1. 已知正方形abcd中，e為對角線bd上一點，過e點作ef⊥bd交bc於f，連線df，g為df中點，連線eg，cg．
（1）求證：eg=cg；
（2）將圖①中△bef繞b點逆時針旋轉45，如圖②所示，取df中點g，連線eg，cg．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）將圖①中△bef繞b點旋轉任意角度，如圖③所示，再連線相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什麼結論？（均不要求證明）
23．（本題滿分10分）
解：（1）證明：在rt△fcd中，
∵g為df的中點，∴ cg=fd．………… 1分
同理，在rt△def中，
eg=fd2分
∴ cg=eg．…………………3分
（2）（1）中結論仍然成立，即eg=cg4分
證法一：連線ag，過g點作mn⊥ad於m，與ef的延長線交於n點．
在△dag與△dcg中，
∵ ad=cd，∠adg=∠cdg，dg=dg，
∴ △dag≌△dcg．
∴ ag=cg5分
在△dmg與△fng中，
∵ ∠dgm=∠fgn，fg=dg，∠mdg=∠nfg，
∴ △dmg≌△fng．
∴ mg=ng
在矩形aenm中，am=en． ……………6分
在rt△amg 與rt△eng中，
∵ am=en， mg=ng，
∴ △amg≌△eng．
∴ ag=eg．
∴ eg=cg8分
證法二：延長cg至m,使mg=cg，
連線mf，me，ec4分
在△dcg 與△fmg中，
∵fg=dg，∠mgf=∠cgd，mg=cg，
∴△dcg ≌△fmg．
∴mf=cd，∠fmg＝∠dcg．
∴mf∥cd∥ab5分
∴．在rt△mfe 與rt△cbe中，
∵ mf=cb，ef=be，
∴△mfe ≌△cbe．
6分∴∠mec＝∠mef＋∠fec＝∠ceb＋∠cef＝90°． …………7分
∴ △mec為直角三角形．
∵ mg = cg，
∴ eg=mc．
8分（3）（1）中的結論仍然成立，
即eg=cg．其他的結論還有:eg⊥cg．……10分
2.如圖9，若△abc和△ade為等邊三角形，m，n分別eb，cd的中點，易證：cd=be，△amn是等邊三角形．
（1）當把△ade繞a點旋轉到圖10的位置時，cd=be是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；（4分）
（2）當△ade繞a點旋轉到圖11的位置時，△amn是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，並求出當ab=2ad時，△ade與△abc及△amn的面積之比；若不是，請說明理由．（6分）
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26．解：（1）cd=be．理由如下: 1分
abc和△ade為等邊三角形
∴ab=ac，ae=ad，∠bac=∠ead=60o
∵∠bae =∠bac－∠eac =60o－∠eac，
∠dac =∠dae－∠eac =60o－∠eac，
∴∠bae=∠dac， ∴△abe ≌ △acd 3分
∴cd=be 4分
（2）△amn是等邊三角形．理由如下： 5分
abe ≌ △acd， ∴∠abe=∠acd．
∵m、n分別是be、cd的中點，
∴bm=
∵ab=ac，∠abe=∠acd， ∴△abm ≌ △acn．
∴am=an，∠mab=∠nac． 6分
nam=∠nac+∠cam=∠mab+∠cam=∠bac=60o
amn是等邊三角形． 7分
設ad=a，則ab=2a．
∵ad=ae=de，ab=ac， ∴ce=de．
ade為等邊三角形， ∴∠dec=120 o， ∠ade=60o，
∴∠edc=∠ecd=30o ， ∴∠adc=90o． 8分
∴在rt△adc中，ad=a，∠acd=30 o ， ∴ cd=．
∵n為dc中點，
∴， ∴． 9分
∵△ade，△abc，△amn為等邊三角形，
∴s△ade∶s△abc∶ s△amn 10分
解法二：△amn是等邊三角形．理由如下： 5分
∵△abe ≌ △acd，m、n分別是be、cn的中點，∴am=an，nc=mb．
∵ab=ac，∴△abm ≌ △acn，∴∠mab=∠nac ，
∴∠nam=∠nac+∠cam=∠mab+∠cam=∠bac=60o
∴△amn是等邊三角形 7分
設ad=a，則ad=ae=de= a，ab=bc=ac=2a
易證be⊥ac，∴be=，
∴ ∴
∵△ade，△abc，△amn為等邊三角形
∴s△ade∶s△abc∶ s△amn 10分
3. 如圖23－9(a)，在平面直角座標系中，o為座標原點，點a的座標為(－8，0)，直線bc經過點b(－8，6)，c(0，6)，將四邊形oabc繞點o按順時針方向旋轉α得到四邊形oa′b′c′，此時直線oa′，直線b′c′分別與直線bc相交於點p，q．
圖23－9
(1)四邊形oabc的形狀是______，當α＝90°時，的值是______；
(2)①如圖23－9(b)，當四邊形oa′b′c′的頂點b′落在y軸的正半軸上時，求的值；②如圖23－9(c)，當四邊形oa′b′c′的頂點b′落在直線bc上時，求△opb′的面積；(3)在四邊形oabc的旋轉過程中，當0°＜α≤180°時，是否存在這樣的點p和點q，使bp＝?若存在，直接寫出點p的座標；若不存在，請說明理由．
26．解：（1）矩形（長方形）； 1分
． 3分
（2）①， ，
．，即，
，． 4分
同理，，即，
，． 5分
． 6分
②在和中，
． 7分．設，
在中，，解得． 8分
． 9分
（3）存在這樣的點和點，使． 10分
點的座標是，． 12分
對於第（3）題，我們提供如下詳細解答，對學生無此要求．
過點畫於，鏈結，則，，，．
設，，，1 如圖1，當點p在點b左側時，
，在中，，
解得，（不符實際，捨去）．，．
②如圖2，當點p在點b右側時，
，．在中，，解得．，．
綜上可知，存在點，，使．
4將兩塊含30°角且大小相同的直角三角板如圖1擺放。
（1）將圖1中△繞點c順時針旋轉45°得圖2，點與ab的交點，求證：；
（2）將圖2中△繞點c順時針旋轉30°到△（如圖3），點與ab的交點。線段之間存在乙個確定的等量關係，請你寫出這個關係式並說明理由；
（3）將圖3中線段繞點c順時針旋轉60°到（如圖4），鏈結，
求證：⊥ab.
解：（1）證明：過點作ca的垂線，垂足為d
易知：△cd為等腰直角三角形，
△da是直角三角形，且∠a＝30°，
所以故 （2）解： 過點作c的垂線，垂足為e
易知：△e為等腰直角三角形（其中∠2＝∠a＋∠ca＝45°）
△ce是直角三角形，且∠1＝30°，
所以故（3）證明：將圖3中線段繞點c順時針旋轉60°到，
易證：△≌△，
於是∠＝∠＝45°，
故⊥ab.
5.如圖（9）-1，拋物線經過a（，0），c（3，）兩點，與軸交於點d，與軸交於另一點b．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線將四邊形abcd面積二等分，求的值；
（3）如圖（9）-2，過點e（1，1）作ef⊥軸於點f，將△aef繞平面內某點旋轉180°得△mnq（點m、n、q分別與點a、e、f對應），使點m、n在拋物線上，作mg⊥軸於點g，若線段mg︰ag＝1︰2，求點m，n的座標．
：（1）∵拋物線y=ax2-3ax+b經過a（-1，0），c（3，-2），
代入得： 0=a+3a+b -2=9a-9a+b ．
∴ a=1 2 b=-2 ，
∴y=1 2 x2-3 2 x-2，
答：此拋物線的解析式為y=1 2 x2-3 2 x-2；
（2）y=1 2 x2-3 2 x-2=0，
∴x1=-1，x2=4，
∴b（4，0），
當x=0時，y=-2，
∴d（0，-2），
∵c（3，-2），
∴dc∥ab，
由勾股定理得：ad=bc= 5 ，
∴四邊形adcb是等腰梯形，
設直線ac的解析式是y=cx+d，
把a（-1，0），c（3，-2）代入得： 0=-c+d -2=3c+d ，
∴ c=-1 2 d=-1 2 ，
∴y=-1 2 x-1 2 ，
同理求出直線bd的解析式是y=1 2 x-2，
解 y=-1 2 x-1 2 y=1 2 x-2 得： x=3 2 y=-5 4 ，
代入y=kx+1得：k=-3 2 ，
答：k的值是-3 2 ；
（3）設q（m，n），則m（m+2，n），n（m，n-1），
代入y=1 2 x2-3 2 x-2中，得 1 2 (m+2)2-3 2 (m+2)-2=n ① 1 2 m2-3 2 m-2=n-1 ② ，
解得 m=1 n=-2 ，∴q（1，-2），n（1，-3），
又q的對應點為f（1，0），
∴qf的中點為旋轉中心p，
即p（1，-1），點n和點m的座標分別為：（1，-3），（3，-2）．
6. 圖1是邊長分別為4和3的兩個等邊三角形紙片abc和c′d′e′疊放在一起（c與c′重合）.
（1）操作：固定△abc，將△c′d′e′繞點c順時針旋轉30°得到△cde，鏈結ad、be，ce的延長線交ab於f（圖2）；
**：在圖2中，線段be與ad之間有怎樣的大小關係？試證明你的結論.（4分）
（2）操作：將圖2中的△cde，**段cf上沿著cf方向以每秒1個單位的速度平移，平移後的△cde設為△pqr（圖3）；
**：設△pqr移動的時間為x秒，△pqr與△abc重疊部分的面積為y，求y與x之間的函式解析式，並寫出函式自變數x的取值範圍.（5分）
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