四中高二數學導學學案（十六）
朱強基編寫
求曲線的軌跡方程（二）
（三）代入法（或叫相關點法）
有些問題是當乙個點在某種曲線上運動時，另乙個點也隨之運動。解這類問題的一般方法和步驟是（1）設要求軌跡的那個動點的座標為(x,y)，已知動點的座標為(m,n),根據題意找到(x,y)與(m,n)的關係，（2）用(x,y)表示出(m,n)，代入已知動點的軌跡方程中。
例10.
軌跡方程。
分析：題中涉及了三個點a、b、m，其中a為定點，而b、m為動點，且點b的運動是有規律的，顯然m的運動是由b的運動而引發的，可見m、b為相關點，故採用相關點法求動點m的軌跡方程。
解：設動點m的座標為（x，y），而設b點座標為（x0，y0）
則由m為線段ab中點，可得
即點b座標可表為（2x－2a，2y）
例11.△abc中，b（－3，8）、c（－1，－6），另乙個頂點a在拋物線y2=4x上移動，求此三角形重心g的軌跡方程.
解：設點g的座標為,點a的座標為,由三角形重心公式有：
即：例12.自拋物線y2＝2x上任意一點p向其準線l引垂線，垂足為q，鏈結頂點o與p的直線和鏈結焦點f與q的直線交於r點，求r點的軌跡方程.
解：設p（m，n）、r（x，y），則q（－，n）、f（，0），
∴op的方程為y=x
fq的方程為y=－n（x
由①②得m＝，n＝，
代入n2＝2m，可得y2＝－2x2+x.
例13．線段ab的兩端點分別在兩互相垂直的直線上滑動，且，求ab的中點p的軌跡方程。
解：分別以這兩條直線為座標軸建立直角座標系，設點a（m,0）,b（0,n）
中點p（x,y），則
從而有：
思考：若點p滿足又該如何解決？軌跡是什麼圖形？
例14. 已知定點a（2，0），點q是圓x2＋y2＝1的動點，∠aoq的平分線交aq於m，當q點在圓上移動時，求動點m的軌跡方程。
分析1：
若設出m（x，y），則由分點座標公式，可表示出點q的座標，因q、m為相關點，（q點運動導致點m運動），可採用相關點法求點m的軌跡方程。
解法1：設m（x，y），
∵m在aq上，
，分析2：
而當∠aoq＝180°時，其角分線為y軸，它與aq交點為原點o，顯然，該點也滿足上述軌跡方程。
注：此種解法為定義法。
求軌跡方程
學習目標 1 了解什麼叫軌跡，並能根據所給的條件，選擇恰當的直角座標系求出曲線的軌跡方程。2 在形成概念的過程中，培養分析 抽象和概括等思維能力，掌握形數結合 函式與方程 化歸與轉化等數學思想。重點 掌握直接法 定義法 待定係數法 相關點法 引數法等幾種求曲線軌跡方程的常用方法。難點 用相關點法 引...
求軌跡方程的方法
例3 已知拋物線y2 x 1，定點a 3，1 b為拋物線上任意一點，點p 段ab上，且有bp pa 1 2，當b點在拋物線上變動時，求點p的軌跡方程 解 設點p x，y 且設點b x0，y0 bp pa 1 2，且p為線段ab的內分點 4 待定係數法 求圓 橢圓 雙曲線以及拋物線的方程常用待定係數法...
曲線的軌跡方程的求法
課題 求軌跡方程 二 二 待定係數法 例1 雙曲線c與橢圓有相同的焦點，直線y 為c的一條漸近線.求雙曲線c的方程 變式練習 1 設中心在原點的橢圓與雙曲線 1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數，則該橢圓的方程是 2 已知橢圓的中心在原點，離心率，且它的乙個焦點與拋物線的焦點重合，則此橢圓方程為 ...