一、直接法
當所求動點的要滿足的條件簡單明確時，直接按「建系設點、列出條件、代入座標、整理化簡、限制說明」五個基本步驟求軌跡方程, 稱之直接法.
例1 已知點、動點滿足，則點的軌跡為a．圓 b．橢圓 c．雙曲線 d．拋物線
解： ，
. 由條件，，整理得，此即點的軌跡方程，所以的軌跡為拋物線，選d.
此類問題重在尋找數量關係。
例2： 一條線段ab的長等於2a,兩個端點a和b分別在x軸和y軸上滑動，求ab中點p的軌跡方程？
解設m點的座標為由平幾的中線定理：在直角三角形aob中，om=
m點的軌跡是以o為圓心，a為半徑的圓周.
【點評】此題中找到了om=這一等量關係是此題成功的關鍵所在。一般直譯法有下列幾種情況：
1）代入題設中的已知等量關係：若動點的規律由題設中的已知等量關係明顯給出，則採用直接將數量關係代數化的方法求其軌跡。
2）列出符合題設條件的等式：有時題中無座標系，需選定適當位置的座標系，再根據題設條件列出等式，得出其軌跡方程。
3）運用有關公式：有時要運用符合題設的有關公式，使其公式中含有動點座標，並作相應的恒等變換即得其軌跡方程。
4）借助平幾中的有關定理和性質：有時動點規律的數量關係不明顯，這時可借助平面幾何中的有關定理、性質、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質等等，從而分析出其數量的關係，這種借助幾何定理的方法是求動點軌跡的重要方法.
【變式2】: 動點p（x,y）到兩定點a（－3，0）和b（3，0）的距離的比等於2（即），求動點p的軌跡方程？
【解答】∵|pa|=
代入得化簡得（x－5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4為半徑的圓.
二、定義法
定義法是指先分析、說明動點的軌跡滿足某種特殊曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）的定義或特徵，再求出該曲線的相關參量，從而得到軌跡方程.
例2 已知中，、、的對邊分別為、、，若依次構成等差數列，且，，求頂點的軌跡方程.
解：如右圖，以直線為軸，線段的中點為原
點建立直角座標系. 由題意，構成等差數列， ，
即，又， 的軌跡為橢圓的左半部分.在此橢圓中，，，故的軌跡方程為.
例1：已知的頂點a，b的座標分別為（-4，0），（4，0），c 為動點，且滿足求點c的軌跡。
【解析】由可知，即，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為
（，圖形為橢圓（不含左，右頂點）。
【點評】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關鍵。
（1） 圓：到定點的距離等於定長
（2） 橢圓：到兩定點的距離之和為常數（大於兩定點的距離）
（3） 雙曲線：到兩定點距離之差的絕對值為常數（小於兩定點的距離）
（4） 到定點與定直線距離相等。
【變式1】: 1:已知圓的圓心為m1，圓的圓心為m2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心p的軌跡方程。
解：設動圓的半徑為r，由兩圓外切的條件可得：，。
。∴動圓圓心p的軌跡是以m1、m2為焦點的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。
故所求軌跡方程為
2:一動圓與圓o：外切，而與圓c：內切，那麼動圓的圓心m的軌跡是：
a：拋物線b：圓 c：橢圓 d：雙曲線一支
【解答】令動圓半徑為r，則有，則|mo|-|mc|=2，滿足雙曲線定義。故選d。
三、代入法
當題目中有多個動點時，將其他動點的座標用所求動點的座標來表示，再代入到其他動點要滿足的條件或軌跡方程中，整理即得到動點的軌跡方程，稱之代入法，也稱相關點法、轉移法.
例3 如圖，從雙曲線上一點引直線
的垂線，垂足為，求線段的中點的軌跡方程.
解：設，則.在直線上，
① 又得即.②
聯解①②得.又點在雙曲線上，，化簡整理得：，此即動點的軌跡方程.
例4.軌跡方程。
分析：題中涉及了三個點a、b、m，其中a為定點，而b、m為動點，且點b的運動是有規律的，顯然m的運動是由b的運動而引發的，可見m、b為相關點，故採用相關點法求動點m的軌跡方程。
【解析】設動點m的座標為（x，y），而設b點座標為（x0，y0）
則由m為線段ab中點，可得
即點b座標可表為（2x－2a，2y）
【點評】代入法的關鍵在於找到動點和其相關點座標間的等量關係
【變式4】如圖所示，已知p(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，a、b是圓上兩動點，且滿足∠apb=90°，求矩形apbq的頂點q的軌跡方程
【解析】： 設ab的中點為r，座標為(x,y)，則在rt△abp中，|ar|=|pr| 又因為r是弦ab的中點，依垂徑定理在rt△oar中，|ar|2=|ao|2－|or|2=36－(x2+y2)
又|ar|=|pr|=
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此點r在乙個圓上，而當r在此圓上運動時，q點即在所求的軌跡上運動
設q(x,y)，r(x1,y1)，因為r是pq的中點，所以x1=,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
－10=0
整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程
四、幾何法
幾何法是指利用平面幾何或解析幾何知識分析圖形性質，發現動點的運動規律和要滿足的條件，從而得到動點的軌跡方程.
例4 已知點、，過、作兩條互相垂直的直線和，求和的交點的軌跡方程.
解：由平面幾何知識可知，當為直角三角形時，點的軌跡是以為直徑的圓.此圓的圓心即為的中點，半徑為，方程為. 故的軌跡方程為.
五、引數法
引數法是指先引入乙個中間變數（引數），使所求動點的橫、縱座標間建立起聯絡，然後再從所求式子中消去引數，得到間的直接關係式，即得到所求軌跡方程.
例5 過拋物線（）的頂點作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點的軌跡方程.
解：設，直線的斜率為，則直線的斜率為.直線oa的方程為，由解得，即，同理可得.
由此類方法主要在於設定合適的引數，求出引數方程，最後消參，化為普通方程。注意引數的取值範圍。
例3．過點p（2，4）作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸於a點，l2交y軸於b點，求線段ab的中點m的軌跡方程。
【解析】
分析1：從運動的角度觀察發現，點m的運動是由直線l1引發的，可設出l1的斜率k作為引數，建立動點m座標（x，y）滿足的引數方程。
解法1：設m（x，y），設直線l1的方程為y－4＝k（x－2），（k≠０）
∵m為ab的中點，
消去k，得x＋2y－5＝0。
另外，當k＝0時，ab中點為m（1，2），滿足上述軌跡方程；
當k不存在時，ab中點為m（1，2），也滿足上述軌跡方程。
綜上所述，m的軌跡方程為x＋2y－5＝0。
分析2：解法1中在利用k1k2＝－1時，需注意k1、k2是否存在，故而分情形討論，能否避開討論呢？只需利用△pab為直角三角形的幾何特性：
解法2：設m（x，y），鏈結mp，則a（2x，0），b（0，2y），
∵l1⊥l2，∴△pab為直角三角形
化簡，得x＋2y－5＝0，此即m的軌跡方程。
分析3：：設m（x，y），由已知l1⊥l2，聯想到兩直線垂直的充要條件：k1k2＝－1，即可列出軌跡方程，關鍵是如何用m點座標表示a、b兩點座標。
事實上，由m為ab的中點，易找出它們的座標之間的聯絡。
解法3：設m（x，y），∵m為ab中點，∴a（2x，0），b（0，2y）。
又l1，l2過點p（2，4），且l1⊥l2
∴pa⊥pb，從而kpa·kpb＝－1，
注意到l1⊥x軸時，l2⊥y軸，此時a（2，0），b（0，4）
中點m（1，2），經檢驗，它也滿足方程x＋2y－5＝0
綜上可知，點m的軌跡方程為x＋2y－5＝0。
【點評】
1） 解法1用了引數法，消參時應注意取值範圍。解法2，3為直譯法，運用了kpa·kpb＝－1，這些等量關係。。
用引數法求解時，一般引數可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時間，速度，距離，角度，有向線段的數量，直線的斜率，點的橫，縱座標等。也可以沒有具體的意義，選定參變數還要特別注意它的取值範圍對動點座標取值範圍的影響
【變式3】過圓o：x2 +y2= 4 外一點a（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦bc的中點m的軌跡。
解法一：「幾何法」
設點m的座標為（x,y）,因為點m 是弦bc的中點，所以om⊥bc,
所以|om即(x2 +y2)+(x －４)2 +y2 =16
化簡得：（x－2）2+ y2 =4
由方程 ① 與方程x2 +y2= 4得兩圓的交點的橫座標為1，所以點m的軌跡方程為
（x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）。所以m的軌跡是以（2，0）為圓心，
2為半徑的圓在圓o內的部分。
解法二：「引數法」
設點m的座標為（x,y），b（x1,y1）,c（x2,y2）直線ab的方程為y=k(x－4),
由直線與圓的方程得（1+k2）x2 －8k2x +16k2－4=0
由點m為bc的中點，所以x1) , 又om⊥bc，所以k2)由方程（1）（2）
消去k得（x－2）2+ y2 =4,又由方程（*）的△≥0得k2≤,所以x＜1.
所以點m的軌跡方程為（x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）所以m的軌跡是以（2，0）為圓心，
2為半徑的圓在圓o內的部分。
中點座標公式，得，消去，得，此即點的軌跡方程.
六、交軌法
求兩曲線的交點軌跡時，可由方程直接消去引數，或者先引入引數來建立這些動曲線的聯絡，然後消去引數來得到軌跡方程，稱之交軌法.
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