空間線線、線面平行及垂直練習題
證明中的找線技巧
一 、線面垂直
定義：如果一條直線l和乙個平面α相交，並且和平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面α互相垂直其中直線l叫做平面的垂線，平面α叫做直線l的垂面,直線與平面的交點叫做垂足。直線l與平面α垂直記作：
l⊥α。
直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面。
直線和平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直於乙個平面,那麼這兩條直線平行。
通過計算，運用勾股定理尋求線線垂直
1 如圖1，在正方體中，為的中點，ac交bd於點o，求證：平面mbd．
證明：鏈結mo，，∵db⊥，db⊥ac，，
∴db⊥平面，而平面 ∴db⊥．
設正方體稜長為，則，．
在rt△中，．∵，∴． ∵om∩db=o，∴ ⊥平面mbd．
注：在證明垂直關係時，有時可以利用稜長、角度大小等資料，通過計算來證明．
2 如圖在δabc中， ad⊥bc， ed=2ae， 過e作fg∥bc， 且將δafg沿fg折起，使∠a'ed=60°，求證:a'e⊥平面a'bc
線線垂直線面垂直
3 如圖１所示，abcd為正方形，⊥平面abcd，過且垂直於的平面分別交於．求證：，．
證明：∵平面abcd，
∴．∵，∴平面sab．又∵平面sab，∴．∵平面aefg，∴．∴平面sbc．∴．同理可證．
注：本題欲證線線垂直，可轉化為證線面垂直，**線垂直與線面垂直的轉化中，平面起到了關鍵作用
4 如圖２，在三稜錐ａ－bcd中，bc＝ac，ad＝bd，
作be⊥cd，ｅ為垂足，作ah⊥be於ｈ．求證：ah⊥平面bcd．
證明：取ab的中點ｆ，鏈結cf，df．
∵，∴．
又，∴平面cdf．
∵平面cdf，∴．
又，，∴平面abe，．
∴ 平面bcd．
5如圖，平面abcd，abcd是矩形，m、n分別是ab、pc的中點，求證：
6如圖, 在空間四邊形sabc中, sa平面abc, abc = 90, ansb於n, amsc於m。求證: ①anbc; ②sc平面anm
①∵sa平面abc
sabc
又∵bcab, 且absa = a
∴bc平面sab
∵an平面sab
∴anbc
anbc, ansb, 且sbbc = b
∴an平面sbc
∵scc平面sbc
∴ansc
又∵amsc, 且aman = a
∴sc平面anm
7 以ab為直徑的圓在平面內，於a，c在圓上，連pb、pc過a作ae⊥pb於e，af⊥pc於f，試判斷圖中還有幾組線面垂直。
定義求線面垂直
8．（1）（2006北京文，17）如圖，abcd—a1b1c1d1是正四稜柱，
求證：bd⊥平面acc1a1。
（2）（2006天津文，19）如圖，在五面體abcdef中，點o是矩形abcd的對角線的交點，面cde是等邊三角形，稜。
（i）證明平面；
（ii）設證明平面。
證明：（1）∵abcd—a1b1c1d1是正四稜柱，
∴cc1⊥平面adcd,
∴bd⊥cc1
∵abcd是正方形
∴bd⊥ac
又∵ac，cc1平面acc1a1,
且ac∩cc1=c,
∴bd⊥平面acc1a1。
（2）證明：
（i）取cd中點m，鏈結om。
在矩形abcd中， 又
則鏈結em，於是四邊形efom為平行四邊形。
又平面cde，且平面cde，
平面cde。
（ii）鏈結fm。
由（i）和已知條件，在等邊中，
且 因此平行四邊形efom為菱形，從而。
平面eom，從而
而所以平面
注：本題考查直線與平面垂直等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力
9 如圖（1），已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直， ab=，af=1，m是線段ef的中點
（ⅰ）求證am∥平面bde；
（ⅱ）求證am⊥平面bdf；
【解析】(ⅰ)記ac與bd的交點為o,連線oe,如圖（2） 圖（1）∵o、m分別是ac、ef的中點，acef是矩形，
∴四邊形aoem是平行四邊形，
∴am∥oe
∵平面bde， 平面bde，
∴am∥平面bde
圖（2圖（3）
（ⅱ）如圖（3），∵bd⊥ac，bd⊥af，且ac交af於a，
∴bd⊥平面ae，又因為am平面ae，
∴bd⊥am.∵ad=，af=1，oa=1，
∴aomf是正方形，
∴am⊥of，又am⊥bd，且of∩bd=o.
∴am⊥平面bdf.
【點評】 線面平行只要平面外一條直線與平面內的一條直線平行就能判定，即最終於由兩條直線決定；而線面垂直時，需要平面外一直線與平面內兩條直線垂直，而且這兩條直線必須相交，即需要三條直線決定.
10已知a、b、c是直線，是平面，給出下列命題：①若；②若；③若；④若a與b異面，且相交； ⑤若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都垂直.
其中真命題的個數是（ ）a．1 b．2 c．3 d．4
【提示】 舉反例，找模型，線離不開面，因此我們選擇了乙個適當的模型，線與線的關係一目了然.
五．【總結】一條直線和乙個平面的位置關係有三種：①直線在平面內——有無數個公共點；②直線和平面相交——有且只有乙個公共點；③直線和平面平行——沒有公共點證明線面垂直的關鍵在於尋找直線與平面內的兩條相交直線垂直，尋找途徑可由等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直，可由勾股定理進行計算，可由線面垂直得線線垂直
11 如圖所示，已知s是正三角形abc所在平面外的一點，且sa=sb=sc，sg為△sab上的高，
d、e、f分別是ac、bc、sc的中點，試判斷sg與平面def的位置關係，並給予證明.
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