導學目標： 1.掌握各種空間角的定義，弄清它們各自的取值範圍.
2.掌握異面直線所成的角，二面角的平面角，直線與平面所成的角的聯絡和區別.3.
體會求空間角中的轉化思想、數形結合思想，熟練掌握平移方法、射影方法等.4.靈活地運用各種方法求空間角．
自主梳理
1．兩條異面直線的夾角
(1)定義：設a，b是兩條異面直線，在直線a上任取一點作直線a'∥b，則a'與a的夾角叫做a與b的夾角．
(2)範圍：兩異面直線夾角θ的取值範圍是
(3)向量求法：設直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為φ，則有cos
2．直線與平面的夾角
(1)定義：直線和平面的夾角，是指直線與它在這個平面內的射影的夾角．
(2)範圍：直線和平面夾角θ的取值範圍是
(3)向量求法：設直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為θ，a與u的夾角為φ，則有sin或cosθ＝sinφ.
3．二面角
(1)二面角的取值範圍是
(2)二面角的向量求法：
①若ab、cd分別是二面角α—l—β的兩個麵內與稜l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角(如圖①)．
②設n1，n2分別是二面角α—l—β的兩個面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)的大小就是二面角的平面角的大小(如圖②③)．
自我檢測
1．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為( )
a．45b．135°
c．45°或135d．90°
2．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，則( )
a．l1∥l2b．l1⊥l2
c．l1與l2相交但不垂直d．以上均不正確
3．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等於120°，則直線l與平面α所成的角等於( )
a．120b．60°
c．30d．以上均錯
4．(2011·湛江月考)二面角的稜上有a、b兩點，直線ac、bd分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直於ab.已知ab＝4，ac＝6，bd＝8，cd＝2，則該二面角的大小為( )
a．150b．45c．60d．120°
5．(2011·鐵嶺模擬)已知直線ab、cd是異面直線，ac⊥cd，bd⊥cd，且ab＝2，cd＝1，則異面直線ab與cd夾角的大小為( )
a．30b．45c．60d．75°
**點一利用向量法求異面直線所成的角
例1 已知直三稜柱abc—a1b1c1，∠acb＝90°，ca＝cb＝cc1，d為b1c1的中點，求異面直線bd和a1c所成角的余弦值．
變式遷移1
如圖所示，在稜長為a的正方體abcd—a1b1c1d1中，求異面直線ba1和ac所成的角．
**點二利用向量法求直線與平面所成的角
例2 (2011·新鄉月考)如圖，已知兩個正方形abcd和dcef不在同一平面內，m，n分別為ab，df的中點．
若平面abcd⊥平面dcef，求直線mn與平面dcef所成角的正弦值．
變式遷移2
如圖所示，在幾何體abcde中，△abc是等腰直角三角形，∠abc＝90°，be和cd都垂直於平面abc，且be＝ab＝2，cd＝1，點f是ae的中點．求ab與平面bdf所成角的正弦值．
**點三利用向量法求二面角
例3 如圖，abcd是直角梯形，∠bad＝90°，sa⊥平面abcd，sa＝bc＝ba＝1，ad＝，求面scd與面sba所成角的余弦值大小．
變式遷移3
(2011·滄州月考)如圖，在三稜錐s—abc中，側面sab與側面sac均為等邊三角形，∠bac＝90°，o為bc中點．
(1)證明：so⊥平面abc；
(2)求二面角a—sc—b的余弦值．
**點四向量法的綜合應用
例4 如圖所示，在三稜錐a—bcd中，側面abd、acd是全等的直角三角形，ad是公共的斜邊，且ad＝，bd＝cd＝1，另乙個側面abc是正三角形．
(1)求證：ad⊥bc；
(2)求二面角b－ac－d的余弦值；
(3)**段ac上是否存在一點e，使ed與面bcd成30°角？若存在，確定點e的位置；若不存在，說明理由．
變式遷移4 (2011·山東)在如圖所示的幾何體中，四邊形abcd為平行四邊形，∠acb＝90°，ea⊥平面abcd，ef∥ab，fg∥bc，eg∥ac，ab＝2ef.
(1)若m是線段ad的中點，求證：gm∥平面abfe；
(2)若ac＝bc＝2ae，求二面角a－bf－c的大小．
1．求兩異面直線a、b的夾角θ，需求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos θ＝|cos〈a，b〉|.
2．求直線l與平面α所成的角θ.可先求出平面α的法向量n與直線l的方向向量a的夾角．則sin θ＝|cos〈n，a〉|.
3．求二面角α—l—β的大小θ，可先求出兩個平面的法向量n1，n2所成的角．則θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011·成都月考)在正方體abcd—a1b1c1d1中，m是ab的中點，則sin〈，〉的值等於( )
abcd.
2．長方體abcd—a1b1c1d1中，ab＝aa1＝2，ad＝1，e為cc1的中點，則異面直線bc1與ae所成角的余弦值為( )
abcd.
3．已知正四稜錐s—abcd的側稜長與底面邊長都相等，e是sb的中點，則ae、sd所成的角的余弦值為( )
abcd.
4.如圖所示，在長方體abcd—a1b1c1d1中，已知b1c，c1d與上底面a1b1c1d1所成的角分別為60°和45°，則異面直線b1c和c1d所成的余弦值為( )
abcd.
5．(2011·蘭州月考)p是二面角α—ab—β稜上的一點，分別在α、β平面上引射線pm、pn，如果∠bpm＝∠bpn＝45°，∠mpn＝60°，那麼二面角α—ab—β的大小為( )
a．60b．70c．80d．90°
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011·鄭州模擬)已知正四稜錐p—abcd的稜長都相等，側稜pb、pd的中點分別為m、n，則截面amn與底面abcd所成的二面角的余弦值是________．
7．如圖，pa⊥平面abc，∠acb＝90°且pa＝ac＝bc＝a，則異面直線pb與ac所成角的正切值等於________．
8．如圖，已知正三稜柱abc—a1b1c1的所有稜長都相等，d是a1c1的中點，則直線ad與平面b1dc所成角的正弦值為________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2011·煙台模擬)
如圖所示，af、de分別是⊙o、⊙o1的直徑，ad與兩圓所在的平面均垂直，ad＝8.bc是⊙o的直徑，ab＝ac＝6，oe∥ad.
(1)求二面角b－ad－f的大小；
(2)求直線bd與ef所成的角的余弦值．
10．(12分)(2011·大綱全國)如圖，四稜錐s－abcd中，ab∥cd，bc⊥cd，側面sab為等邊三角形，ab＝bc＝2，cd＝sd＝1.
(1)證明：sd⊥平面sab；
(2)求ab與平面sbc所成角的正弦值．
11．(14分)(2011·湖北)如圖，已知正三稜柱abc－a1b1c1各稜長都是4，e是bc的中點，動點f在側稜cc1上，且不與點c重合．
高中數學學案44利用向量方法求空間角
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