇題共40分)
一、選擇題共8小題。每小題5分.共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合勝目要求的一項.
1．已知集合a= b= 則a∩b=
a （-，-1）b （-1，-） c （-,3）d (3,+)
【解析】和往年一樣，依然的集合(交集)運算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因為，利用二次不等式可得或畫出數軸易得：．故選d．
【答案】d
2．設不等式組，表示平面區域為d，在區域d內隨機取乙個點，則此點到座標原點的距離大於2的概率是
（a） （b） （c） （d）
【解析】題目中表示的區域如圖正方形所示，而動點d可以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分，因此，故選d。
【答案】d
3．設a，b∈r。「a=0」是「複數a+bi是純虛數」的（ ）
a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件
c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件
【解析】當時，如果同時等於零，此時是實數，不是純虛數，因此不是充分條件；而如果已經為純虛數，由定義實部為零，虛部不為零可以得到，因此想必要條件，故選b。
【答案】b
4．執行如圖所示的程式框圖，輸出的s值為（ ）
a. 2 b .4 c.8 d. 16
【解析】，，，，，迴圈結束，輸出的s為8，故選c。
【答案】
5.如圖. ∠acb=90，cd⊥ab於點d，以bd為直徑的圓與bc交於點e.則( )
a. ce·cb=ad·db b. ce·cb=ad·ab
c. ad·ab=
【解析】在中，∠acb=90，cd⊥ab於點d，所以,由切割線定理的,所以ce·cb=ad·db。
【答案】a
6.從0，2中選乙個數字.從1.3.5中選兩個數字,組成無重複數字的三位數.其中奇數的個數為( )
a. 24 b. 18 c. 12 d. 6
【解析】由於題目要求的是奇數，那麼對於此三位數可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種選擇)，之後十位(2種選擇)，最後百位(2種選擇)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇，分析同理：
個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共12+6=18種情況。
【答案】b
7.某三稜錐的三檢視如圖所示，該三梭錐的表面積是（ ）
a. 28+6 b. 30+6 c. 56+ 12 d. 60+12
【解析】從所給的三檢視可以得到該幾何體為三稜錐，如圖所示，圖中藍色數字所表示的為直接從題目所給三檢視中讀出的長度，黑色數字代表通過勾股定理的計算得到的邊長。本題所求表面積應為三稜錐四個面的面積之和，利用垂直關係和三角形面積公式，可得：，，，，因此該幾何體表面積，故選b。
【答案】b
8.某棵果樹前n前的總產量s與n之間的關係如圖所示.從目前記錄的結果看，前m年的年平均產量最高。m值為（ ）
a.5 b.7 c.9 d.11
【解析】由圖可知6,7,8,9這幾年增長最快，超過平均值，所以應該加入，因此選c。
【答案】c
第二部分(非選擇題共110分)
二.填空題共6小題。每小題5分。共30分.
9．直線為引數)與曲線為引數)的交點個數為______。
【解析】直線的普通方程，圓的普通方程為，可以直線圓相交，故有2個交點。
【答案】2
10．已知等差數列為其前n項和。若，，則=_______。
【解析】因為，
所以，。
【答案】，
11．在△abc中，若=2，b+c=7，cosb=，則b=_______。
【解析】在△abc中，利用餘弦定理，化簡得：，與題目條件聯立，可解得
【答案】4
12．在直角座標系xoy中，直線l過拋物線=4x的焦點f.且與該撇物線相交於a、b兩點.其中點a在x軸上方。若直線l的傾斜角為60.則△oaf的面積為
【解析】由可求得焦點座標f(1,0)，因為傾斜角為，所以直線的斜率為，利用點斜式，直線方程為，將直線和曲線聯立，因此．
【答案】
13．已知正方形abcd的邊長為1，點e是ab邊上的動點，則的值為________，的最大值為______。
【解析】根據平面向量的數量積公式，由圖可知，，因此，
，而就是向量在邊上的射影，要想讓最大，即讓射影最大，此時e點與b點重合，射影為，所以長度為1．
【答案】1，1
14.已知，，若同時滿足條件：
①，或；
②, 。
則m的取值範圍是
【解析】根據，可解得。由於題目中第乙個條件的限制，或成立的限制，導致在時必須是的。當時，不能做到在時，所以捨掉。
因此，作為二次函式開口只能向下，故，且此時兩個根為，。為保證此條件成立，需要，和大前提取交集結果為；又由於條件2：要求， 0的限制，可分析得出在時，恆負，因此就需要在這個範圍內有得正數的可能，即應該比兩根中小的那個大，當時，，解得，交集為空，舍。
當時，兩個根同為，舍。當時，，解得，綜上所述．
【答案】
三、解答題公6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
15．（本小題共13分）
已知函式。
（1）求的定義域及最小正週期；
（2）求的單調遞減區間。
16．（本小題共14分）
如圖1，在rt△abc中，∠c=90°，bc=3，ac=6，d，e分別是ac，ab上的點，且de∥bc，de=2，將△ade沿de折起到△a1de的位置，使a1c⊥cd,如圖2.
(i)求證：a1c⊥平面bcde；
(ii)若m是a1d的中點，求cm與平面a1be所成角的大小；
(iii)線段bc上是否存在點p，使平面a1dp與平面a1be垂直？說明理由
解：（1），
平面，又平面，
又，平面。
（2）如圖建系，則，，，
∴,設平面法向量為
則 ∴ ∴∴又∵
∴∴，∴與平面所成角的大小。
（3）設線段上存在點，設點座標為，則
則，設平面法向量為，
則 ∴
∴。假設平面與平面垂直，
則，∴，，，
∵，∴不存**段上存在點，使平面與平面垂直。
17．（本小題共13分）
近年來，某市為了促進生活垃圾的風分類處理，將生活垃圾分為廚餘垃圾、可**物和其他垃圾三類，並分別設定了相應分垃圾箱，為調查居民生活垃圾分類投放情況，現隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，資料統計如下（單位：噸）：
（ⅰ）試估計廚餘垃圾投放正確的概率；
（ⅱ）試估計生活垃圾投放錯誤額概率；
（ⅲ）假設廚餘垃圾在「廚餘垃圾」箱、「可**物」箱、「其他垃圾」箱的投放量分別為其中a＞0， =600。當資料的方差最大時，寫出的值（結論不要求證明），並求此時的值。
（注：，其中為資料的平均數）
解：（ ）由題意可知：。
（ ）由題意可知：。
（ ）由題意可知：，因此有當，，時，有．
18．（本小題共13分）
解：（ ）由為公共切點可得：
，則，，
，則，，
①又，，
，即，代入①式可得：．
（2），設
則，令，解得：，；
，，原函式在單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增
①若，即時，最大值為；
②若，即時，最大值為
③若時，即時，最大值為．
綜上所述：
當時，最大值為；當時，最大值為．
19．（本小題共14分）
解：（1）原曲線方程可化簡得：
由題意可得：，解得：
（2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：，
，解得：
由韋達定理得：①，，②
設，，方程為：，則，
，，欲證三點共線，只需證，共線
即成立，化簡得：
將①②代入易知等式成立，則三點共線得證。
20．（本小題共13分）
解：（1）由題意可知，，，，
∴（2）先用反證法證明：
若則，∴
同理可知，∴
由題目所有數和為即∴
與題目條件矛盾
∴．易知當時，存在
∴的最大值為1
（3）的最大值為.
首先構造滿足的：，.
經計算知，中每個元素的絕對值都小於1，所有元素之和為0，且，，
.下面證明是最大值. 若不然，則存在乙個數表，使得.
由的定義知的每一列兩個數之和的絕對值都不小於，而兩個絕對值不超過1的數的和，其絕對值不超過2，故的每一列兩個數之和的絕對值都在區間中. 由於，故的每一列兩個數符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小於.
設中有列的列和為正，有列的列和為負，由對稱性不妨設，則. 另外，由對稱性不妨設的第一行行和為正，第二行行和為負.
考慮的第一行，由前面結論知的第一行有不超過個正數和不少於個負數，每個正數的絕對值不超過1（即每個正數均不超過1），每個負數的絕對值不小於（即每個負數均不超過）. 因此
，故的第一行行和的絕對值小於，與假設矛盾. 因此的最大值為。
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