課題：雙曲線及其標準方程（一）
教學目標
1.掌握雙曲線定義、標準方程及其求法；
2.掌握焦點、焦距、焦點位置與方程關係；
3.認識雙曲線的變化規律.
教學重點雙曲線的定義及標準方程
教學難點雙曲線標準方程的推導
教學過程
1、設定情境
我們已經知道，與兩定點的距離的和為常數的點的軌跡是橢圓，那麼與兩定點的距離的差為非零常數的點的軌跡是怎樣的曲線呢？
（用雙曲線演示模板畫出雙曲線）下面我們給出雙曲線的定義，並研究雙曲線的方程.
2、探索研究
雙曲線的定義：
（1） 繪圖演示
（2） 分析原理
（3） 歸納定義（注意與橢圓比較）
我們把平面內與兩個定點f1、f2的距離的差的絕對值等於常數（小於的點的軌跡叫做雙曲線.
說明①常數小於 ；
②這兩個定點叫做雙曲線的焦點；
③這兩焦點的距離叫雙曲線的焦距.
雙曲線的標準方程：
（1）雙曲線的標準方程的推導
推導過程：參見課本p.105
如圖8—12，建立直角座標系xoy，使x軸經過點f1、f2，並且點o與線段f1f2的中點重合.
設m（x,y）是雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距為2c(c>0)，那麼，焦點f1、f2的座標分別是(－c,0)、(c,0).又設m與f1、f2的距離的差的絕對值等於常數2a.
由定義可知，雙曲線就是集合
將方程①化簡得(c2－a2)x2－a2y2=a2(c2－a2).
由雙曲線的定義可知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，令c2－a2=b2，其中b>0，代入上式得
(a>0,b>0).
（2）雙曲線的標準方程的形式
形式一： （a>0,b>0）
說明：此方程表示焦點在x軸上的雙曲線.焦點是f1(－c,0)、f2(c,0)，這裡c2=a2+b2.
形式二： （a>0,b>0）
說明：此方程表示焦點在y軸上的雙曲線，焦點是f1(0，－c)、f2(0， c)，這裡c2=a2+b2.
3、反思應用
例1求適合下列條件的雙曲線的標準方程
（1） a=4, c=5, 焦點在x軸上；
（2） 焦點為（-5，0），（5，0），且b =3
（3） a=4, 經過點 ；
（4） 焦點在y軸上，且過點
分析根據已知條件求出雙曲線的標準方程中的a, b 即可，注意標準方程的形式
例2（課本例） 已知雙曲線兩個焦點的座標為f1（－5，0）、f2（5，0），雙曲線上一點p到f1、f2的距離的差的絕對值等於6，求雙曲線的標準方程.
解：因為雙曲線的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為： (a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,
∴a=3,c=5.
∴b2=52－32=16
所以所求雙曲線的標準方程為
說明：例1、2目的在於讓學生熟悉雙曲線的定義與標準方程的形式.
例3、證明橢圓x2/25＋y2/19＝1與雙曲線x2－15y2＝15的焦點相同。
分析：分別求出橢圓及雙曲線的焦點即可
例4、已知方程表示焦點在y軸上的雙曲線，求k的取值範圍
隨堂練習(課本p107 2, 4)
⑴已知方程表示雙曲線，則實數m的取值範圍是＿＿＿＿＿。
⑵求適合下列條件的雙曲線的標準方程
①a=4,b=3，焦點在x軸上；
②焦點為(0,－6),(0,6)，經過點(2,－5)
③焦點在x軸上，經過點
4、歸納總結
數學思想方法：數形結合，待定係數法，分類討論
掌握雙曲線的定義及其標準方程的推導，並利用焦點、焦距與方程關係確定雙曲線方程.
5、課後作業
習題 1、2、3
雙曲線及其標準方程（二）
教學目標
1.進一步掌握雙曲線的定義及其標準方程的求法，特別是用定義法和待定係數法；
2.了解雙曲線定義及其標準方程知識在實際中的應用.
教學重點雙曲線的定義及其標準方程
教學難點雙曲線定義及其標準方程知識在實際中的應用
教學過程
1、複習回顧
（1）雙曲線定義
（2）兩種形式的標準方程
⑶根據下列條件，求雙曲線的標準方程
①過點p(3,15/4),q(－16/3,5)，且焦點在座標軸上；
經過點(－5,2)，且焦點在x軸上；
③與雙曲線x2/16－y2/4＝1有相同的焦點，且經過點 。
分析：①設雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，則
解得 ∴所求方程為－x2/16＋y2/9＝1
小結：「巧設」方程為「為mx2＋ny2＝1(mn＜0)」避免分兩種情況進行討論。
②∵ 且焦點在x軸上，∴設標準方程為x2/m－y2/(6－m)＝1（0＜m＜6）
∵雙曲線經過(－5,2)，∴25/m－4/(m－6)＝1，解得m＝5或m＝30（捨去）
∴所求方程為x2/5－y2＝1
③∵與雙曲線x2/16－y2/4＝1有相同的焦點，
∴設所求雙曲線的標準方程為
∵雙曲線經過點解得λ＝4或λ＝－1(捨去)
∴所求方程為x2/12－y2/8＝1
小結：注意到了與雙曲線 x2/16－y2/4＝1共焦點的雙曲線系方程為後，便有了上述巧妙的設法。
⑷已知雙曲線x2/a2－y2/b2＝1（a>0,b>0）, 求過它的焦點且垂直於x 軸的弦長
分析：設雙曲線的乙個焦點為f（c,0），過f且垂直於x軸的弦為ab，要求ab的長，
只需確定弦的乙個端點a或b的縱座標即可
|ab|＝2a2/c
變：雙曲線x2/4－y2/12＝1上的點p到左焦點的距離為6，這樣的點有＿個。
⑸①一動圓p過定點m（－4，0），且與已知圓n：(x－4)2＋y2＝16相切，求動圓圓心p的軌跡。
分析：由題意，列出動圓圓心滿足的幾何條件，若能由此條判斷出動點的軌跡是哪種曲線，則可直接求出其軌跡方程來
內切時，定圓n在動圓p的內部，有|pc|＝|pm|－4，
外切時，有|pc|＝|pm|＋4，故點p的軌跡是雙曲線x2/4－y2/12＝1。
②已知動圓p與定圓c1：(x＋5)2＋y2＝49,c2：(x－5)2＋y2＝1 都相切，求動圓圓心的軌跡的方程
分析：外切有|pc1|＝7＋r, |pc2|＝1＋r，∴|pc1|－|pc2|＝6，
內切有|pc1|＝r－7, |pc2|＝r －1，∴|pc2|－|pc1|＝6
故點p的軌跡是雙曲線x2/9－y2/16＝1
2、探索研究：
例（課本）一炮彈在某處**，在a處聽到**聲的時間比在b處晚2 s.
（1）**點應在什麼樣的曲線上？
（2）已知a、b兩地相距800 m，並且此時聲速為340 m/s，求曲線的方程.
解（1）由聲速及a、b兩處聽到**聲的時間差，可知a、b兩處與**點的距離的差，因此**點應位於以a、b為焦點的雙曲線上.
因為**點離a處比離b處更遠，所以**點應在靠近b處的一支上.
（2）如圖8—14，建立直角座標系xoy，使a、b兩點在x軸上，並且點o與線段ab的中點重合.
設**點p的座標為（x,y），則
即2a=680,a=340.
又 ∴2c=800,c=400, b2=c2－a2=44400.
∵ ∴x>0.
所求雙曲線的方程為：
(x>0).
說明：該例表明，利用兩個不同的觀測點測得同一炮彈**聲的時間差，可以確定**點所在的雙曲線的方程，但不能確定**點的準確位置.而現實生活中為了安全，我們最關心的則是**點的準確位置，那麼我們如何解決這個問題呢？
如果再增設乙個觀測點c，利用b、c（或a、c）兩處測得的**聲的時間差，可以求出另乙個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定**點的準確位置.這是雙曲線的乙個重要應用.
如果a、b兩點同時聽到**聲，說明**點到a、b的距離相等，那麼**點應在怎樣的曲線上？
ab的中垂線。
4、歸納總結
數學思想方法：數形結合，待定係數法，分類討論
掌握雙曲線的定義及其標準方程的推導，並利用焦點、焦距與方程關係確定雙曲線方程.
5、課後作業習題 4,5,6.
雙曲線及其標準方程
肥東錦弘中學2015 2016學年高二數學組公開課教案 時間 2015.11.30 地點 高二 19 班授課人 孫可可 課題雙曲線及其標準方程 一 三維目標 1.知識技能 了解雙曲線的定義，幾何圖形和標準方程，能根據雙曲線的定義推導得出雙曲線的標準方程。2.過程與方法 通過雙曲線標準方程的推導，使學...
雙曲線及其標準方程 說課稿
理論根據 為了調動學生學習的積極性，使學生變被動學習為主動愉快的學習。教學中引導學生從複習回顧 橢圓及其標準方程 通過模擬引出雙曲線的定義，在概念的理解上，用步步設問 來加深理解。在概念的建立上 借助電腦，演示軌跡變化的動畫過程，從而使學生直接地接受並提高學生的學習興趣和積極性，很好地突破難點和提高...
雙曲線及其標準方程教案
通過對雙曲線概念和標準方程的探索，培養學生觀察分析抽象的能力，體驗解析思想，激發學生 事物運動規律，進一步認清事物的本質特徵的興趣 五重點難點 重點 雙曲線的定義及其標準方程 難點 準確理解表述雙曲線的定義，標準方程的推導 六課前準備 教具準備 全班按4人一組分成若干組，每組準備8k紙一張，拉鍊一根...