《橢圓及其標準方程》教學設計
一、教材分析
１．教材背景
《橢圓及其標準方程》是人教版選修2-1（a版）第二章《圓錐曲線與方程》2.2.1節的內容。
新課程標準將本節內容授課時間安排為兩個課時。本節作為第一課時，重在理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程，為後續學習奠定基礎。
２．本課的地位和作用
橢圓是「圓錐曲線」的重要組成部分，既是「圓」的延伸，又是今後學習雙曲線、拋物線的基礎，具有承上啟下的作用。同時，橢圓又是前一課題「曲線與方程」的深化，是進一步使用座標法研究曲線的經典素材，對學生深入了解解析幾何思想具有積極意義。
二、學情分析
知識上：已學習直線和圓的方程、曲線與方程，有一定知識基礎；
方法上：初步掌握了座標法，但仍存在推導障礙；
思維上：形象思維與抽象思維並存，且抽象思維佔主導；
能力上：發現、分析、概括、數學交流能力較強；
情感上：大部分學生好奇，喜表現，樂於**。
三、重難點分析
重點：橢圓定義及其標準方程。
難點：橢圓定義的歸納以及橢圓標準方程的推導。
突破難點的關鍵：在橢圓定義的歸納中，首先引導學生分析筆尖滿足的條件，從幾何意義層面對橢圓屬性進行概括，然後教師再利用幾何畫板加以直觀輔助概括。在橢圓標準方程的推導中，在根號的移項中，充分暴露思維的合理性；在方程的化簡過程中，努力追求方程形式的簡潔美以及參量所蘊含的幾何意義。
四、教學目標
１．知識與技能
理解橢圓的定義；理解橢圓標準方程及其推導過程；掌握求解橢圓標準方程的方法。
２．過程與方法
通過回顧、實驗、歸納、推導等活動，讓學生親身經歷橢圓定義和標準方程的獲得過程，進而培養學生分析、概括、推理以及合作交流能力，滲透模擬、數形結合、座標法、分類討論等數學思想方法。
3．情感態度與價值觀
通過本節課的學習，感受橢圓探索的樂趣，體會橢圓的簡潔美，體會數學的嚴謹及數與形的和諧統一。
五、教法與學法
根據對教材、重難點、目標及學生情況的分析，確定以下教法、學法：
教法：引導發現式教學法；
學法：主要滲透模擬、動手實驗、推理論證、反思總結等學習方法指導。
六、教學過程設計
1.回顧引言，引出課題
在本章開章引言中，我們知道圓錐曲線包括圓、橢圓、拋物線、雙曲線，同時通過數學史了解到圓錐曲線名稱的由來，而**的展示也讓我們認識到圓錐曲線在生活、生產、天文等方面具有重要應用。從今天起，我們將系統學習圓錐曲線的後三種，首先來學習橢圓。
提問：怎麼來學習橢圓？我們是怎麼學習圓的？
[設計意圖]：引導學生回顧圓的學習主要過程，模擬出橢圓學習的主要步驟，進而培養學生模擬學習策略，達到會學的目的。
2.動手畫圖，歸納定義
實驗操作：取一根定長的繩子，將繩子兩端移開一段距離，並分別固定在兩點上，套上筆後拉緊繩子，移動筆尖，畫出橢圓軌跡。（兩人一組合作）。
[設計意圖]：通過實驗操作，一方面增強學生對橢圓的直觀感知，為後面橢圓定義的歸納做好鋪墊；另一方面，可以培養學生的合作精神與動手操作能力。
提問：筆尖移動過程中，動點都滿足什麼條件？
先讓學生結合畫圖過程(如圖2.2-1(1)) ，從幾何意義角度進行分析；
教師再結合幾何畫板動態演示（如圖2.2-1（2）），從「數形結合」角度分析或確認。
[設計意圖]：學生基於手中所畫的橢圓進行觀察、分析、抽象，從幾何意義角度自主發現動點滿足的條件；而老師適時對運用幾何畫板的動態演示，可以進一步直觀地把上述抽象思維觀察直觀化，從而降低學生的認知負荷，提高教學效果。
得出定義：平面內與兩個定點，的距離的和等於常數（大於）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。
深度挖掘：兩定一動。
在此基礎上得出表示橢圓的集合：
3.觀察分析，建立方程
提問：求解曲線方程一般包括哪些步驟？
建系、設點、列式、化簡。
【步驟一】：建系
提問：觀察你手中橢圓的形狀，怎樣選擇座標系才能使橢圓的方程簡單？
[設計意圖]：引導學生在觀察橢圓形狀的基礎上，利用橢圓對稱性建立直角座標系，進一步培養學生建立直角座標系的能力。
【步驟二】：設點
設橢圓上動點，橢圓焦距為，那麼焦點，的座標分別為，，又設橢圓上任意一點到兩個焦點距離的和為，當然。
提示：這樣設的目的在於使焦點以及左右兩端點的座標不出現分式，以便匯出的橢圓方程形式簡單。
【步驟三】：列式
根據橢圓定義，橢圓集合為：
所以：……①
【步驟四】：化簡
重點突破：方程左邊有兩個開方根，如果直接兩邊平方，會導致次數較高，難以化簡。而如果把其中乙個根號移到方程右邊，再兩邊平方，化簡過程較為簡單。
化簡整理得：
提問：這個方程有什麼特點？還能進一步變式，使其形式更具簡潔美嗎？
可得：由橢圓定義可知，,所以，因此。
提問：還能進一步變式，使其形式更具簡潔美嗎？觀察圖2.2-3，你能從中找出表示、、的線段？
，故可令。
[設計意圖]：說明為什麼令，讓學生感受這一做法的合理性，這樣不僅使方程具有對稱美，而且具有明確的幾何意義。
最後整理可得：……②
說明：方程②即為橢圓的標準方程，其焦點在軸上，兩個焦點分別是，。
變式：如圖2.2-4所示，如果焦點，在軸上，且，的座標分別是，，，意義同上，那麼橢圓的方程是什麼？
引導學生分析，不難發現只要把方程中的，順序對調，就可以得到焦點在軸上的標準方程。
因此，橢圓標準方程有兩種形式
教師引導學生總結歸納：
①焦點在不同的數軸上，橢圓的標準方程形式不同，注意對號入座；
②在橢圓兩個標準方程中，都有。
③，，始終滿足關係式：。
[設計意圖]：一方面，培養學生反思總結良好習慣；另一方面，通過分析總結，全面理解橢圓的標準方程。
4.例題學習，初步應用
【例題】：已知橢圓的兩個焦點的座標分別是，，並且經過點，求它的標準方程。
分析：方法一：利用橢圓定義；
方法二：利用待定係數法。
[設計意圖]：學以致用，加深對橢圓定義及其標準方程的理解和掌握；一題多解，有助於學生靈活掌握求解橢圓標準方程的策略。
【變式練習】：已知中，長為，周長為，那麼頂點在怎樣的曲線上運動？
[設計意圖]：通過變式教學,培養學生分析問題、解決問題的能力；進一步加深學生對橢圓概念的理解；促使學生在分類討論的基礎上，靈活尋找並應用，，關係式取求解橢圓方程。
5.小結反思，整合強化
（1）通過本節課的學習，你學到了哪些知識？
（2）在推導橢圓標準方程過程中，你哪些學習體會？
（3）求解橢圓標準方程，需要注意哪些事項？有哪些方法？
[設計意圖]：引導學生從知識、技能、過程、方法、情感多方面進行反思總結，重新整理單一的知識小結作法；養育學生反思總結習慣，提公升學生數學學習元認知水平。
6.課後作業
必做題：課本第49頁組1 、2。
選做題： 已知圓及點，是圓的任意一點，線段的垂直平分線與相交與點，求的軌跡方程。
[設計意圖]：學以致用，鞏固提高。
附：板書設計
橢圓及其標準方程教學設計
青銅峽市高階中學 二 六年十月 課題橢圓及其標準方程 一學情分析 學生在必修 中學過圓錐曲線之一，圓。掌握了圓的定義及圓的標準方程的推導，學生可以用模擬的方法來研究中一種圓錐曲線橢圓。二 教學目標 知識技能 1 掌握隨圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程 2 能根據條件確定橢圓的標準方程...
橢圓及其標準方程教學設計
一 概述 1 橢圓及其標準方程 是高中數學選修2 1 人教版 2.2.1中的內容，分三課時完成.第一課時講解橢圓的定義及其標準方程 第二課時講解運用橢圓的定義及其標準方程解題，鞏固求曲線方程的兩種基本方法，即待定係數法 定義法 第三課時講解運用中間變數法求動點軌跡方程的基本思路。本節是第一課時.2 ...
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平山職教中心安志英 一學情分析 學生在基礎模組 下 中學過圓，握了圓的定義及圓的標準方程的推導，學生可以用模擬的方法來研究橢圓。二 教學目標 知識技能 1 掌握隨圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程 2 能根據條件確定橢圓的標準方程，掌握運用定義法，待定系統法求隨圓的標準方程。過程方法 ...