《軌跡方程的求法專題複習》教案
高考要求
求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用「座標化」將其轉化為尋求變數間的關係這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點
求圓錐曲線方程的常用方法：定義法、待定係數法、直接法、代入法、引數法、幾何法等。關鍵是形數結合，建立等量關係
(1)直接法直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關係，直接座標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程
(2)定義法若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求
(3)相關點法根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程
(4)引數法若動點的座標(x,y)中的x,y分別隨另一變數的變化而變化，我們可以以這個變數為引數，建立軌跡的引數方程
求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性要注意區別「軌跡」與「軌跡方程」是兩個不同的概念
【典型示例】
1、直接法：按求動點軌跡方程的一般步驟求，其過程是建系設點，列出幾何等式，座標代換，化簡整理，主要用於動點具有的幾何條件比較明顯時．
【例1】已知直角座標平面上點q（2，0）和圓c：，動點m到圓c的切線長與的比等於常數（如圖），求動點m的軌跡方程，說明它表示什麼曲線．
解：設m（x，y），直線mn切圓c於n，
則有 ，即 ，
．整理得，這就是動點m的軌跡方程．
若，方程化為，它表示過點和x軸垂直的一條直線；
若λ≠1，方程化為，它表示以為圓心，為半徑的圓．
【變式】(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等於k的動點p的軌跡方程；
(2)過點a(a，0)作圓o∶x2+y2=r2(a＞r＞0)的割線，求割線被圓0截得弦的中點的軌跡．
解：（1）設動點p(x，y)，則有|op|=2r或|op|=0．即x2+y2=4r2或x2+y2=0．
故所求動點p的軌跡方程為x2+y2=4r2或x2+y2=0．
（2）解：設弦的中點為m(x，y)，鏈結om，則om⊥am．∵，
，其軌跡是以oa為直徑的圓在圓o內的一段弧(不含端點)．
2、定義法：利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件
【例2】如圖，已知圓a：與點，分別求出滿足下列條件的動點p的軌跡方程。
（1）的周長為10；
（2）圓p過點b且與圓a外切（p為動圓圓心）；
（3）圓p與圓a外切且與直線相切（p為動圓圓心）。
【變式】1、設q是圓上的動點，另有點,線段aq的垂直平分線交半徑oq於點p(見圖)，當q點在圓周上運動時，求點p的軌跡方程．
解：連線pa ∵⊥pa，∴|pa|=|pq|．
又p在半徑oq上．∴|po|+|pq|=2．
由橢圓定義可知：p點軌跡是以o、a為焦點的橢圓．
，故橢圓方程為：
2、（廣東）若動圓與圓外切且與直線x=2相切，則動圓圓心的軌跡方程是
（a）（b）（c）（d）
解：如圖，設動圓圓心為m，由題意，動點m到定圓圓心（－2，0）的距離等於它到定直線x=4的距離，故所求軌跡是以（－2，0）為焦點，直線x=4為準線的拋物線，並且p=6，頂點是（1，0），開口向左，所以方程是．選（b）．
3、（全國）一動圓與兩圓和都外切，則動圓圓心軌跡為
（a）拋物線b）圓 （c）雙曲線的一支 （d）橢圓
解：如圖，設動圓圓心為m，半徑為r，則有
動點m到兩定點的距離之差為1，由雙曲線定義知，其軌跡是以o、c為焦點的雙曲線的右支，選（c）．
3、代入法：若動點m（x，y）依賴已知曲線上的動點n而運動，則可將轉化後的動點n的座標入已知曲線的方程或滿足的幾何條件，從而求得動點m的軌跡方程，此法稱為代入法，一般用於兩個或兩個以上動點的情況．
【例3】如圖所示，已知p(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，a、b是圓上兩動點，且滿足∠apb=90°，求矩形apbq的頂點q的軌跡方程
解設ab的中點為r，座標為(x,y)，則在rt△abp中，|ar|=|pr|
又因為r是弦ab的中點，依垂徑定理在rt△oar中，|ar|2=|ao|2－|or|2=36－(x2+y2)
又|ar|=|pr|=
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此點r在乙個圓上，而當r在此圓上運動時，q點即在所求的軌跡上運動
設q(x,y)，r(x1,y1)，因為r是pq的中點，所以x1=,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
－10=0
整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程
【變式】已知拋物線y2=x+1，定點a(3，1)、b為拋物線上任意一點，點p**段ab上，且有bp∶pa=1∶2，當b點在拋物線上變動時，求點p的軌跡方程．
解：設點p(x，y)，且設點b(x0，y0)
∵bp∶pa=1∶2，且p為線段ab的內分點．
4、待定係數法：求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定係數法求
【例4】.(2023年廣東卷文)已知橢圓g的中心在座標原點,長軸在軸上,離心率為,兩個焦點分別為和,橢圓g上一點到和的距離之和為12.圓:
的圓心為點. (1)求橢圓g的方程2)求的面積
(3)問是否存在圓包圍橢圓g?請說明理由.
【解析】（1）設橢圓g的方程為： （）半焦距為c;
則 , 解得 ,
所求橢圓g的方程為：.
(2 )點的座標為
（3）若，由可知點（6，0）在圓外，
若，由可知點（-6，0）在圓外；
不論k為何值圓都不能包圍橢圓g.
【變式】已知拋物線y2=4x和以座標軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲線僅有兩個交點，又直線被雙曲線截得線段長等於，求此雙曲線方程。
解：設雙曲線方程為：，由
∵拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據它們的對稱性，這兩個點的橫座標應相等，因此方程應有等根．∴
，由弦長公式得：
， 即a2b2=4b2-a2．
5、引數法：若動點p（x，y）的座標x與y之間的關係不易直接找到，而動點變化受到另一變數的制約，則可求出x、y關於另一變數的引數方程，再化為普通方程
【例5】設點a和b為拋物線 y2=4px(p＞0)上原點以外的兩個動點，已知oa⊥ob，om⊥ab，求點m的軌跡方程，並說明它表示什麼曲線
解法一設a(x1,y1),b(x2,y2),m(x,y) (x≠0)
直線ab的方程為x=my+a
由om⊥ab，得m=－
由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0
所以y1y2=－4pa, x1x2=
所以，由oa⊥ob，得x1x2 =－y1y2
所以故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)
故動點m的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉座標原點
解法二設oa的方程為，代入y2=4px得
則ob的方程為，代入y2=4px得
∴ab的方程為，過定點，
由om⊥ab，得m在以on為直徑的圓上（o點除外）
故動點m的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉座標原點
解法三設m(x,y) (x≠0)，oa的方程為，
代入y2=4px得
則ob的方程為，代入y2=4px得
由om⊥ab，得
m既在以oa為直徑的圓 ……①上，
又在以ob為直徑的圓 ……②上（o點除外），
①+②得 x2+y2－4px=0(x≠0)
故動點m的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉座標原點
【變式】設橢圓中心為原點o，乙個焦點為f（0，1），長軸和短軸的長度之比為t．
（a）求橢圓的方程；
（2）設經過原點且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點為q，點p在該直線上，且，當t變化時，求點p的軌跡方程，並說明軌跡是什麼圖形．
解：（1）設所求橢圓方程為
由題意得解得
所以橢圓方程為 ．
(2)設點解方程組
得由和得其中t＞1．
消去t，得點p軌跡方程為
和．其軌跡為拋物線在直線右側的部分和拋物線**在側的部分．
6、交軌法:一般用於求二動曲線交點的軌跡方程．其過程是選出乙個適當的引數，求出二動曲線的方程或動點座標適合的含引數的等式，再消去引數，即得所求動點軌跡的方程．
【例6】1、已知雙曲線=1(m＞0,n＞0)的頂點為a1、a2，與y軸平行的直線l交雙曲線於點p、q 求直線a1p與a2q交點m的軌跡方程；
解 (1)設p點的座標為(x1,y1)，則q點座標為(x1,－y1),又有a1(－m,0),a2(m,0),則a1p的方程為 y
a2q的方程為 y
①×②得 y2
又因點p在雙曲線上，故
代入③並整理得=1 此即為m的軌跡方程
2、（07北京）如圖，矩形的兩條對角線相交於點，邊所在直線的方程為點在邊所在直線上．
（）求邊所在直線的方程；
（）求矩形外接圓的方程；
（）若動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程．
解：（）因為邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為．
又因為點在直線上，
所以邊所在直線的方程為．
．（）由解得點的座標為，
因為矩形兩條對角線的交點為．所以為矩形外接圓的圓心．
又．從而矩形外接圓的方程為．
（）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，
所以，即．
故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支．
因為實半軸長，半焦距．所以虛半軸長．
從而動圓的圓心的軌跡方程為．
【變式】（全國卷）已知兩點以及一條直線，設長為的線段ab在直線上移動，求直線pa和qb交點m的軌跡方程．
高考複習 軌跡方程的求法
難點22 軌跡方程的求法 求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用 座標化 將其轉化為尋求變數間的關係.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類...
分式方程專題複習
九年級班級 姓名 一 自主學習 1 解一元一次方程的步驟為？2 解分式方程的思路 將分式方程的兩邊都乘以轉化為方程。3 解分式方程 4 總結 解分式方程與解整式方程的步驟大致相同，但分式方程必須 分式方程的增根使分式方程的最簡公分母為 也使去分母的方程成立。二 小組展示 考點1 解分式方程 1 下列...
解方程複習教案
解簡易方程複習課 教學內容 人教新課標五年級上冊第四單元 第44 64頁用字母表示數 解簡易方程及練習。教學目標 1 加深理解用字母表示數的意義和作用,會用字母表示數和數量關係,培養學生抽象,概括的能力。2 加深對方程及相關概念的認識，掌握解簡易方程的步驟和方法，能正確地解簡易方程。教學重點 會用字...