導學目標： 1.掌握各種空間角的定義，弄清它們各自的取值範圍.2.掌握異面直線所成的角，二面角的平面角，直線與平面所成的角的聯絡和區別，體會求空間角中的轉化思想．
自主梳理
1．兩條異面直線的夾角
①定義：設a，b是兩條異面直線，在直線a上任取一點作直線a′∥b，則a′與a的夾角叫做a與b的夾角．
②範圍：兩異面直線夾角θ的取值範圍是
③向量求法：設直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為φ，則有cos
2．直線與平面的夾角
①定義：直線和平面的夾角，是指直線與它在這個平面內的射影的夾角．
②範圍：直線和平面夾角θ的取值範圍是
③向量求法：設直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為θ，a與u的夾角為φ，則有sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.
3．二面角
(1)二面角的取值範圍是
(2)二面角的向量求法：
①若ab、cd分別是二面角α—l—β的兩個麵內與稜l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角(如圖①)．
②設n1，n2分別是二面角α—l—β的兩個面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)的大小就是二面角的平面角的大小(如圖②③)．
自我檢測
1．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為________．
2．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，則l1與l2所成的角等於________．
3．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等於120°，則直線l與平面α所成的角等於________．
4．二面角的稜上有a、b兩點，直線ac、bd分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直於ab.已知ab＝4，ac＝6，bd＝8，cd＝2，則該二面角的大小為
5．(2010·鐵嶺一模)已知直線ab、cd是異面直線，ac⊥cd，bd⊥cd，且ab＝2，cd＝1，則異面直線ab與cd所成的角的大小為________．
**點一利用向量法求異面直線所成的角
例1 已知直三稜柱abc—a1b1c1，∠acb＝90°，ca＝cb＝cc1，d為b1c1的中點，求異面直線bd和a1c所成角的余弦值．
變式遷移1 如圖所示，在稜長為a的正方體abcd—a1b1c1d1中，求異面直線ba1和ac所成的角．
**點二利用向量法求直線與平面所成的角
例2 如圖，已知平面abcd⊥平面dcef，m，n分別為ab，df的中點，求直線mn與平面dcef所成的角的正弦值．
變式遷移2 如圖所示，在幾何體abcde中，△abc是等腰直角三角形，∠abc＝90°，be和cd都垂直於平面abc，且be＝ab＝2，cd＝1，點f是ae的中點．求ab與平面bdf所成的角的正弦值．
**點三利用向量法求二面角
例3 如圖，abcd是直角梯形，∠bad＝90°，sa⊥平面abcd，sa＝bc＝ba＝1，ad＝，求面scd與面sba所成角的余弦值大小．
變式遷移3 如圖，在三稜錐s—abc中，側面sab與側面sac均為等邊三角形，∠bac＝90°，o為bc中點．
(1)證明：so⊥平面abc；
(2)求二面角a—sc—b的余弦值．
**點四綜合應用
例4 如圖所示，在三稜錐a—bcd中，側面abd、acd是全等的直角三角形，ad是公共的
斜邊，且ad＝，bd＝cd＝1，另乙個側面abc是正三角形．
(1)求證：ad⊥bc；
(2)求二面角b－ac－d的余弦值；
(3)**段ac上是否存在一點e，使ed與面bcd成30°角？若存在，確定點e的位置；若不存在，說明理由．
變式遷移4 (2011·山東，19)在如圖所示的幾何體中，四邊形abcd為平行四邊形，∠acb＝90°，ea⊥平面abcd，ef∥ab，fg∥bc，eg∥ac，ab＝2ef.
(1)若m是線段ad的中點，求證：gm∥平面abfe；
(2)若ac＝bc＝2ae，求二面角a－bf－c的大小．
1．求兩異面直線a、b的所成的角θ，需求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos θ＝|cos〈a，b〉|.
2．求直線l與平面α所成的角θ.可先求出平面α的法向量n與直線l的方向向量a的夾角．則sin θ＝|cos〈n，a〉|.
3．求二面角α—l—β的大小θ，可先求出兩個平面的法向量n1，n2所成的角．則θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．
(滿分：90分)
一、填空題(每小題6分，共48分)
1．在正方體abcd—a1b1c1d1中，m是ab的中點，則sin〈，〉的值等於________．
2．已知長方體abcd－a1b1c1d1中，ab＝bc＝1，aa1＝2，e是側稜bb1的中點，則直線ae與平面a1ed1所成的角的大小為________．
3．如圖，在正四面體abcd中，e、f分別是bc和ad的中點，則ae與cf所成的角的余弦值為________．
4．(2011·南通模擬) 如圖所示，在長方體abcd—a1b1c1d1中，已知b1c，c1d與上底面a1b1c1d1所成的角分別為60°和45°，則異面直線b1c和c1d所成的余弦值為________．
5．p是二面角α—ab—β稜上的一點，分別在α、β平面上引射線pm、pn，如果∠bpm＝∠bpn＝45°，∠mpn＝60°，那麼二面角α—ab—β的大小為________．
6．(2011·無錫模擬)已知正四稜錐p—abcd的稜長都相等，側稜pb、pd的中點分別為m、n，則截面amn與底面abcd所成的二面角的余弦值是________．
7．如圖，pa⊥平面abc，∠acb＝90°且pa＝ac＝bc＝a，則異面直線pb與ac所成角的正切值等於________．
8．如圖，已知正三稜柱abc—a1b1c1的所有稜長都相等，d是a1c1的中點，則直線ad與平面b1dc所成的角的正弦值為________．
二、解答題(共42分)
9．(14分) 如圖所示，af、de分別是⊙o、⊙o1的直徑，ad與兩圓所在的平面均垂直，ad＝8.bc是⊙o的直徑，ab＝ac＝6，oe∥ad.
(1)求二面角b－ad－f的大小；
(2)求直線bd與ef所成的角的余弦值．
10．(14分)(2011·大綱全國，19)如圖，四稜錐s－abcd中，ab∥cd，bc⊥cd，側面sab為等邊三角形，ab＝bc＝2，cd＝sd＝1.
(1)證明：sd⊥平面sab；
(2)求ab與平面sbc所成角的正弦值．
11．(14分)(2011·湖北，18)如圖，已知正三稜柱abc－a1b1c1各稜長都是4，e是bc的中點，動點f在側稜cc1上，且不與點c重合．
(1)當cf＝1時，求證：ef⊥a1c；
(2)設二面角c－af－e的大小為θ，求tan θ的最小值．
學案44 利用向量方法求空間角
答案自主梳理
1．② ③|cos φ| 2.② 3.(1)[0，π]
學案46利用向量方法求空間角
導學目標 1.掌握各種空間角的定義，弄清它們各自的取值範圍.2.掌握異面直線所成的角，二面角的平面角，直線與平面所成的角的聯絡和區別.3.體會求空間角中的轉化思想 數形結合思想，熟練掌握平移方法 射影方法等.4.靈活地運用各種方法求空間角 自主梳理 1 兩條異面直線的夾角 1 定義 設a，b是兩條異...
上海高中數學向量
平面向量複習課後作業 一 填空題 1 若是非零向量，則的方向是 當時，與 方向 2 如果兩個非零向量滿足 是非零實數 那麼和一定是當時，它們是的向量 當時，它們是的向量 3 設是非零實數，是非零向量，用式子表示實數與向量相乘對於向量加法的分配律 4 如果是兩個不平行的向量，那麼叫做的 5 對於非零向...
高中數學學習方法
其實數學要學好最有效的辦法就是多多地做題目但一定不要糾纏與試卷後面的那些大題 難題，那些題目不利於打好基礎其實，在考試的時候，只要前面的都基本不出錯誤，數學這一科也就基本上問題不大了，在這個基礎上，如果你還要拿高分的話，那就有必要攻以下後面的那些題目了，但千萬不要作為重點 重點是基礎題目 多做題目就...