教學目標：（1）掌握橢圓定義和標準方程；
（2）通過橢圓定義的歸納和標準方程的推導，培養學生發現規律、認識規律並利用規律解決實際問題的能力；
（3）在橢圓定義的獲得和其標準方程的推導過程中進一步滲透數形結合等數學思想和方法
教學重點：橢圓定義的歸納及其標準方程的推導。
教學難點:橢圓標準方程的推導以及橢圓方程的應用
教材分析：本節課是圓錐曲線的第一課時。它是在學生學習了直線和圓的方程的基礎上，進一步學習用座標法研究曲線。
橢圓的學習為後面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎。因此這節課有承前啟後的作用，是本章和本節的重點內容；橢圓的標準方程推導過程中，化簡兩個根式的方程的方法特殊，難度較大，學生初次遇到。
教學過程
一、新課引入
2023年9月15日，中國的航天史又被翻開了新的一頁，我國自主研製的天宮二號公升上太空，在太空中探索宇宙的奧秘。這一事件，再一次向世界表明，我們中國人有信心、有能力攀登乙個又乙個科學高峰。「天宮二號」公升空後，準確的進入預定軌道，它執行中期的軌道是乙個橢圓。
在宇宙中還有許多天體的執行軌道也是橢圓，生活中也有許多橢圓形的實際例子。由此看來，若要探索浩瀚宇宙的奧秘，解決日常生活中與橢圓有關的一些實際問題，需要對橢圓這一圖形進行研究。今天我們就來研究什麼是橢圓及橢圓的標準方程。
那麼什麼是橢圓呢？
二、新課講解
（一）認識橢圓，問題引出:
1、對橢圓的感性認識，通過演示課前老師和學生共同準備的有關橢圓的實物和**，讓學生從感性上認識橢圓.（天體執行軌道；平面截圓錐等**）
2、對比圓的定義：平面內與定點的距離等於定長的點的集合。
如果將圓的定義中的「定點」改為「兩定點」，「距離」改為「距離的和」，那麼平面內到兩定點的距離的和等於定長的點的集合（軌跡）是什麼圖形？
（二）動手實驗，親身體驗
指導學生互相合作（主要在於動手），體驗畫橢圓的過程（課前準備直尺、細繩、釘子、筆、紙板），並以此了解橢圓上的點的特徵.
請三名同學上台畫在黑板上.
先在畫板上點兩點f1、f2，取一定長的細繩，把它的兩端固定在畫板上的f1、f2兩點處。
【演示一】當繩長等於| f1 f2|時，使筆尖貼緊繩子慢慢移動。
（1）觀察：筆尖的軌跡是乙個什麼圖形？ 一條線段
（2）這條線段上的每乙個點到f1 、f2兩點的距離和都相等嗎？ 相等，而且都等於這條繩長
【演示二】當繩子長大於| f1 f2|時，用筆尖把繩子拉緊，繩子盡量貼緊畫板，使筆尖在畫板上慢慢移動（學生親手畫），就可以在平面內畫出乙個橢圓（動畫演示）
（三）歸納定義
【引導】根據畫圖的過程，請同學們思考橢圓上的點有什麼共同特徵？
提問：（1）在畫圖的過程中，繩長變了嗎？沒有
（2）在畫圖過程中，繩子始終是緊繃的，那麼我們畫出的曲線上的點到f1、f2兩點的距離之和始終滿足什麼關係？與繩長相等.
繩長沒有發生變化，這說明橢圓上每一點到f1、f2兩點的距離的和都相等，且都是繩長這一定值。這就說明，橢圓上的點除了要滿足到兩定點f1、f2的距離和相等之外，這個距離和還要比|f1 f2|大。
請大家回想剛才的畫圖過程，使筆尖貼緊繩子且貼緊黑板（表明在同一平面內），又保證繩長大於|f1 f2|，這樣就在平面內畫出了橢圓，所有具有這些特徵的點集在一起就形成了橢圓。
引導學生歸納出橢圓的定義。
橢圓定義：平面內與兩個定點的距離的和等於常數（大於）的點的軌跡叫做橢圓。
鞏固練習：
平面內有兩定點a、b，它們之間的距離為6 cm .
（1）若動點p與a、b兩點的距離和是定值，且大於 （填大於、等於或小於）6 cm ，則它的軌跡是橢圓，定點a和b是橢圓的焦點。它們之間的距離就是橢圓的焦距。
（2）若動點p與a、b兩點的距離的和等於6cm,則它的軌跡是線段ab 。
（3）若動點p與a、b兩點的距離的和小於6cm，則動點軌跡不存在 。
（四）合理建系，推導方程
為了進一步研究橢圓的特徵，現在我們一起來推導橢圓的曲線方程:上一節我們知道了求曲線方程第一步，建立適當的座標系，用有序實數對（x,y）表示曲線上任意一點m的座標。在這兒「適當」二字應如何體現？
由學生自主提出建立座標系的不同方法，教師根據學生提出的「建系」方式，把學生分成若干組，分別按不同的建系的方法推導方程，進行比較，從中選擇比較簡潔優美的形式確定為標準方程.
已知橢圓的焦距，橢圓上的動點到兩定點,的距離之和為，求橢圓的方程.
如圖1，以兩個定點,所在直線為軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角座標系．設，點為橢圓上任意一點，則（稱此式為幾何條件）
所以得（實現集合條件代數化）
為化簡這個方程，將左邊的乙個根式移到右邊，得
將這個方程兩邊平方，得（x+c）2+y2 = 4a2 －4a，
整理得上式兩邊再平方，得,
整理得注：這是本節的難點所在，通過課堂精心設問來突破難點：
1.化簡含有根號的式子時，我們通常用什麼方法？
2.對於本式是直接平方好呢還是恰當整理後再平方？
由於化簡兩個根式的方程的方法特殊，難度較大，估計學生容易想到直接平方，這時可讓學生**這樣化簡的難度，從而確定移項平方可以簡化計算。為此，我首先啟發學生如何去掉根號較好，讓學生動手比較，最後得出移項平方化簡方程比較簡單，這樣有利於培養學生的分析比較能力。
方程結構較複雜，不便記憶，還可以繼續化簡嗎？
由橢圓的定義可知，2a＞2c,即a＞c,所以＞0，兩邊同除以，得.
因為＞0不妨令，那麼所得的橢圓方程可化為：， （1）
我們稱方程（1）為橢圓的標準方程.它的焦點在軸上。
注：這裡引入正數b（令b2=a2-c2）,其目的是使方程形式簡單、和諧，講究對稱美，便於記憶。同時b具有特定的幾何意義，我們將在下一小節繼續學習。
對標準方程的理解：
所謂橢圓標準方程，一定指的是焦點在座標軸上，且兩焦點的中點為座標原點。
問題：如果焦點,在y軸上，且,的座標分別為：（0，-c）,(0,c), a ,b意義同上，那麼橢圓的方程是什麼呢？
可讓學生先猜想結論：（a＞b＞0），並說明理由。
讓學生通過對進行觀察，與前面對比。
實際上只要將前面的軸與y軸互換，就可得到焦點在y軸的橢圓的標準方程：
， （2）
兩種標準方程特點的比較：
1.兩個方程中都有：a2＝b2+c2，a>b>0, a>c>0,b與c大小不定。
2.兩個方程焦點位置的確定：哪個分式的分母大，焦點就在哪個軸上。
（五）應用舉例，小結昇華.
例1、已知橢圓的兩個焦點分別是（-2，0），（2，0），並經過點，求它的標準方程。
分析：法一：可由橢圓的定義先求出2a,又已知c,故可求出方程。
法二：由焦點座標知道a , b的關係，再將已知點代入橢圓方程。
解法一、橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為（a＞b＞0）.
由橢圓的定義知2a =,
所以a = 又因為c = 2 ，所以b2 = a2 – c2 = 10 – 4 = 6 .
因此，所求橢圓的標準方程為
解法二：因為c = 2 ,所以 a2 = b2 + 4 所以可設橢圓方程為：
把點（代入，可解得b2 = 6 .所以a2 = 10.
因此，所求標準方程為.
鞏固練習：
1．如果橢圓上一點p到焦點的距離等於6，那麼點p到另乙個焦點的距離是14 。
2.寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）a = 4 ,b = 1 ,焦點在x軸上
（2）a = 4 ,c = ,焦點在y軸上
(3)a + b = 10 , c = 2或
例2、如果表示焦點在軸上的橢圓，那麼實數的取值範圍是
解：由，又，∴實數的取值範圍是：。
例3、已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓於兩點，若，
則解：。
例4、橢圓上一點與橢圓的兩個焦點的連線互相垂直，則的面積為
解：由；
∴。由此給出焦點三角形面積公式
課堂小結：
由學生總結本節課所學習到的知識和思想方法，教師根據學生的總結做適當補充、歸納、點評：
1．知識總結：橢圓的定義，橢圓的標準方程 。
2．思想方法總結：分類討論，待定係數法，數形結合。
課外作業：習題2.2 第1、2題
板書設計
橢圓及其標準方程
申潛 貴州省開陽縣楠木渡鎮中學 550307 一 教學背景分析 高中數學新課標倡導自主探索，動手實踐 合作交流 自主學習等學習的方式，要設立 數學探索 學習活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程。本節課的設計力圖體現 教師為主導,學生為主體 的教學思想。在教學過程中始終本著 教師是課堂教學的組織者 引...
橢圓及其標準方程
本節課前面研究了曲線與方程的對應關係，介紹了座標法和解析幾何的基本思想，以及解析幾何的基本問題，即曲線的已知條件求曲線方程 通過方程研究曲線的性質。本節研究通過求橢圓的標準方程，使學生掌握推導出這一類軌跡方程的一般規律和化簡的常用的方法。教材是以橢圓為例，詳細的說明在解析幾何中怎樣利用方程研究曲線的...
橢圓及其標準方程
教學目標 一 知識目標 掌握橢圓的定義及其標準方程，能正確推導橢圓的標準方程 二 能力目標 培養學生的動手能力 合作學習能力和運用所學知識解決實際問題的能力 培養學生運用模擬 分類討論 數形結合思想解決問題的能力 三 情感目標 激發學生學習數學的興趣 提高學生的審美情趣 培養學生勇於探索，敢於創新的...