求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用「座標化」將其轉化為尋求變數間的關係.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點.
●案例**
［例1］如圖所示，已知p(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，a、b是圓上兩動點，且滿足∠apb=90°，求矩形apbq的頂點q的軌跡方程.
知識依託：利用平面幾何的基本知識和兩點間的距離公式建立線段ab中點的軌跡方程.
錯解分析：欲求q的軌跡方程，應先求r的軌跡方程，若學生思考不深刻，發現不了問題的實質，很難解決此題.
技巧與方法：對某些較複雜的探求軌跡方程的問題，可先確定乙個較易於求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關點，求得軌跡方程.
解：設ab的中點為r，座標為(x,y)，則在rt△abp中，|ar|=|pr|.
又因為r是弦ab的中點，依垂徑定理：在rt△oar中，|ar|2=|ao|2－|or|2=36－(x2+y2)
又|ar|=|pr|=
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此點r在乙個圓上，而當r在此圓上運動時，q點即在所求的軌跡上運動.
設q(x,y)，r(x1,y1)，因為r是pq的中點，所以x1=,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
－10=0
整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.
［例2］設點a和b為拋物線 y2=4px(p＞0)上原點以外的兩個動點，已知oa⊥ob，om⊥ab，求點m的軌跡方程，並說明它表示什麼曲線.(2023年北京、安徽春招)
錯解分析：當設a、b兩點的座標分別為(x1,y1),(x2,y2)時，注意對「x1=x2」的討論.
技巧與方法：將動點的座標x、y用其他相關的量表示出來，然後再消掉這些量，從而就建立了關於x、y的關係.
解法一：設a(x1,y1),b(x2,y2),m(x,y)依題意，有
①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)
若x1≠x2,則有
①×②,得y12·y22=16p2x1x2
③代入上式有y1y2=－16p2
⑥代入④，得
⑥代入⑤，得
所以即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2
⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)
當x1=x2時，ab⊥x軸，易得m(4p,0)仍滿足方程.
故點m的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉座標原點.
解法二：設m(x,y)，直線ab的方程為y=kx+b
由om⊥ab，得k=－
由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0
所以x1x2=,消x,得ky2－4py+4pb=0
所以y1y2=，由oa⊥ob，得y1y2=－x1x2
所以=－,b=－4kp
故y=kx+b=k(x－4p),用k=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)
故動點m的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉座標原點.
［例3］某檢驗員通常用乙個直徑為2 cm和乙個直徑為1 cm的標準圓柱，檢測乙個直徑為3 cm的圓柱，為保證質量，有人建議再插入兩個合適的同號標準圓柱，問這兩個標準圓柱的直徑為多少？
知識依託：圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點.
錯解分析：正確理解題意及正確地將此實際問題轉化為數學問題是順利解答此題的關鍵.
技巧與方法：研究所給圓柱的截面，建立恰當的座標系，找到動圓圓心的軌跡方程.
解：設直徑為3,2,1的三圓圓心分別為o、a、b，問題轉化為求兩等圓p、q,使它們與⊙o相內切，與⊙a、⊙b相外切.
建立如圖所示的座標系，並設⊙p的半徑為r,則
|pa|+|po|=1+r+1.5－r=2.5
∴點p在以a、o為焦點，長軸長2.5的橢圓上，其方程為
=1同理p也在以o、b為焦點，長軸長為2的橢圓上，其方程為
(x－)2+y2=1
由①、②可解得，∴r=
故所求圓柱的直徑為cm.
●錦囊妙計
求曲線的軌跡方程常採用的方法有直接法、定義法、代入法、引數法.
(1)直接法直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關係，直接座標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程.
(2)定義法若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求.
(3)相關點法根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程.
(4)引數法若動點的座標(x,y)中的x,y分別隨另一變數的變化而變化，我們可以以這個變數為引數，建立軌跡的引數方程.
求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區別「軌跡」與「軌跡方程」是兩個不同的概念.
難點22軌跡方程的求法
求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用 座標化 將其轉化為尋求變數間的關係.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也...
曲線的軌跡方程的求法
課題 求軌跡方程 二 二 待定係數法 例1 雙曲線c與橢圓有相同的焦點，直線y 為c的一條漸近線.求雙曲線c的方程 變式練習 1 設中心在原點的橢圓與雙曲線 1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數，則該橢圓的方程是 2 已知橢圓的中心在原點，離心率，且它的乙個焦點與拋物線的焦點重合，則此橢圓方程為 ...
高考複習 軌跡方程的求法
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