申潛（貴州省開陽縣楠木渡鎮中學 550307）
一、教學背景分析
高中數學新課標倡導自主探索，動手實踐、合作交流、自主學習等學習的方式，要設立「數學探索」學習活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程。本節課的設計力圖體現「教師為主導,學生為主體」的教學思想。 在教學過程中始終本著「教師是課堂教學的組織者、引導者、合作者」的原則，讓學生通過實驗、觀察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等過程建構新知識，並初步學會從數學的角度去觀察事物和思考問題，激發學生對數學產生學習的濃厚興趣。
在「橢圓的標準方程」的引入與推導中，遵循學生的認識規律，運用「實驗——推導——應用」的思想方法，逐步由感性到理性地認識，揭示知識的發生、發展過程；遵循現代教育理論中的「要把學生學習知識當作認識事物的過程來進行教學」的觀點。數學學習的核心是思考，離開思考就沒有真正的數學。針對這節課的內容：
教師提問；學生操作、觀察、思考、討論；教師再演示、點評、板書，最大限度地調動學生積極參與教學活動。在教學重難點處適當放慢節奏，給學生充分的時間與空間進行思考與討論，教師適時給予適當的思維點撥，必要時可進行大面積提問，讓學生做課堂的主人，充分發表自己的觀點，交流、匯集思想。這樣既有利於化解難點、突出重點，也有利於充分發揮學生的主體作用，使課堂氣氛更加活躍，讓學生在生生互動、師生互動中掌握知識，提高解決問題的能力。
二、 教材內容分析
本節課是《橢圓及其標準方程》是全日制新人教版普通高階中學教科書（選修）數學選修2-1冊第二章《圓錐曲線》第二節第一課時內容。作為圓錐曲線的第一課時。它是在學生學習了圓及其方程，以及曲線與方程的基礎上，進一步學習用座標法研究曲線的內容。
橢圓的學習為後面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎。從知識結構來看，學生通過直線與圓的方程的學習，對曲線與方程的概念有一定的基礎，對解析幾何的研究方法並不生疏。從學習能力上分析，通過一年半的學習實踐，學生掌握了一定的研究問題的經驗以及思考問題的方向，具有一定的能夠提出問題，分析問題，解決問題的基本能力。
從學習心理上分析，學生已經在生活中掌握了一些橢圓圖形，只是沒有上公升到「概念」層面。如何從數學的角度給橢圓以「定量」的描述正是本節課要解決的問題。本節課內容蘊含著數形結合，化歸思想等重要的數學思想方法，在教學過程中應重視並體現這些數學思想方法。
三、學生學習情況分析
我所任教2010屆的學生是初中開始「課程改革」後的畢業生，他們在初中三年的學習中，接受的是「新課改」的理念，學習的是「新課標」下的課程、教材，由於貴州省高中「課改」從2023年秋季才全面推行，因此如今他們面對的高中教材是新教材。與以往的學生比較，這屆學生的優點是：參與課堂教學活動的積極性更強，思維敏捷，敢於在課堂上發表與眾不同的見解，但計算能力較差，對概念理解能力較弱，使用數學語言的表達能力也略顯得不足。
四、 教學目標分析
1．知識與技能目標：
①通過橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養學生探索能力，增強學生運用座標法解決幾何問題的能力，激發學生對數學產生興趣。
②掌握橢圓的定義，標準方程。會用橢圓的定義，標準方程解決簡單問題。
③理解橢圓標準方程的推導及化簡無理方程的常用方法，在化簡橢圓方程的過程中提高學生的運算能力。
2．過程與方法目標：
①通過觀察神舟七号公升空執行和著陸的全過程的**以及觀察行星執行軌跡**，利用幾何畫板動畫橢圓的實驗，獲得橢圓形成的感性知識。
②經歷橢圓概念的產生過程，學習從具體例項中提煉數學概念的方法，由形象到抽象，從具體到一般，掌握數學概念的數學本質，提高學生的歸納概括能力。
③對學生進行數學思想方法滲透，培養學生具有利用數學思想方法分析和解決問題的意識。推導橢圓標準方程時，利用計算機直觀形象的特點，掃除學生在引數a,b引入，焦點在y軸上標準方程理解上的障礙。
④採用互動**教學，學生分組討論，教師啟發討論的形式，加強師生，生生之間的交流，拓展思路。
3．情感態度價值觀目標：
①充分發揮學生在學習中的主體地位，引導學生觀察、思考、合作、**、歸納、交流、反思，促進形成研究氛圍和合作意識。
②重視知識的形成過程教學，讓學生知其然並知其所以然，通過學習新知識體會到前人探索的艱辛過程與創新的樂趣。
③通過師生，生生之間的合作交流，增強學生團隊協作能力的培養，增強主動與他人合作交流的意識。通過經歷橢圓方程的化簡,增強學生戰勝困難的意志品質並體會數學的簡潔美、對稱美。
④通過神舟七号的引入對學生進行愛國主義教育，增強民族自豪感，體現科學的偉大。
五、重、難點分析
1、重點：理解橢圓的定義、掌握橢圓的標準方程、理解座標法的基本思想。
2、難點：橢圓標準方程的推導與化簡、座標法的應用。
六、教法與學法分析
1、教法設計：通過**的教學方法，充分利用觀察情景，盡可能的增加教學過程的趣味性，實踐性，利用多**課件和行星執行的實物模型等豐富學生的學習資源，利用幾何畫板生動活潑的展示圖形，強調學生動手操作試驗和主動參與。
2、教師是學生的學習的組織者，促進者，合作者，在本節課的備課和教學過程中，為學生的動手實踐，自主探索與合作交流的機會搭建平台，鼓勵學生提出自己的見解，學會提出問題，分析問題，解決問題，通過恰當方式的教學已達到學生學會自我創新，自我選擇。
3、教學手段：多**輔助教學。
4、教具準備：多**課件，幾何畫板。
七、教學過程說明
為了把教學目標落實到實處，把學生分組（四人一組）做實驗，討論，發表見解。學生通過看**認識橢圓圖形，通過畫橢圓，模擬歸納出本節課橢圓的形成的過程中；通過多**的演示，掃除學生理解上的障礙，完成橢圓的標準方程的推導；動畫演示，進一步激發學生興趣的**。
八、教學過程
1、知識回顧：圓的定義，求軌跡方程的一般思路、方法等（教師問）
2、創設情景：在北京時間2023年9月25日21時10分4秒988毫秒由長征2f火箭發射公升空。
請問：長征2f火箭繞什麼旋轉？執行的軌跡是什麼？（地球，橢圓）
過程1、放神州七号公升空執行著陸的全景**；
過程2、行星圍繞太陽執行的軌道；
過程3、利用幾何畫板演示飛船繞地球執行模擬圖。
學生思考：認真觀察圖形變化思考怎樣求橢圓軌跡方程。
點評：通過**激發學生的愛國熱情，調動學生好奇心，激發起學生學習本課的興趣。讓學生感受到數學**於實際生活用於實際之中。
小組合作，形成概念，利用幾何畫板動畫演示橢圓形成過程。同時顯示，當m運動時，,數值。可知在運動時，在改變，而得值卻始終不變。
3、新課
過程1、學生分組動手作橢圓的圖形；
過程2、教師提問讓學生思考：橢圓上的點具有什麼特點？滿足什麼關係？怎樣依據這些條件去求橢圓的標準方程。
結論1：橢圓上的點滿足；
過程3：實驗**
①保持繩長不變，改變兩個圖釘之間的距離，畫出的橢圓有什麼變化？
②繩長等於兩個定點之間的距離時作出的圖形是什麼？
③繩長小於兩個定點之間的距離時作出的圖形是否存在？
④兩定點重合時作出的圖形又是什麼？
結論2： m的軌跡是橢圓
m的軌跡是線段
m的軌跡不存在
m的軌跡是圓
思考：有橢圓畫圖**過程，嘗試給出它的定義？
過程4：完善橢圓的定義。
學生：獨立思考小組討論互為補充共同交流。
教師：啟發誘導點拔解釋激勵完善。
橢圓：平面內與兩定點f1、f2距離之和等於常數（大於）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。
演示課件：展示過程3實驗**的、、三種不同情形軌跡。在概括定義時，再次強調定義裡的常數大於。
設計意圖：由學生歸納概括橢圓的定義，使學生經歷概念生成和完善的完整過程，培養學生歸納概括的能力及嚴謹治學的學風。
過程5：橢圓標準方程的推導過程
學生動手列入關係式推導方程並分組討論化簡。
1、 回顧：求曲線方程的一般步驟：建系、設點、列式、化簡。
2、 如何建立座標系，使求出的方程更為簡單？
由各小組討論，請各小組組長匯報**結果。
建系：以直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角座標系．（這時，對於學生的正確思路，給予表揚）
設點：設為橢圓上任意一點，設焦距為，則，點與點的距離之和為．
列式，動點就是集合:
將上述集合座標化得：
化簡（師生共同完成）：化簡橢圓方程是本節課的難點，突破難點的方法是引導學生自己推導與化簡橢圓方程。過程如下：
引導學生分析的幾何含義，令
得到焦點在軸上的橢圓的標準方程為
思考：的大小關係如何？得出
教師指出：方程為（）叫做橢圓的標準方程，焦點在軸上，交掉座標
設計意圖：通過學生自己動手操作，培養他們動手能力，合作精神。通過推導建立數學模型，進一步熟悉直接法求軌跡方程的步驟，掌握含兩個根號等式的化簡處理方法，在輕鬆愉快的環境中獲得了知識。
3、對於焦點在y軸上橢圓的標準方程的處理
先讓學生猜想方程的形式，一般來說會有部分學生能說出正確答案，學生猜想後我再給出正確答案即：只需把焦點在x軸上的標準方程中的x、y的位置對換，得到焦點在軸上的橢圓的標準方程為。具體過程讓學生回去自己推導（作業）
設計意圖：讓學生學會合情推理，學會觀察、模擬。並體會由此帶來的簡單處理方法。
4、例題
例1、已知上任意一點，過作軸的垂線，為垂足，當在圓上運動時，線段的中點為的軌跡是什麼？為什麼？
設計意圖：教師給學生思考時間，學生思考獨立解決寫出完整的解題過程後教師板書解題過程。利用幾何畫板顯示影象，充分體現單圓畫橢圓的幾何意義。
例2、設的座標分別為，直線相較於點，且它們的斜率之積是，求點的軌跡方程？
設計意圖：教師給學生思考時間，運用所學知識解決問題，激發學生的興趣，使學生生動運用所學斜率知識解決問題。學生思考獨立解決寫出完整的解題過程後教師板書解題過程。
利用幾何畫板顯示影象，充分體現焦點弦畫橢圓的幾何意義。
5、練習
1）求適合下列條件的橢圓的標準方程
1）兩個焦點座標分別是（-4，0）、（4，0），橢圓上一點p到兩焦點距離的和等於10；
2）兩個焦點座標分別是（0，-2）、（0，2），並且橢圓經過點
（2）求動點的軌跡方程
已知b 、c是兩個定點，，且的周長等於16，求頂點的軌跡。
過程2：引導學生建立座標系，多種情況正確地給予肯定引導，尋求最簡單的建立座標系，利用多**顯示影象。
6、小結
1、橢圓的定義。
2、橢圓的兩個標準方程（注意焦點的位置與方程形式的關係）
7、作業
1、推導焦點在y軸上的橢圓的標準方程。
2、教材49頁第1題
8、板書設計：
九、教學反思：
本課將借助於「多**t課件」，利用兩個例題及其引申,通過層層深入的探索,培養學生思維的創造性、科學性,從而激發學生對數學產生興趣，使學生從學會乙個問題的求解到掌握一類問題的解決方法,利用數學工具.「多**課件和幾何畫板」的介入，使全體學生參與活動成為現實，使原來令人難以理解的抽象的數學理論變得形象，生動且通俗易懂，同時，運用先進輔助教學，打破了傳統教學模式的一支粉筆，一張黑板，老師是演講者，學生被動聽講的教學模式。大大地節省了板演的時間，從而給學生留出更多的時間操作、自練、自查，充分發揮學生的主體作用，這充分顯示出「多**課件」與**合作式教學理念的有機結合的教學優勢。
橢圓及其標準方程
本節課前面研究了曲線與方程的對應關係，介紹了座標法和解析幾何的基本思想，以及解析幾何的基本問題，即曲線的已知條件求曲線方程 通過方程研究曲線的性質。本節研究通過求橢圓的標準方程，使學生掌握推導出這一類軌跡方程的一般規律和化簡的常用的方法。教材是以橢圓為例，詳細的說明在解析幾何中怎樣利用方程研究曲線的...
橢圓及其標準方程
教學目標 一 知識目標 掌握橢圓的定義及其標準方程，能正確推導橢圓的標準方程 二 能力目標 培養學生的動手能力 合作學習能力和運用所學知識解決實際問題的能力 培養學生運用模擬 分類討論 數形結合思想解決問題的能力 三 情感目標 激發學生學習數學的興趣 提高學生的審美情趣 培養學生勇於探索，敢於創新的...
橢圓及其標準方程
橢圓知識點1 橢圓的定義 平面內與兩定點f1，f2距離的和等於常數的點的軌跡叫做橢圓，即點集m 這裡兩個定點f1，f2叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫橢圓的焦距2c。時為線段，無軌跡 2 標準方程 焦點在x軸上 a b 0 焦點f c，0 焦點在y軸上 a b 0 焦點f 0,c 注意 在兩種標準方程...