高二數學選修2-1 第二章 2.3雙曲線
《2.3.1雙曲線及其標準方程》教學設計
——zxf
一、教學目標
1.知識與技能
理解雙曲線的概念，掌握雙曲線的定義，會用雙曲線的定**決問題；了解雙曲線標準方程的推導過程及化簡無理方程的常用方法．
2．過程與方法
通過定義及標準方程的挖掘與**，使學生進一步體驗模擬、數形結合等思想方法的運用，提高學生的觀察與**能力．
3．情感、態度與價值觀
通過教師指導下學生的交流探索活動，激發學生的學習興趣，培養學生用聯絡的觀點認識問題．
二、重點難點
重點：理解和掌握雙曲線的定義及其標準方程．
難點：雙曲線標準方程的推導．
三、教學方法
**法，自主練習
四、教學過程
（一）**雙曲線的軌跡形成
1．我們知道，與兩個定點距離的和為非零常數(大於兩定點間的距離)的點的軌跡是橢圓，（利用幾何畫板，演示橢圓的形成）那麼與兩定點距離的差（小於兩定點的距離之差）為非零常數的點的軌跡是什麼？
如圖，固定的兩個點f1，f2，動點m到點f1，f2的距離mf1與mf2之差為非零常數，動點m形成的軌跡是什麼？（幾何畫板演示，這樣的動點m形成的軌跡，是雙曲線。）
2．若定義中的常數大於或等於|f1f2|時，軌跡是什麼？
【提示】 當常數等於|f1f2|時，軌跡為以f1，f2為端點，在直線f1f2上反向的兩條射線f1a，f2b(包括端點)，如圖所示．
當常數大於|f1f2|時，軌跡不存在．
雙曲線的定義：把平面內與兩個定點f1，f2的距離的差的絕對值等於常數(小於|f1f2|)的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
這裡主要是和橢圓進行模擬教學，通過橢圓向雙曲線過度，也就是模擬橢圓的形成，學生自由**雙曲線的形成。
（二）**雙曲線的標準方程（推導）
模擬橢圓標準方程的建立過程，你能說說怎樣選擇座標系，建立雙曲線的標準方程嗎？
【提示】 以經過兩焦點f1、f2的直線為x軸，線段f1f2的垂直平分線為y軸建座標系．
這裡主要也是和橢圓進行模擬教學，回憶橢圓的標準方程是怎樣推導的，自己嘗試推導出雙曲線的標準方程。這裡也涉及了很重要的數學方法，通過繁瑣的計算過程，最後推導公式，培養學生的嚴謹思維和分類討論的思想。
（三）雙曲線的標準方程應用
例1 求適合下列條件的雙曲線的標準方程．
(1)a＝4，且經過點a(1，)；
(2)經過點p1(－2， )和p2(，4)兩點．
【思路**】 (1)所求曲線的焦點位置確定嗎？(2)如何求出a2、b2的值？
【解答】 (1)①若所求雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)，
則將a＝4代入，得－＝1. 又∵點a(1，)在雙曲線上，
∴－＝1.由此得b2＜0， ∴不合題意，捨去．
②若所求雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則將a＝4代入得－＝1，
代入點a(1，)，得b2＝9， ∴雙曲線的標準方程為－＝1.
(2)法一當雙曲線的焦點在x軸上時，設雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)．
∵p1、p2在雙曲線上，
∴，解得(不合，捨去)．
當雙曲線的焦點在y軸上時，
設雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)．又∵p1、p2在雙曲線上，
∴，解得，即a2＝9，b2＝16.
故所求雙曲線方程為－＝1.
法二因為雙曲線的焦點位置不確定，所以設曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因為p1、p2在雙曲線上，
所以有， 解得.
所求雙曲線方程為－＋＝1，即－＝1.
【總結】
1．求雙曲線標準方程的兩個關注點：
(1)定位：是指確定與座標系的相對位置，在標準方程的前提下，確定焦點位於哪條座標軸上，以確定方程的形式．
(2)定量：是指確定a2、b2的數值，常由條件列方程求解．
2．若焦點的位置不明確，應注意分類討論，也可以設雙曲線方程為mx2＋ny2＝1的形式，為簡單起見，常標明條件mn＜0.
【練習】求適合下列條件的雙曲線的標準方程．
(1)乙個焦點是(0，－6)，經過點a(－5,6)；
(2)a＝5，c＝7.
【解】 (1)由已知c＝6，且焦點在y軸上，另一焦點為(0,6)．
由雙曲線定義
2a＝|－|＝8.
∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝20.
∴所求雙曲線的標準方程為－＝1.
(2)由已知a＝5，c＝7，∴b2＝c2－a2＝24，焦點不確定
∴所求雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1.
（四）課堂小結：
1．理解雙曲線定義應注意以下三點：①定義中的動點與定點在同一平面內；②距離的差要加絕對值，否則只表示雙曲線的一支；③距離差的絕對值必須小於焦距，否則不是雙曲線，而是兩條射線或無軌跡．
2．利用待定係數法可以求雙曲線的標準方程，求解步驟包括「定位」與「定量 」兩步.
（五）課堂練習
1．動點p到點m(1,0)，n(－1,0)的距離之差的絕對值為2，則點p的軌跡是( )
a．雙曲線b．雙曲線的一支
c．兩條射線 d．一條射線
【解析】 ∵||pm|－|pn||＝2＝|mn|，∴點p的軌跡是兩條射線．
【答案】 c
2．(2013·徐州高二檢測)雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的右焦點座標為( )
a．(，0) b．(，0)
c．(，0) d．(，0)
【解析】 將雙曲線方程化為標準形式x2－＝1，
所以a2＝1，b2＝，∴c＝＝，
∴右焦點座標為(，0)．
【答案】 c
3．滿足條件a＝2，乙個焦點為(4,0)的雙曲線的標準方程為( )
a.－＝1 b.－＝1
c.－＝1 d.－＝1
【解析】 由a＝2，c＝4，得b2＝c2－a2＝12，又一焦點(4,0)在x軸上，
∴雙曲線的標準方程為－＝1.
【答案】 a
4．已知雙曲線－＝1的左支上一點m到其左焦點f1的距離為10，求點m到該曲線左焦點f2的距離．
【解】 由－＝1得a＝4，∵點m在雙曲線的左支上
∴|mf2|＞|mf1|，∴|mf2|－|mf1|＝2a＝8，
又∵|mf1|＝10，∴|mf2|＝18.
（六）教學反思
這節課的主要目的是理解和掌握雙曲線的定義及其標準方程，難點是完成雙曲線標準方程的推導。整個流程是，先模擬橢圓的形成，**出雙曲線的形成軌跡以及標準方程，這是重點。其次，是對雙曲線的標準方程進行簡單應用。
本節課較好的地方體現在：1、恰當的教學方法，突出教學內容中主要的、本質的東西；將課堂的具體任務與整個教學任務合理地結合起來；選擇最合理的教學方法和手段。結合本節課的具體內容，確立啟發**式教學、互動式教學法進行教學這兩種教學方法，體現了認知心理學的基本理論。
2. 課堂上以學生為學習的主體，課堂以學生的自主**為主，課堂上為學生的主動參與提供充分的時間和空間，讓不同程度的學生勇於發表自己的各種觀點（無論對錯），凡是學生能夠自己學習的、觀察的、講的（口頭表達）、思考**的、合作交流的、動手操作的，盡量都放手讓給學生去做、去活動、去完成。3、鼓勵性評價，對學生每個過程中的表現給予幾時的、鼓勵性的評價。
對出現問題的學生，教師指出其可取之處並耐心引導，這樣有助於培養他們勇於面對挫折，持之以恆地科學探索精神；當學生做得精彩有創新，教師給予學生充分的鼓勵，使得本節課學生在學習過程中興趣濃厚,學得積極主動，課堂氣氛比較活躍。
本次課的不足之處：
1．本節課的知識量比較大，而且大部分是對雙曲線的軌跡形成和標準方程的建立，這內容除了培養學生的推導和計算能力外，實際應用並不大。而且在接下來的課堂上發現一部分學生由於課前預習的工作不夠落實，導致課堂上簡單的複習效果不好，從而影響到學生在第二個過程的例題講解中反映出的思維比較的緩慢及無法進行有效的思考的問題。
2．從課堂的效果來看，這節課，前面的大部分時間，學生都用於熟悉雙曲線的由來，對雙曲線的實際應用偏少。練習過程中，發現學生對運算的熟練還不夠，他們總是擔心會出問題，特別是解方程題缺乏化簡的能力。
3. 教學方法上還可以改進，本節課的乙個重要數學思想方法是模擬，雖然有提到，但仍應強調並提出更多問題讓學生思考，或者讓學生自主提出問題並解決問題。
2 3 1雙曲線及其標準方程導學案
2.3.1 雙曲線及其標準方程 導學案 學習目標 1 使學生掌握雙曲線的定義和標準方程，以及標準方程的推導 2 在與橢圓的模擬中獲得雙曲線的知識，從而培養學生分析 歸納 推理等能力 3 會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的應用問題 學習重難點 重點 理解雙曲線的定義 會根據已知條件求雙曲線的標準方...
2 3 1雙曲線的標準方程 1
2.3.1雙曲線的標準方程 1 9.16 備課人 徐衛萍審核人 姜利娟 教學目標 了解雙曲線的標準方程，能根據已知條件求雙曲線的標準方程。教學重 難點 能運用雙曲線的標準方程處理簡單實際問題。教學過程 一 複習橢圓的定義。二 新課講解 三 例題講解 例1 已知雙曲線的兩個焦點分別為，雙曲線上一點到的...
2 3 1雙曲線及其標準方程問題導讀 評價單
2.3.1 雙曲線及其標準方程 問題導讀 評價單 高二年級數學組設計人 單慧潔審核人 李芳芬 王靜巧 班級組名姓名時間 年月日 學習目標 1.掌握雙曲線的定義及其標準方程 2.會根據已知條件求雙曲線的標準方程。重點難點 重點 雙曲線的定義及其標準方程 難點 雙曲線的標準方程推導問題。預習評價 問題1...