橢圓及其標準方程教學設計 1

2021-07-11 15:23:59 字數 4668 閱讀 3803

胥娟一、教材及學情分析

1.《橢圓及其標準方程》是高中數學選修1-1(人教版)2.1.1中的內容,分三課時完成.

第一課時講解橢圓的定義及其標準方程;第二課時講解運用橢圓的定義及其標準方程解題,鞏固求曲線方程的兩種基本方法,即待定係數法、定義法;第三課時講解運用中間變數法求動點軌跡方程的基本思路。 本節是第一課時.

2.本節內容是繼學生學習了直線和圓的方程,對曲線的方程的概念有了一定了解,對用座標法研究幾何問題有了初步認識的基礎上,進一步學習用座標法學習曲線。 橢圓的學習可以為後面學習雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎. 因此這節課有承前啟後的作用,是本章和本節的重點內容之一。

3.運用多**形象地給出橢圓,通過讓學生自已動手作圖,「定性」地畫出橢圓,再通過座標法「定量」地描述橢圓,使之從感性到理性抽象概括,形式概念,推出方程。

二、教學目標分析

1. 知識與技能目標:

掌握橢圓的定義和標準方程;明確焦點、焦距的概念;理解橢圓標準方程的推導。

2. 過程與方法目標:

通過讓學生積極參與、親身經歷橢圓定義和標準方程的獲得過程;體驗座標法在處理幾何問題中的優越性,從而進一步掌握求曲線方程的方法和數形結合的思想,提高運用座標法解決幾何問題的能力及運算能力。

3. 情感態度與價值觀目標:

通過主動**、合作學習,相互交流,感受探索的樂趣與成功的喜悅,養成實事求是的科學態度和契而不捨的鑽研精神。

三、學習者特徵分析

1.在此之前,學生已學過座標法解決幾何問題,學過圓的定義與標準方程,但掌握不夠,

2.從研究圓到研究橢圓,跨度較大,學生思維上存在障礙.

3.在求橢圓標準方程時,會遇到比較複雜的根式化簡問題,而這些在目前初中代數中都沒有詳細介紹,初中代數不能完全滿足學習本節的需要。

4.該班學生是高二文科生,數學基礎整體較差。

5.經過近一學期的引導、鼓勵,學生學習數學的積極性較高。

點評:對學習者知識基礎、運算能力、學習興趣和認知特徵分析較到位,能和相應的教學方法激發學生的興趣、鍛鍊提高運算能力和學生學習過程的積極性。

四、教學策略選擇與設計

1、教法設計:採用啟發式教學,在課堂教學中堅持以教師為主導,學生為主體,思維訓練為主線,能力培養為主攻的原則。

2、學法設計:自主**,合作交流

要求學生動手實驗,自主**,合作交流,抽象出橢圓定義,並用座標法**橢圓的標準方程,使學生的學習過程成為在教師引導下的「再創造」過程。

3、教學手段:多**輔助教學.

通過動態演示,有利於引起學生的學習興趣,激發學生的學習熱情,增大知識資訊的容量,使內容充實、形象、直觀,提高教學效率和教學質量.

點評:本節課的引入採用神州7號圍繞地球旋轉的壯觀**,一下子就把學生的注意力吸引住了,在創設情境,引發動機方面起到很好的效果。

五、教學資源與工具設計

1.多**教室

2.每個學生準備一段細線、兩枚大頭針或圖釘

3.上網搜尋有關神舟系列火箭執行軌跡圖

五、教學程式

(一) 創設情景,提出課題

ppt**(神舟

[問一] 「神舟7號」圍繞地球執行軌跡是什麼圖形?

(二) 自主**,形成概念

[問二] 動點按照某種規律運動形成的軌跡叫曲線,那麼橢圓是滿足什麼條件的軌跡呢?

教師引導:要想知道橢圓是滿足什麼條件的點的軌跡,首先要知道橢圓的畫法。於是讓學生拿出課前準備好的一塊紙板,一段細繩,兩枚圖釘,按課本上介紹的方法,同桌間相互磋商、動手繪圖,教師巡視,並抽已完成的兩位同學在黑板上用準備好的工具演示,使學生嘗試到成功的喜悅.。

教師進一步啟發引導學生討論,得出「到兩個定點的距離的和等於常數的點的軌跡是橢圓」

[思考]

1. 在紙板上作圖說明了什麼?

2. 在繩長 (設為 2 a )不變的條件下,

(1)當兩個圖釘重合在一點時,畫出的圖形是什麼?

(2)改變兩個圖釘之間的距離,畫出的圖形是什麼?

(3)當兩個圖釘之間的距離等於繩長時,畫出的圖形是什麼?

(4)當兩圖釘固定,能使繩長小於兩圖釘之間的距離嗎?能畫出圖形嗎

3.學生自己概括橢圓定義.

定義平面內與兩個定點f1 、f2 的距離的和等於常數(大於 |f1 f2 | )的點的軌跡叫做橢圓,這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。

在歸納定義時,再次強調定義要滿足三個條件:①平面內(這是大前提);②任意一點到兩個定點的距離的和等於常數;③常數大於 |f1 f2 |.

(三) 師生互動,匯出方程

給出橢圓的定義後,教師即可指出:由橢圓定義,知道了它的基本幾何特徵,這只是一種「定性」的描述,但是對於這種曲線還具有哪些性質,尚需進一步研究. 根據解析幾何的基本思想方法,我們需要利用座標法先建立橢圓的方程「定量」的描述,然後通過對橢圓的方程的討論,來研究其幾何性質.

[問三]

1. 求曲線方程的一般步驟是什麼?

2. 建立座標系的一般原則有哪些?

學生圍繞以上問題思考,討論可得:求曲線方程的一般步驟——建系、設點、寫出點集、列出方程、化簡方程、證明(可省略). 建系的一般原則為:

使已知點的座標和曲線的方程盡可能簡單,即原點取在定點或定線段的中點,座標軸取在定直線上或圖形的對稱軸上,充分利用圖形的對稱性.

[問四] 怎樣建立座標系,才能使求出的橢圓方程最為簡單?

通過前面知識的回憶,學生思考、相互交流,很容易選定下列建立座標系的方案.

1. 建系:以兩定點f1 、f2 的

連線為 x 軸,以線段 f1 f2 的垂直平分線為y軸,建立座標系,如圖1

2. 設點:

設m ( x , y ) 為橢圓上任意一點,| f1 f2 | = 2 c (c>0) ,則有f1(-c, 0)、f2 (c ,0). 又設 m與f1 和f2 的距離的和等於常數 2 a ( a > 0 ) .

3、列出方程

到此為止,學生以為橢圓的方程已求出,此時教師可以指出:為了更進一步利用方程**橢圓的其他性質需要盡量簡化方程形式,使數量關係更加明朗化.

4. 化簡方程:學生對含有兩個根式之和的等式進行化簡有一定困難,採用以下方法突破難點:

首先讓學生明確,含根號的等式化簡的目的就是要去掉根號,變無理式為有理式;啟發學生,化簡含兩個根式之和的等式,只要將兩個根式分別放在等號兩邊,其中一邊只含乙個根式,平方一次後即可轉化為只含乙個根式的化簡問題.

教師引導學生化簡,得到 (a 2 - c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 - c 2 ) . 指出:此方程形式還不夠簡捷,還有變形的必要再簡化。

先簡化a2-c2,∵a>c,∴a2-c2>0,令a2-c2=b2,則方程化為b2x2+a2y2=a2b2,聯想到直線截距式方程,兩邊同除以a2b2得, (a>b>0)

指出:方程(a>b>0)叫做橢圓的標準方程,此時,橢圓的焦點在x軸上,f1(-c,0)

f2(c,0),這裡,c2=a2-b2

[問五] 如果焦點f1 、f2 在 y 軸上,並且

點o 與線段f1 f2 的中點重合,a、b、c 的意義同上,橢圓的方程形式又如何呢?

學生互相討論,交流,合情猜想,動手驗證可得

(a>b>0)

指出:(a>b>0)叫做橢圓的標準方程,此時,橢圓的焦點在y軸上,f1(0,-c),f2(0,c),這裡,c2=a2-b2

為了加深對橢圓的兩種標準方程的理解, 比較橢圓的兩種標準方程,填表. (學生討論回答,教師板書)

(四) 初步運用,強化理解

例題 1. 判定下列橢圓的焦點在哪個軸上,並指明 a2,b2 和焦點座標.

(12)

2.橢圓2x2-3y2=1焦點座標為

3.橢圓的焦距是 ,焦點座標為若ab是過下焦點f1的弦,則△f1ab的周長是

圖3(五) 自我評價,反饋調節

1.橢圓上一點p到焦點f1的距離等於6,則點p到另乙個焦點f2的距離是

2.動點p到定點f1(-5,0),f2(5,0)的距離的和是10,則動點p的軌跡為( )

(a)橢圓 (b) 線段f1f2 (c) 直線f1f2 (d)不能確定

3.簡化方程:

4.橢圓mx2+ny2=-mn (m(學生分組比賽,每組抽2位同學的作業用幻燈演示,教師訂正。

(六) 知識整理,形成系統(由學生歸納,教師完善)

1. 橢圓的定義(注意定義中的三個條件)

2. 橢圓的標準方程(注意焦點的位置與方程形式的關係)

3. 解析幾何的基本思想

(七)布置作業,鞏固提高(學有餘力的學生全做,其餘學生不做**題)

1. 課本習題 p36練習第 1 、2、3題

2. 課後**題:將推導橢圓方程過程中得到的方程a2-cx=a變形為後觀察式子的幾何意義,提出合理猜想。

點評:從「神舟7號」圍繞地球執行軌跡入題,層層提問,師生互動,重視對學生思維過程的引導和啟發,問題設定循序漸進,順其自然,教學過程體現先行組織者的作用。講練結合,注重過程性的教學評價,教學過程能激發學生的學習積極性,能調動學生突破教學重難點。

五、課後反思

本節課圍繞「層層設問自主探索發現規律歸納總結」這一主線展開,對教材內容進行優化組合,在教學過程中,學生通過****,動手實踐,自己總結出橢圓定義,符合從感性上公升為理性的認知規律,而且提公升了抽象概括的能力. 同時在進行推導橢圓的標準方程的過程中,提高了利用座標法解決幾何問題的能力及運算能力. 在整節課中,教師作為引導者,利用「神舟7號」圍繞地球執行軌跡的演示,激發學生學習數學的興趣,鼓勵學生大膽探索 ,勇於創新,提高學生參與數學活動的興趣和積極性,同時設定了不同層次的知識面,以適應不同學生的認知過程.

增強了學生的自信心,基本體現了新課標中讓學生自主學習的教學理念.

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