中考數學一輪複習知識講解+例題解析+強化訓練
用函式的觀點看方程（組）與不等式
◆知識講解
1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函式的關係
一次函式及其影象與一元一次方程及一元一次不等式有著密切的關係，函式y=ax+b（a≠0，a，b為常數）中，函式的值等於0時自變數x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所對應的座標（－，0）是直線y=ax+b與x軸的交點座標，反過來也成立；直線y=ax+b在x軸的上方，也就是函式的值大於零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x軸的下方也就是函式的值小於零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．
2．座標軸的函式表示式
函式關係式x=0的影象是y軸，反之，y軸可以用函式關係式x=0表示；函式關係式y=0的影象是x軸，反之，x軸可以用函式關係式y=0表示．
3．一次函式與二元一次方程組的關係
一般地，每個二元一次方程組，都對應著兩個一次函式，於是也就是對應著兩條直線，從「數」的角度看，解方程相當於考慮自變數為何值時兩個函式的值相等，以及這兩函式值是何值；從形的角度考慮，解方程組相當於確定兩條直線的交點座標，所以一次函式及其影象與二元一次方程組有著密切的聯絡．
4．兩條直線的位置關係與二元一次方程組的解
（1）二元一次方程組有唯一的解直線y=k1x+b1不平行於直線y=k2x+b2 k1≠k2．
（2）二元一次方程組無解直線y=k1x+b1∥直線y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2．
（3）二元一次方程組有無數多個解直線y=k1x+b1與y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．
◆例題解析
例1 （2006，長河市）我市某鄉a，b兩村盛產柑橘，a村有柑橘200t，b村有柑橘300t．現將這些柑橘運到c，d兩個冷藏倉庫，已知c倉庫可儲存240t，d倉庫可儲存260t；從a村運往c，d兩處的費用分別為每噸20元和25元，從b村運往c，d兩處的費用分別為每噸15元和18元，設從a村運往c倉庫的柑橘重量為xt，a，b兩村運往兩倉庫的柑橘運輸費用分別為ya元和yb元．
（1）請填寫下表，並求出yb，ya與x之間的函式關係式；
（2）試討論a，b兩村中，哪個村的運費較少；
（3）考慮到b村的經濟承受能力，b村的柑橘運費不得超過480元．在這種情況下，請問怎樣調運，才能使兩村運費之和最小？求出這個最小值．
【分析】（1）根據運輸的噸數及運費單價可寫出y，y與x之間的函式關係．
（2）欲比較ya與yb的大小，應先討論ya=yb的大小，應先討論ya=yb或ya>yb或ya（3）根據已知條件求出x的取值範圍．根據一次函式的性質可知在此範圍內，兩村運費之和是如何變化的，進而可求出相應的值．
【解答】（1）
ya=－5x+5000（0≤x≤200），yb=3x+4680（0≤x≤200）．
（2）當ya=yb時，－5x+5000=3x+4680，x=40；
當ya>yb時，－5x+5000>3x+4680，x<40；
當ya40．
∴當x=40時，ya=yb即兩村運費相等；當0≤x<40時，ya>yb即b村運費較少；當40（3）由yb≤4830得 3x+4580≤4830．
∴x≤50．
設兩村運費之和為y，∴y=ya+yb，
即：y=－2x+9680．
又∵0≤x≤50時，y隨x增大而減小，
∴當x=50時，y有最小值，y最小值=9580（元）．
答：當a村調往c倉庫的柑橘重為50t，調運d倉庫為150t，b村調往c倉庫為190t，調往d倉庫110t的時候，兩村的運費之和最小，最小費用為9580元．
例2 某家庭今年3個月的煤氣量和支付費用見下表：
該市的煤氣收費方法是：基本費+超額費+保險費，若每月用氣量不超過最低量am3，則只付3元基本費和每戶的定額保險費c元；若用氣量超過acm3，則超過的部分每立方公尺支付b元，並知c≤5元，求a，b，c．
【分析】數學能幫助我們解決許多生活中的實際問題，本題要求a，b，c的值，不妨設每月用氣量為x（m2），支付費用為y（元），再根據題意列出x，y的關係表示式，即
y=由此可推斷出a，b，c的值．
【解答】設每月用氣量為xm3，支付費用為y元，根據題意得
y=∵c≤5， ∴c+3≤8
因2月份和3月份的費用均大於8，故用氣量大於最低限度am3，將x=25，y=14；x=35，y=19分別代入②得
④－③得：10b=5 ∴b=0.5
把b=0.5代入③得a=3+2c
又因1月份的用氣量是否超過最低限度尚不明確，故當a<4時，將x=4代入②得4=3+0.5[4－（3+2c）]+c，即
4=3.5－c+c不成立
則a≥4，此時的付款分式選①，有3+c=4
∴c=1
把x=1代入a=3+2c得a=5
∴a=5，．b=0.5，c=1．
【點評】本題要求a，b，c的值，表面看與一次函式無關，但實際上題中不僅包含函式關係，而且是乙個分段函式，求分段函式解析式的關鍵是分清各段的取值範圍，其條件分別在各自的取值範圍內使用，若有不確定的情形，須進行分類討論．
◆強化訓練
一、填空題
1．（2008，武漢）如圖1所示，直線y=kx+b經過a（－2，－1）和b（－3，0）兩點，則不等式組x 圖1圖2圖3
2．（2006，江蘇南通）如圖2，直線y=kx（k>0）與雙曲線y=交於a（x1，y1），b（x2，y2）兩點，則2x1y2－7x2y1的值等於_______．
3．如圖3所示，l甲，l乙分別表示甲走路與乙騎自行車（在同一條路上）行走的路程s與時間t的關係，觀察影象並回答下列問題：
（1）乙出發時，與甲相距______km；
（2）走了一段路後，乙的自行車發生故障，停下來修理，修車為_____h；
（3）乙從出發起，經過_____h與甲相遇；
（4）甲行走的路程s與時間t之間的函式關係式_______；
（5）如果乙自行車不出現故障，那麼乙出發後經過______h與甲相遇，相遇處離乙的出發點____km．並在圖中標出其相遇點．
4．直線y=－x+a與直線y=x+b的交點座標為（m，8），則a+b=______．
5．已知一次函式y=2x－a與y=3x－b的影象相交於x軸原點外一點，則=_____．
6．已知關於x的一次函式y=mx+2m－7在－1≤x≤5上的函式值總是正數，則m的取值範圍是_______．
7．若a（x1，y1），b（x2，y2）為一次函式y=3x－1影象上的兩個不同的點，且x1>x2，則y1與y2的大小關係是_______．
8．（2008，紹興）如圖4所示，已知函式y=x+b和y=ax+3的影象交點為p，則不等式x+b>ax+3的解集為________．
圖4圖5圖6
二、選擇題
9．函式y1=x+1與y2=ax+b（a≠0）的影象如圖5所示，這兩個函式影象的交點在y軸上，那麼使y1，y2的值都大於零的x的取值範圍是（ ）
a．x>－1 b．x<2 c．110．（2006，河南）如圖6，一次函式y=kx+b的影象經過a，b兩點，則kx+b>0的解集是（ ）
a．x>0 b．x>2 c．x>－3 d．－311．小亮用作影象的方法解二元一次方程組時，在同一直角座標系內作出了相應的兩個一次函式的影象l1，l2如圖所示，他解的這個方程組是（ ）
a． b．
cd．12．已知一次函式y=x+m和y=－x+n的影象都經過點a（－2，0），且與x軸交於a，b兩點，那麼△abc的面積是（ ）
a．2 b．3 c．4 d．6
13．（2006，山西太原）如圖所示的圖形都是二次函式y=ax2+bx+a2－1的影象，若b>0，則a的值等於（ ）
ab．－1 c． d．1
14．如圖，一次函式y=kx+6的影象經過a，b兩點，則kx+b>0的解集是（ ）
a．x>0 b．x<2
c．x>－3 d．－315．（2004，安徽省）購某種三年期國債x元，到期後可得本息和y元，已知y=kx，則這種國債的年利率為（ ）
a．k b． c．k－1 d．
三、解答題
16．（2006，浙江舟山）近階段國際石油迅速猛漲，中國也受期影響，為了降低執行成本，部分計程車進行了改裝，改裝後的計程車可以用液化氣來代替汽油．假設一輛計程車日平均行程為300km．
（1）使用汽油的計程車，假設每公升汽油能行駛12km，當前的汽油**為4.6元/l，當行駛時間為t天時，所耗的汽油費用為p元，試寫出p關於t的函式關係式；
（2）使用液化氣的計程車，假設每千克液化氣能行駛15～16km，當前的液化氣**為4.95元/kg，當行駛時間為t天時，所耗的液化氣費用為w元，試求w的取值範圍（用t表示）；
（3）若計程車要改裝為使用液化氣，每輛需配置成本為8000元的裝置，根據近階段汽油和液化氣的價位，請在（1）（2）的基礎上，計算出最多幾天就能收回改裝裝置的成本？並利用你所學的知識簡單說明使用哪種燃料的計程車對城市的健康發展更有益．（用20字左右談談感想）．
17．（2003，岳陽市）我市某化工廠現有甲種原料290kg，乙種原料212kg，計畫利用這兩種原料生產a，b兩種產品共80件．生產一件a產品需要甲種原料5kg，乙種原料1.5kg，生產成本是120元；生產一件b產品，需要甲種原料2.5kg，乙種原料3.
5kg，生產成本是200元．
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