學習目標：1．了解什麼叫軌跡，並能根據所給的條件，選擇恰當的直角座標系求出曲線的軌跡方程。
2．在形成概念的過程中，培養分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數結合、函式與方程、化歸與轉化等數學思想。
重點：掌握直接法、定義法（待定係數法）、相關點法、引數法等幾種求曲線軌跡方程的常用方法。
難點： 用相關點法、引數法求曲線軌跡方程。
學習策略：
求軌跡方程是解析幾何的基本內容，注意理解直接法、定義法（待定係數法）、相關點法、引數法等幾種求曲線軌跡方程的常用方法通常各在什麼情況下使用。
求出的軌跡方程，應注意避免增根或者丟根。
知識要點梳理
求軌跡方程的主要方法
(1)直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關係，直接座標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程。
(2)待定係數法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用待定係數法（定義法）直接探求。
(3)相關點法：根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程。
適合情況：一動點在基礎曲線上運動，依某種條件帶動另一動點的運動，我們要求另一動點的軌跡方程。
基本步驟：
①建立兩動點之間的關係，通常用所求動點的座標表示已知動點的座標；
②將基礎曲線上運動的點的座標代入基礎曲線的方程，整理後，即得所求曲線的方程。
☆(4)引數法：若動點的座標中的分別隨另一變數的變化而變化，我們可以以這個變數為引數，建立軌跡的引數方程，再通過消去引數t得到x與y的關係式，這就是引數法。
規律方法指導
1．求軌跡方程的一般思路：
①若曲線的型別已確定，一般用待定係數法；
②若曲線的型別未確定，但曲線上動點的運動在題目中有明確的表述，一般採用直接法；
③若動點的變化依賴於另一相關點的變化，一般採用相關點法（代入轉移法）；
④若動點座標之間的關係不易找出，一般可採用引數法。但應注意所列方程個數比引數個數要多乙個，
才可以消去引數。
2.求軌跡方程應注意的問題：
①求軌跡方程後一定要注意軌跡的純粹性和完備性；以保證方程的解與曲線上的點具有一一對應的關
系, 尤其是題中涉及三角形、斜率、引數方程中引數的限制, 往往使方程產生增根。
②要注意區別「軌跡」與「軌跡方程」是兩個不同的概念。
經典例題透析
型別一：直接法 1. 已知兩定點、，且，動點到與到的距離比為常數，求點的軌跡方程，並註明軌跡是什麼曲線.
思路點撥：依據題中已知條件直接列出幾何關係式子，再將其「翻譯」成數學語言即可.
解析：如圖所示建立座標系，則、，
設是軌跡上任意一點
則由題設，得，座標代入得，
化簡得：
整理得：
∴點m的軌跡方程是
點m的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.
舉一反三：
【變式1】已知兩定點、，且，動點滿足：,求點的軌跡方程，並註明軌跡是什麼曲線.
【答案】建立座標系如圖所示，則、，
設是軌跡上任意一點則，
由，得， 整理得：
∴點m的軌跡方程是； 點m的軌跡是圓。
【變式2】已知兩定點、，且，動點滿足：直線與的斜率之積為常數,求點的軌跡方程，並註明軌跡是什麼曲線.
【答案】建立座標系如圖所示，則、，
設是軌跡上任意一點
則由題設，得,
座標代入，得（）,
化簡得：，整理得：
∴點m的軌跡方程是（）
點m的軌跡是除去頂點的橢圓.
【變式3】如圖所示，已知p(4，0)和圓，a、b是圓上兩動點，求矩形apbq的對角線的交點r的軌跡方程.
【答案】設點r的座標為(x,y)，
在rt△abp中，|ar|=|pr|=；
又因為r是弦ab的中點，依垂徑定理：
在rt△oar中，|ar|2=|ao|2－|or|2
即|pr|2=|ao|2－|or|2＝36－(x2+y2)
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即
x2+y2－4x－10=0 故點r的軌跡方程：x2+y2－4x－10=0.
【變式4】已知動點p到定點f（1，0）和直線x=3的距離之和等於4，求點p的軌跡方程。
【答案】設點p的座標為（x，y），則由題意可得。
（1）當x≤3時，方程變為，
化簡得。
（2）當x>3時，方程變為，
化簡得。
故所求的點p的軌跡方程是或。
型別二：定義法
2. 如圖所示，已知直線於點m，點，曲線段ab上的任一點到的距離與到點n的距離相等，若,,,,建立適當的座標系,求曲線段ab的方程.
思路點撥：建立適當的直角座標系，先依據定義確定所求曲線段是拋物線的一部分，再用待定係數法設出拋物線方程即可，求出曲線方程後要標註x、y的取值範圍.
解析：以mn中點o為原點,mn所在直線方程為x軸建立直角座標系,
由題意確定所求曲線段是以n為焦點，為準線的拋物線的一部分
設曲線方程為,點、,
則,,由得，中，由得
∴解得，又，，故所求曲線方程為: .
舉一反三：【變式1】已知中，，的周長為6，求頂點的軌跡方程.
【答案】由題知：,
由橢圓的定義可知：點的軌跡是以、為焦點的橢圓，
其長軸為，焦距為, 短軸長為,
∴橢圓方程為,
而點在軸上時不能構成三角形，故, 因此點的軌跡方程是：().
【變式2】已知圓的圓心為m1，圓的圓心為m2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心p的軌跡方程。
【答案】設動圓圓心p（x，y），動圓的半徑為r，
由兩圓外切的條件可得：，。
∴∴動圓圓心p的軌跡是以m1、m2為焦點的雙曲線的右支，其中c=4，a=2， ∴b2=12，
故所求軌跡方程為。
【變式3】艦a在艦b的正東6千公尺處，艦c在艦b的北偏西30°且與b相距4千公尺，它們準備捕海洋動物，某時刻a發現動物訊號，4秒後b、c同時發現這種訊號，a發射麻醉炮彈，設艦與動物均為靜止的，動物訊號的傳播速度為1千公尺/秒，炮彈的速度是千公尺/秒，其中g為重力加速度，若不計空氣阻力與艦高，問艦a發射炮彈的方位角和仰角應是多少？
【答案】取ab所在直線為x軸，以ab的中點為原點，建立如圖所示的直角座標系.
由題意可知，艦、、.
由於b、c同時發現動物訊號，記動物所在位置為p，則.
於是p**段bc的中垂線上，
易求得線段bc的中垂線方程為
又由a、b兩艦發現動物訊號的時間差為4秒，知，
故知p在雙曲線的右支上，
直線與雙曲線的交點為，此即為動物p的位置，
利用兩點間距離公式，可得.
據已知兩點的斜率公式，得,所以直線pa的傾斜角為,
於是艦a發射炮彈的方位角應是北偏東
設發射炮彈的仰角是，初速度，則,
仰角.型別三：相關點代入法
3．已知點p(4，0)和圓x2+y2－4x－10=0上乙個動點r，動點q滿足：點r是線段pq的中點，求點q的軌跡方程.
思路點撥： 當r在已知圓上運動時，q點即在所求的軌跡上運動，可以找出兩點的座標之間的關係，即可以求解.
解析：設q(x,y)，r(x1,y1)，則
因為r是pq的中點，所以x1=,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.
總結昇華：
①以已知點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關點，求得軌跡方程.
②所求即所設：直接設所求點的座標.
舉一反三： 【變式1】求經過定點m（1，2），以y軸為準線，離心率為的橢圓左頂點的軌跡方程.
【答案】設橢圓左頂點a(x,y),左焦點f(x＇,y＇),
則，∴，
又∵，代入上式得為所求.
【變式2】p是橢圓上的動點, 作pd⊥y軸, d為垂足, 則pd中點的軌跡方程為( ).
a． b． c． d．【答案】d；
解析：設pd中點為m(x, y),則p點座標為(2x, y),
代入方程, 即得.
【變式3】已知橢圓上的動點 a和左焦點f,求線段af的中點m的軌跡方程.
【答案】由題意知點f(-4,0),設a(x1, y1),線段af的中點 m(x, y),則
，，且，
整理得故點m的軌跡方程：.
【變式4】已知拋物線c：y2=4x.
(1)若橢圓左焦點及相應的準線與拋物線c的焦點f及準線分別重合，試求橢圓短軸端點b與焦點f連線中
點p的軌跡方程；
(2)若m(m,0)是x軸上的一定點，q是(1)所求軌跡上任一點，試問|mq|有無最小值？若有，求出其值；
若沒有，說明理由.
【答案】由拋物線y2=4x,得焦點f(1,0),準線：x=－1
(1)設p(x,y)，則b(2x－1,2y),橢圓中心o′, 則|fo′|∶|bf|=e,
又設點b到的距離為d, 則 |bf|∶d=e,∴|fo′|∶|bf|=|bf|∶d,
即(2x－2)2+(2y)2=2x(2x－2), 化簡得p點軌跡方程為y2=x－1(x＞1)
(2)設q(x,y),則
|mq|=
當,即時，函式在(1，+∞)上遞增，
故t無最小值，亦即|mq|無最小值；
當,即時，
函式在處有最小值, ∴.
型別四：引數法
4．過原點的直線與曲線y=x2-2x+2交於a，b兩點，求弦ab中點的軌跡.
思路點撥： ab的中點是受a，b兩點的影響而運動的，而a,b的運動是由於直線的轉動而導致的，因此可以選擇直線的斜率k作為引數.
解析：設ab的中點m(x,y), a(x1,y1), b(x2,y2),
依題意，直線的斜率必須存，設為k, 又直線過原點，
∴直線的方程為：y=kx, 將此式代入y=x2-2x+2
整理得：x2-(2+k)x +2=0 ∴x1+x2=2+k,
∴由消去k，得。
又由於直線與曲線有兩交點，故(1)式中的判別式δ>0,
∴(2+k)2-8>0, 解得或
∵,∴或
∴所求的軌跡是拋物線y=2x2-2x(或)部分。
總結昇華：
①在處理涉及直線和二次曲線交點的軌跡問題時，直線的斜率是常用的引數,即「k引數」，此時要考
慮直線的斜率不存在這一特殊情況.
②處理涉及直線和二次曲線交點問題時，一般設出交點座標，但不求交點座標，而是用韋達定理作整
體運算（把x1+x2或x1x2看作乙個整體），即所謂「設而不求」.
③處理涉及直線和二次曲線交點問題時，要注意相交條件( δ>0).
④引數的選擇多種多樣，應視具體情況而定常見的引數有k引數、點引數，也可以選有幾何意義的量如
角引數、引數a,b,c等。恰當選擇引數，可以簡化解題過程.
⑤解題時應先對動點的形成過程進行分析，確定引數，探求幾何關係，建立引數方程.
⑥對引數方程化簡以後，要重視檢驗工作，確定變數的範圍.
舉一反三：
【變式1】設雙曲線的兩個焦點分別是f1和f2, a 、b分別是雙曲線兩條漸進線上的動點, 且, 求線段ab中點的軌跡方程.
【答案】設a點在漸進線上, b點在漸進線上,
a(x1, y1), b(x2, y2),線段ab中點 m(x, y), ∵,
由=30,得,
化簡得.
【變式2】設直線x-y=4a與拋物線y2=4ax 交於兩點a，b (a為定值)，c為拋物線上任意一點，求δabc的重心的軌跡方程.
【答案】設δabc的重心為g(x,y) ,點c的座標為c(x0,y0),a(x1,y1), b(x2,y2)
由方程組消去y並整理得：x2-12ax+16a2=0
∴x1+x2=12a, y1+y2=(x1-4a)+(x2-4a)=(x1+x2)-8a=4a
由於g(x,y)為δabc的重心,
∴,又點c(x0,y0)在拋物線上，
∴將點c的座標代入拋物線的方程得：
(3y-4a)2=4a(3x-12a), 即
又點c與a，b不重合，∴。
【變式3】以拋物線的弦ab為直徑的圓經過原點o, 過點o作om⊥ab, m為垂足, 求點m的軌跡方程.
【答案】設直線oa方程為, 代入得a點座標為,
同理可得b(),
∴直線ab方程為,
即: ① 直線om方程為②
得: , 即為所求點m的軌跡方程.
【變式4】如圖, 矩形abcd中, , 以ab邊所在的直線為x軸, ab的中點為原點建立直角座標系, p是x軸上方一點, 使pc、pd與線段ab分別交於、兩點, 且成等比數列, 求動點p的軌跡方程.
【答案】顯然有,
設,三點共線, ,,
又三點共線, , ,
,即 ,
, 化簡得動點p的軌跡方程為.
學習成果測評
基礎達標：1．平面內到定點a（1，0），b（0，1）的距離之和是3的點的軌跡是（ ）
a．橢圓 b．一條射線 c．兩條射線 d．一條線段
2．已知兩點、，動點p不在軸上，且，其中o為原點，則點的軌跡
方程為（ ）
a. b．
c． d．
3．點m(x,y)與定點f(1,0)的距離和它到直線x=4的距離的比為2, 則動點m的軌跡方程為（ ）
a． b． c．3x2-y2-34x+65=0 d．3x2-y2-30x+63=0
4．若動點p在拋物線y=2x2+1上運動，則p與點a(0,-1)所連線段的中點軌跡方程是（ ）
a．y=2x2 b．y=4x2 c．y=6x2 d．y=8x2
5．設圓的圓心為，是圓內一定點，為圓周上一動點，線段aq的垂直平
分線與交於點，則的軌跡方程為（ ）
a． b． c． d．
6．已知動點p(x,y)滿足，則p點的軌跡是（ ）
a．兩條相交直線 b．拋物線 c．雙曲線 d．橢圓
7．設動點p是拋物線上任意一點，定點，，則點m的軌跡方程是_____.
8．到直線3x-4y=5的距離為5的點的軌跡方程是
9．與圓x2+y2-4x=0外切且與y軸相切的動圓的圓心的軌跡方程是
10．與圓x2+y2=4及圓x2+y2-12x-64=0均相切的動圓圓心的軌跡方程為
能力提公升：11．已知線段ab在直線y=-2上移動，（o為座標原點），求δaob外心的軌跡方程.
12．已知橢圓c：，直線l：，點p在直線l上，射線op交橢圓c於點r，點q在射線op上，且滿足|oq||op|=|or|2，求點q的軌跡.
13．已知橢圓c過定點a(2,4)，離心率為，左準線為y軸，求橢圓c左頂點的p的軌跡方程.
14．設點o是直角座標系的原點，點m在直線x=-p(p>0)上移動，動點n**段mo的延長線上，且滿足|mo||no|=|mn|.求點n軌跡方程.
15．設為座標原點, 為直線上動點, , , 求點的軌跡方程
綜合**：16．已知橢圓.
(1)求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程
(2)過的直線與橢圓相交，求被截得的弦的中點軌跡方程
(3)求過點且被p平分的弦所在直線的方程
參***：
基礎達標：1. 答案：
a 2．答案：c； 解析：由，得，又點p不在軸上，所以.
3．答案：d； 解析：, 兩邊平方即得3x2-y2-30x+63=0 4．答案：
b5．答案：d；
解析：如圖，am=qm,am+mc=qm+mc=qc=5>2,故的軌跡為橢圓，且焦點為a、c，2a=5,c=1.
6．答案：b； 解析：將變形為，
表示到點和直線的距離相等的點的軌跡.
7．答案： 8. 答案：x-4y-30=0或x-4y＋20=0 9. 答案：y2=8x (x>0)和y=0 (x<0)
10．答案：=1或=1.
能力提公升：
11．解析：
設外心為c(x,y),過c作cn垂直於直線ab於n.
由，∴，
∴，又|cb|=|co|， ∴
∴，即(y+4)2-x2=8 ().
12．解析：設q(x，y)是所求軌跡上任一點，
lop：y=kx
由得由得
將代入上式得2x2+3y2-4x-6y=0 ∴q點的軌跡為去掉原點的橢圓.
13．解析： 設p(x，y)為所求軌跡上任一點，設f(x0，y)為左焦點
又∵a在橢圓上，∴ ∴，
將代入得 ∴即為所求軌跡方程
14．解析：
法一：設n(x，y)，m(-p，y0)
∵n**段mo的延長線上，∴
∴∴p2-1)x2+p2y2-2px-p2=0(x>0)即為所求.
法二：設n(x，y)為所求軌跡上任一點，作na⊥x軸於a點，
則有又∵，∴
∴p2-1)x2+p2y2-2px-p2=0(x>0)即為所求軌跡方程.
15．解析：
設,則由得: , 即 ,
由得: ,
將代入得: , 且
∴所求點的軌跡方程為: .
綜合**：
16．解析：
（1) 設斜率為2的平行弦方程為，
平行弦的端點座標為，，弦的中點為
由得則，，即，又，∴為所求軌跡方程.
（2）設與橢圓的交點為，弦的中點為，
則，兩式相減並整理得
又∵，∴
∴ ①由題意知，
代入①得，化簡得
∴所求軌跡方程為(夾在橢圓內的部分) ．
（3）設弦的端點座標為，
則，代入，得：
故所求的直線方程為.
求軌跡方程常用方法
一 知識提要 1 軌跡方程的實質 軌跡方程的概念是軌跡方程求法的基礎，一般地，在直角座標中，如果軌跡c上的點與乙個二元方程的實數解建立了如下關係 1 軌跡上的點的座標都是這個方程的解 2 以這個方程的解為座標的點都在軌跡c上 則這個方程叫做軌跡的方程，這條軌跡叫做方程的軌跡 求軌跡方程就是求軌跡上的...
求軌跡方程方法總結
高考數學中求軌跡方程的常見方法 一 直接法.u.c.o.m 當所求動點的要滿足的條件簡單明確時，直接按 建系設點 列出條件 代入座標 整理化簡 限制說明 五個基本步驟求軌跡方程,稱之直接法.例1 已知點 動點滿足，則點的軌跡為a 圓 b 橢圓 c 雙曲線 d 拋物線 解 由條件，整理得，此即點的軌跡...
求軌跡方程的方法
例3 已知拋物線y2 x 1，定點a 3，1 b為拋物線上任意一點，點p 段ab上，且有bp pa 1 2，當b點在拋物線上變動時，求點p的軌跡方程 解 設點p x，y 且設點b x0，y0 bp pa 1 2，且p為線段ab的內分點 4 待定係數法 求圓 橢圓 雙曲線以及拋物線的方程常用待定係數法...