8.7 立體幾何中的向量方法（ⅱ）----求空間角與距離
一、填空題
1．正方體abcda1b1c1d1的稜長為a，點m在ac1上且＝，n為b1b的中點，則||為________．
解析以d為原點建立如圖所示的空間直角座標系dxyz，則a(a,0,0)，
c1(0，a，a)，n.
設m(x，y，z)，
∵點m在ac1上且＝，
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)
∴x＝a，y＝，z＝.
得m，∴||＝＝a.
答案 a
2．在正方體abcda1b1c1d1中，m、n分別為稜aa1和bb1的中點，則sin〈，〉的值為________．
解析設正方體的稜長為2，以d為座標原點，da為x軸，dc為y軸，dd1為
z軸建立空間直角座標系(如圖)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，
cos〈，〉＝－，所以sin〈，〉＝.
答案 3．兩平行平面α，β分別經過座標原點o和點a(2,1,1)，且兩平面的乙個法向量n＝(－1,0,1)，則兩平面間的距離是________．
解析兩平面的乙個單位法向量n0＝，故兩平面間的距離
d＝|·n0|＝.
答案 4．在長方體abcd-a1b1c1d1中，ab＝aa1＝2，ad＝1，e為cc1的中點，則異面直線bc1與ae所成角的余弦值為________．
解析建立座標系如圖，
則a(1,0,0)，e(0,2,1)，
b(1,2,0)，c1(0,2,2)．
＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，
cos〈，〉＝＝.
所以異面直線bc1與ae所成角的余弦值為.
答案 5．如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中點，n是a1b1上的動點，則直線no、am的位置關係是________．
解析建立座標系如圖，設正方體的稜長為2，則a(2,0,0)，m(0,0,1)，o(1,1,0)，n(2，t,2)，＝(－1,1－t，－2)，＝(－2,0,1)，·＝0，則直線no、am的位置關係是異面垂直．
答案異面垂直
6．已知直二面角αlβ，點a∈α，ac⊥l，c為垂足，點b∈β，bd⊥l，d為垂足，若ab＝2，ac＝bd＝1，則cd
解析如圖，建立直角座標系dxyz，由已知條件b(0,0,1)，a(1，t,0)(t＞0)，由ab＝2解得t＝.
答案 7．在正方體abcd-a1b1c1d1中，e是稜bb1中點，g是dd1中點，f是bc上一點且fb＝bc，則gb與ef所成的角為________．
解析如圖建立直角座標系dxyz，
設da＝1，由已知條件
g，b，e，f，＝，
＝cos〈，〉＝＝0，則⊥.
答案 90°
8．正四稜錐s abcd中，o為頂點在底面上的射影，p為側稜sd的中點，且so＝od，則直線bc與平面pac的夾角的大小為________．
解析如圖所示，以o為原點建立空間直角座標系oxyz.
設od＝so＝oa＝ob＝oc＝a，
則a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(－a,0,0)，p.
則＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)．
設平面pac的法向量為n，可求得n＝(0,1,1)，
則cos〈，n〉＝＝＝.
∴〈，n〉＝60°，
∴直線bc與平面pac的夾角為90°－60°＝30°.
答案 30°
9．已知點e、f分別在正方體abcda1b1c1d1的稜bb1，cc1上，且b1e＝2eb，cf＝2fc1，則面aef與面abc所成的二面角的正切值為________．
解析如圖，建立直角座標系dxyz，設da＝1由已知條件a(1,0,0)，e，f
＝，＝設平面aef的法向量為n＝(x，y，z)，
面aef與面abc所成的二面角為θ
由令y＝1，z＝－3，x＝－1，則n＝(－1,1，－3)
平面abc的法向量為m＝(0,0，－1)
cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝.
答案 10．如圖，在四稜錐pabcd中，側面pad為正三角形，底面abcd為正方形，側面pad⊥底面abcd，m為底面abcd內的乙個動點，且滿足mp＝mc，則點m
在正方形abcd內的軌跡為________．
解析以d為原點，da、dc所在直線分別為x、y軸建系如圖：
設m(x，y,0)，設正方形邊長為a，則p，c(0，a,0)，
則mc＝，
mp＝.
由mp＝mc得x＝2y，所以點m在正方形abcd內的軌跡為直線y＝x的一部分．
答案 ①
11．已知正方體abcda1b1c1d1的稜長為1，點p**段bd1上，當∠apc最大時，三稜錐p abc的體積為________．
解析以b為座標原點，ba為x軸，bc為y軸，bb1為z軸建立空間直角座標系(如圖所示)．
設b＝λ，可得：p(λ，λ，λ)．
再由cos ∠apc＝可求得
當λ＝時，∠apc最大．
故vp abc＝××1×1×＝.
答案 12．p是二面角αabβ稜上的一點，分別在α、β平面上引射線pm、pn，如果∠bpm＝∠bpn＝45°，∠mpn＝60°，那麼二面角αabβ的大小為________．
解析不妨設pm＝a，pn＝b，如圖，
作me⊥ab於e，nf⊥ab於f，
∵∠epm＝∠fpn＝45°，
∴pe＝a，pf＝b，
＝·－·－·＋·
＝abcos 60°－a×bcos 45°－abcos 45°＋a×b
＝－－＋＝0，
∴⊥，∴二面角αabβ的大小為90°.
答案 90°
13．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則
解析由已知得＝＝，
∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.
答案 －2或
二、解答題
14. 如圖，四稜錐p－abcd中，pa⊥底面abcd.四邊形abcd中，ab⊥ad，ab＋ad＝4，cd＝，∠cda＝45°.
(1)求證：平面pab⊥平面pad；
(2)設ab＝ap.若直線pb與平面pcd所成的角為30°，求線段ab的長．
解析：(1)證明：因為pa⊥平面abcd，
ab平面abcd，
所以pa⊥ab.
又ab⊥ad，pa∩ad＝a，
所以ab⊥平面pad.
又ab平面pab，所以平面pab⊥平面pad.
(2)以a為座標原點，建立空間直角座標系a－xyz(如圖)．
在平面abcd內，作ce∥ab交ad於點e，則ce⊥ad.
在rt△cde中，de＝cd·cos45°＝1，ce＝cd·sin45°＝1.
設ab＝ap＝t，則b(t,0,0)，p(0,0，t)．
由ab＋ad＝4得ad＝4－t，
所以e(0,3－t,0)，c(1,3－t,0)，d(0,4－t,0)，＝(－1,1,0)，
＝(0,4－t，－t)．
設平面pcd的乙個法向量為n＝(x，y，z)，
由n⊥，n⊥，得
取x＝t，得平面pcd的乙個法向量n＝(t，t,4－t)．
又＝(t,0，－t)，故由直線pb與平面pcd所成的角為30°得
cos60°＝||，即＝，
解得t＝或t＝4(捨去，因為ad＝4－t>0)，
所以ab＝.
15．如圖，在直三稜柱abca1b1c1中，∠acb＝90°，∠bac＝30°，bc＝1，a1a＝，m是cc1的中點．
(1)求證：a1b⊥am；
(2)求二面角b amc的平面角的大小．
解析 (1)證明以點c為原點，cb、ca、cc1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角座標系cxyz，如圖所示，
則b(1,0,0)，a(0，，0)，a1(0，，)，m.
所以＝(1，－，－)，＝.
因為·＝1×00，所以a1b⊥am.
(2)因為abc a1b1c1是直三稜柱，所以cc1⊥平面abc，又bc平面abc，所以cc1⊥bc.
因為∠acb＝90°，即bc⊥ac，所以bc⊥平面acc1，即bc⊥平面amc.
所以是平面amc的乙個法向量，＝(1,0,0)．
設n＝(x，y，z)是平面bam的乙個法向量，
＝(－1，，0)，＝.
由得令x＝，得y＝，z＝2.
所以n＝(，，2)
因為||＝1，|n|＝2，所以cos〈，n〉＝＝，因此二面角b amc的大小為45°.
16．如圖，正方體abcd a1b1c1d1的稜長為1，e，f分別在稜aa1和cc1上(含線段端點)．
(1)如果ae＝c1f，試證明b，e，d1，f四點共面；
(2)在(1)的條件下，是否存在一點e，使得直線a1b和平面bfe所成角等於？如果存在，確定點e的位置；如果不存在，試說明理由．
解析 (1)證明以點a為原點，ab所在直線為x軸，ad所在直線為y軸，aa1所在直線為z軸建立空間直角座標系axyz，
設ae＝gf＝t
則b(1,0,0)，d1(0,1,1)，e(0,0，t)，f(1,1,1－t)，其中0≤t≤1.
則＝＝(－1,0，t)，所以be∥fd1.
所以b，e，d1，f四點共面．
(2)＝(－1,0,1)，＝(－1,0，t)，＝(0,1,1－t)，
可求平面bfe的法向量n＝(t，t－1,1)，
若直線a1b與平面bfe所成的角等於，則有sin＝，
即＝，解得t＝0，所以點e存在，且座標為e(0,0,0)，即e在頂點a處．
17．如圖所示，在四稜錐abcde中，底面bcde為矩形，側面abc⊥底面bcde，bc＝2，cd＝，ab＝ac.
(1)證明：ad⊥ce；
(2)設側面abc為等邊三角形，求二面角cade的大小．
解析 (1)證明取bc中點o，
連線ao，則ao⊥bc
由已知條件ao⊥平面bcde，
如圖，建立空間直角座標系oxyz，
則a(0,0，t)，d(1，，0)
c(1,0,0)，e(－1，，0)，
＝(1，，－t)
＝(－2，，0)
則·＝0，因此ad⊥ce.
(2)作cf⊥ad垂足為f，連線ef，
則ad⊥平面cef從而ef⊥ad
則∠cfe為二面角cade的平面角．
在rt△acd中，cf＝＝，
在等腰△ade中，ef＝，
cos∠cfe＝＝－.
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