平面向量的概念和基本運算
1.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：幾何表示法；字母表示：a；
座標表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.
(3)向量的長度：即向量的大小，記作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量a＝o｜a｜＝o.
單位向量：ao為單位向量｜ao｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0
(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱為共線向量.
2.向量的運算
3.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，那麼，對於這個平面內任一向量，有且僅有一對實數λ1，
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)兩個向量平行的充要條件
a∥ba＝λb(b≠0) x1y2=x2y1.
(3)兩個向量垂直的充要條件
a⊥ba·b＝ox1x2＋y1y2＝o.
平面向量的數量積
1．向量的夾角：
已知兩個非零向量與b，作=, =b,則∠aob= （）叫做向量與b的夾角。
2．兩個向量的數量積：
已知兩個非零向量與b，它們的夾角為，則·b=︱︱·︱b︱cos．
其中︱b︱cos稱為向量b在方向上的投影．
3．向量的數量積的性質：
若=（）,b=（）則e·=·e=︱︱cos (e為單位向量);
⊥b·b=0（，b為非零向量）;︱︱=;
cos==．
4 ．向量的數量積的運算律：
·b=b·;()·b= (·b)=·(b);(＋b)·c=·c+b·c．
定比分點及平移公式
1． 點分有向線段所成的比的含義
2.線段的定比分點公式
設點p分有向線段所成的比為λ，即＝λ，則
＝＋ (線段的定比分點的向量公式)
(線段定比分點的座標公式)
當λ＝1時，得中點公式：
＝（＋）或
3.平移公式
設點p(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移後得到點p′（x′，y′），
則＝+a或
曲線y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移後所得的曲線的函式解析式為：
y－ｋ＝f（x－ｈ)
定比分點座標公式
空間向量及運算
1．空間向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空間的乙個平移就是乙個向量
⑵向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量
⑶空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示
2．空間向量的運算
定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘向量運算如下
運算律：⑴加法交換律：
⑵加法結合律：
⑶數乘分配律：
3 共線向量
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行於記作．
當我們說向量、共線（或//）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．
4．共線向量定理及其推論：
共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//的充要條件是存在實數λ，使＝λ.
推論：如果為經過已知點a且平行於已知非零向量的直線，那麼對於任意一點o，點p在直線上的充要條件是存在實數t滿足等式
．其中向量叫做直線的方向向量.
5．向量與平面平行：
已知平面和向量，作，如果直線平行於或在內，那麼我們說向量平行於平面，記作：．
通常我們把平行於同一平面的向量，叫做共面向量
說明：空間任意的兩向量都是共面的
6．共面向量定理：
如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數使
推論：空間一點位於平面內的充分必要條件是存在有序實數對，使或對空間任一點，有 ①
①式叫做平面的向量表示式
7 空間向量基本定理：
如果三個向量不共面，那麼對空間任一向量，存在乙個唯一的有序實陣列，使
推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個
有序實數，使
8 空間向量的夾角及其表示：
已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：.
9．向量的模：
設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：.
10．向量的數量積： ．
已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點在上的射影，作點在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影.
可以證明的長度．
11．空間向量數量積的性質：
（1）．（2）．（3）．
12．空間向量數量積運算律：
（1）．（2）（交換律）（3）（分配律）．
空間向量的座標運算
（1）空間向量的座標：空間直角座標系的x軸是橫軸（對應為橫座標），y軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎座標）.
①令=(a1,a2,a3),，則
∥(用到常用的向量模與向量之間的轉化：)
空間兩點的距離公式：.
（2）法向量：若向量所在直線垂直於平面，則稱這個向量垂直於平面，記作，如果那麼向量叫做平面的法向量.
（3）用向量的常用方法：
利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n是平面的法向量，ab是平面的一條射線，其中，則點b到平面的距離為.
利用法向量求二面角的平面角定理：設分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小（方向相同，則為補角，反方，則為其夾角）.
證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且cde三點不共線，則a∥的充要條件是存在有序實數對使.（常設求解若存在即證畢，若不存在，則直線ab與平面相交）.
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