如何求雙曲線方程的標準方程

黃薄喆求雙曲線的標準方程主要是求實半軸長（a）和虛半軸長（b）。基本思路有兩條途徑：一是根據條件直接求得a與b的值；二是根據題設條件設出（a>0，b>0）標準方程，再建立關於a與b的方程組，進而求得a與b的值。

一、直接法

直接法就是不設出雙曲線的標準方程，而是根據雙曲線及相關圓錐曲線的幾何性質等建立方程（組）直接求出a與b的值。但是求解時，必須首先明確焦點在哪條座標軸上。

例1 已知雙曲線的離心率為2，焦點是（－4，0），（4，0），則雙曲線方程為（）

a. b.

c. d.

分析：由焦點座標可以知道雙曲線焦點位置及半焦距的長c，由離心率可得到實半軸長a與c的關係。

解：由條件知雙曲線的焦點在x軸上，半焦距c=4，離心率。所以a=2，=，所以雙曲線方程為，故選a。

點評：解答此類題型的關鍵是要正確判定雙曲線焦點的位置（有焦點在x軸或y軸上或兩種情況並存的情況），以確定標準方程的型別及所求方程的個數。

二、定義法

此方法主要適用於求動點的軌跡方程，解答時必須首先根據題設條件判定所求點的軌跡為雙曲線，然後根據條件中的其他條件確定a、b的值，進而得到雙曲線的標準方程，即為所求點的軌跡。

例2 已知動圓m與c1：，c2：均外切，則動圓圓心m的軌跡方程是

分析：根據兩圓相切的條件可以確定出等式。由此知動圓圓心m的軌跡為雙曲線的一支，然後再根據相關條件求得實半軸長a與虛半軸長b的值。

解：設動圓m的半徑為r，

則，。∴，故點m的軌跡是以c1、c2為焦點，

實軸長為1的雙曲線的一支，

。∴（x<0），

m的軌跡為該雙曲線的左支。

點評：本題充分挖掘題設中所給的幾何性質，巧妙運用平面幾何的知識，得到相關線段間的幾何關係，結合圓錐曲線的定義判斷所求點的軌跡的型別，這體現了平面幾何知識在解析幾何中的簡化作用。

三、待定係數法

利用待定係數法，就是根據題設條件設出所求的雙曲線方程，然後建立方程或方程組求得引數。但在求解過程中，若能將條件與雙曲線標準方程特徵聯絡起來，巧妙設出相應的雙曲線標準方程或變式方程，則可達到避繁就簡的目的。

例3 求中心在原點，對稱軸為座標軸，且經過點p（）和q（，6）兩點的雙曲線方程。

分析：此題若設雙曲線的標準方程，需分兩種情況來解，比較繁瑣，如果設方程（mn≠0）來解，則要簡單得多。

解：設雙曲線方程為。

因為點p、q在雙曲線上，

所以，解得，所求雙曲線方程為。

點評：若已知曲線經過兩點，則求橢圓或雙曲線標準方程時，都可將方程設為=1。

而且這種設法，可用來解決焦點不確定的情況。