一、教學目標
(一)知識教學點
1.掌握雙曲線定義、標準方程；
2.掌握焦點、焦距、焦點位置與方程關係；
3.認識雙曲線的變化規律.
(二)能力訓練點
在與橢圓的模擬中獲得雙曲線的知識，從而培養學生分析、歸納、推理等能力．
(三)學科滲透點
本次課注意發揮模擬和設想的作用，與橢圓進行模擬、設想，使學生得到關於雙曲線的定義、標準方程乙個比較深刻的認識．
二、教材分析
1．重點：雙曲線的定義和雙曲線的標準方程．
(解決辦法：通過乙個簡單實驗得出雙曲線，再通過設問給出雙曲線的定義；對於雙曲線的標準方程通過比較加深認識．)
2．難點：雙曲線的標準方程的推導．
(解決辦法：引導學生完成，提醒學生與橢圓標準方程的推導模擬．)
3．疑點：雙曲線的方程是二次函式關係嗎？
(解決辦法：教師可以從引導學生回憶函式定義和觀察雙曲線圖形來解決，同時讓學生在課外去研究在什麼附加條件下，雙曲線方程可以轉化為函式式．)
三、活動設計
教學方法啟發引導式
教具準備三角板、雙曲線演示模板、幻燈片
提問、實驗、設問、歸納定義、講解、演板、口答、重點講解、小結．
四、教學過程
(一)複習提問
1．橢圓的定義是什麼？(學生回答，教師板書)
平面內與兩定點f1、f2的距離的和等於常數(大於|f1f2|)的點的軌跡叫做橢圓．教師要強調條件：(1)平面內；(2)到兩定點f1、f2的距離的和等於常數；(3)常數2a＞|f1f2|．
2．橢圓的標準方程是什麼？(學生口答，教師板書)
(二)雙曲線的概念
把橢圓定義中的「距離的和」改為「距離的差」，那麼點的軌跡會怎樣？它的方程是怎樣的呢？
1．簡單實驗(邊演示、邊說明)
如圖2-23，定點f1、f2是兩個按釘，mn是乙個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿過套管，點m移動時，|mf1|-|mf2|是常數，這樣就畫出曲線的一支；由|mf2|-|mf1|是同一常數，可以畫出另一支．
注意：常數要小於|f1f2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線．
2．設問
問題1：定點f1、f2與動點m不在平面上，能否得到雙曲線？
請學生回答，不能．強調「在平面內」．
問題2：|mf1|與|mf2|哪個大？
請學生回答，不定：當m在雙曲線右支上時，|mf1|＞|mf2|；當點m在雙曲線左支上時，|mf1|＜|mf2|．
問題3：點m與定點f1、f2距離的差是否就是|mf1|-|mf2|？
請學生回答，不一定，也可以是|mf1|-|mf2|．正確表示為|mf1|-|mf2|．
問題4：這個常數是否會大於等於|f1f2|？
請學生回答，應小於|f1f2|且大於零．當常數=|f1f2|時，軌跡是以f1、f2為端點的兩條射線；當常數＞|f1f2|時，無軌跡．
3．定義
在上述基礎上，引導學生概括雙曲線的定義：
平面內與兩定點f1、f2的距離的差的絕對值是常數(小於|f1f2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點f1、f2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距．
教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記．
(三)雙曲線的標準方程
現在來研究雙曲線的方程．我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程．這時設問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什麼？不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即引導學生給出雙曲線的方程的推導．
標準方程的推導：
(1)建系設點
取過焦點f1、f2的直線為x軸，線段f1f2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)
建立直角座標系．
設m(x，y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那麼f1、f2的座標分別是(-c，0)、(c，0)．又設點m與f1、f2的距離的差的絕對值等於常數．
(2)點的集合
由定義可知，雙曲線就是集合：
p==．
(3)代數方程
(4)化簡方程(由學生演板)
將這個方程移項，兩邊平方得：
化簡兩邊再平方，整理得：
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．
(以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導．)
由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．
設c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：
b2x2-a2y2=a2b2．
這就是雙曲線的標準方程．
兩種標準方程的比較(引導學生歸納)：
教師指出：
(1)雙曲線標準方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大於b；
(2)如果x2項的係數是正的，那麼焦點在x軸上；如果y2項的係數是正的，那麼焦點在y軸上．注意有別於橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一座標軸上．
(3)雙曲線標準方程中a、b、c的關係是c2=a2+b2，不同於橢圓方程中c2=a2-b2．
(四)練習與例題
1．求滿足下列的雙曲線的標準方程：
焦點f1(-3，0)、f2(3，0)，且2a=4；
3．已知兩點f1(-5，0)、f2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程．如果把這裡的數字6改為12，其他條件不變，會出現什麼情況？
由教師講解：
按定義，所求點的軌跡是雙曲線，因為c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．
因為2a=12，2c=10，且2a＞2c．所以動點無軌跡．
(五)小結
1．定義：平面內與兩定點f1、f2的距離的差的絕對值等於常數(小於|f1f2|)的點的軌跡．
3．圖形(見圖2-25)：
4．焦點：f1(-c，0)、f2(c，0)；f1(0，-c)、f2(0，c)．
5．a、b、c的關係：c2=a2+b2；c=a2+b2．
五、布置作業
1．根據下列條件，求雙曲線的標準方程：
(1)焦點的座標是(-6，0)、(6，0)，並且經過點a(-5，2)；
3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點座標．
作業答案：
2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1
六、板書設計
雙曲線及其標準方程教案
通過對雙曲線概念和標準方程的探索，培養學生觀察分析抽象的能力，體驗解析思想，激發學生 事物運動規律，進一步認清事物的本質特徵的興趣 五重點難點 重點 雙曲線的定義及其標準方程 難點 準確理解表述雙曲線的定義，標準方程的推導 六課前準備 教具準備 全班按4人一組分成若干組，每組準備8k紙一張，拉鍊一根...
雙曲線及其標準方程教案
通過對雙曲線概念和標準方程的探索，培養學生觀察分析抽象的能力，體驗解析思想，激發學生 事物運動規律，進一步認清事物的本質特徵的興趣 五重點難點 重點 雙曲線的定義及其標準方程 難點 準確理解表述雙曲線的定義，標準方程的推導 六課前準備 教具準備 全班按4人一組分成若干組，每組準備8k紙一張，拉鍊一根...
雙曲線及其標準方程
肥東錦弘中學2015 2016學年高二數學組公開課教案 時間 2015.11.30 地點 高二 19 班授課人 孫可可 課題雙曲線及其標準方程 一 三維目標 1.知識技能 了解雙曲線的定義，幾何圖形和標準方程，能根據雙曲線的定義推導得出雙曲線的標準方程。2.過程與方法 通過雙曲線標準方程的推導，使學...