2023年中考數學複習教材回歸知識講解+例題解析+強化訓練
二次函式
◆知識講解
①一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數且a≠0），那麼y叫做x的二次函式，它是關於自變數的二次式，二次項係數必須是非零實數時才是二次函式，這也是判斷函式是不是二次函式的重要依據．
②當b=c=0時，二次函式y=ax2是最簡單的二次函式．
③二次函式y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的三種表達形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道影象上的三個點的座標才能得出此解析式；頂點式：
y=a（x－h）2+k，通常要知道頂點座標或對稱軸才能求出此解析式；交點式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道影象與x軸的兩個交點座標x1，x2才能求出此解析式；對於y=ax2+bx+c而言，其頂點座標為（－，）．對於y=a（x－h）2+k而言其頂點座標為（h，k），由於二次函式的影象為拋物線，因此關鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對稱軸，頂點．
④二次函式y=ax2+bx+c的對稱軸為x=－，最值為，（k>0時為最小值，k<0時為最大值）．由此可知y=ax2的頂點在座標原點上，且y軸為對稱軸即x=0．
⑤拋物線的平移主要是移動頂點的位置，將y=ax2沿著y軸（上「＋」，下「－」）平移k（k>0）個單位得到函式y=ax2±k，將y=ax2沿著x軸（右「－」，左「＋」）平移h（h>0）個單位得到y=a（x±h）2．在平移之前先將函式解析式化為頂點式，再來平移，若沿y軸平移則直接在解析式的常數項後進行加減（上加下減），若沿x軸平移則直接在含x的括號內進行加減（右減左加）．
⑥在畫二次函式的影象拋物線的時候應抓住以下五點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點．
⑦拋物線y=ax2+bx+c的影象位置及性質與a，b，c的作用：a的正負決定了開口方向，當a>0時，開口向上，在對稱軸x=－的左側，y隨x的增大而減小；在對稱軸x=－的右側，y隨x的增大而增大，此時y有最小值為y=，頂點（－，）為最低點；當a<0時，開口向下，在對稱軸x=－的左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸x=－的右側，y隨x的增大而增大，此時y有最大值為y=，頂點（－，）為最高點．│a│的大小決定了開口的寬窄，│a│越大，開口越小，影象兩邊越靠近y軸，│a│越小，開口越大，影象兩邊越靠近x軸；a，b的符號共同決定了對稱軸的位置，當b=0時，對稱軸x=0，即對稱軸為y軸，當a，b同號時，對稱軸x=－<0，即對稱軸在y軸左側，垂直於x軸負半軸，當a，b異號時，對稱軸x=－>0，即對稱軸在y軸右側，垂直於x軸正半軸；c的符號決定了拋物線與y軸交點的位置，c=0時，拋物線經過原點，c>0時，與y軸交於正半軸；c<0時，與y軸交於負半軸，以上a，b，c的符號與影象的位置是共同作用的，也可以互相推出．
◆例題解析
例1 已知：二次函式為y=x2－x+m，（1）寫出它的影象的開口方向，對稱軸及頂點座標；（2）m為何值時，頂點在x軸上方，（3）若拋物線與y軸交於a，過a作ab∥x軸交拋物線於另一點b，當s△aob=4時，求此二次函式的解析式．
【分析】（1）用配方法可以達到目的；（2）頂點在x軸的上方，即頂點的縱座標為正；（3）ab∥x軸，a，b兩點的縱座標是相等的，從而可求出m的值．
【解答】（1）∵由已知y=x2－x+m中，二次項係數a=1>0，∴開口向上，
又∵y=x2－x+m=[x2－x+（）2]－ +m=（x－）2+
∴對稱軸是直線x=，頂點座標為（，）．
（2）∵頂點在x軸上方，
∴頂點的縱座標大於0，即》0
∴m>∴m>時，頂點在x軸上方．
（3）令x=0，則y=m．
即拋物線y=x2－x+m與y軸交點的座標是a（0，m）．
∵ab∥x軸
∴b點的縱座標為m．
當x2－x+m=m時，解得x1=0，x2=1．
∴a（0，m），b（1，m）
在rt△bao中，ab=1，oa=│m│．
∵s△aob =oa·ab=4．
∴│m│·1=4，∴m=±8
故所求二次函式的解析式為y=x2－x+8或y=x2－x－8．
【點評】正確理解並掌握二次函式中常數a，b，c的符號與函式性質及位置的關係是解答本題的關鍵之處．
例2 （2006，重慶市）已知：m，n是方程x2－6x+5=0的兩個實數根，且m （1）求這個拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一交點為c，拋物線的頂點為d，試求出點c，d的座標和△bcd的面積；
（3）p是線段oc上的一點，過點p作ph⊥x軸，與拋物線交於h點，若直線bc把△pch分成面積之比為2：3的兩部分，請求出p點的座標．
【分析】（1）解方程求出m，n的值．
用待定係數法求出b，c的值．
（2）過d作x軸的垂線交x軸於點m，可求出△dmc，梯形bdbo，△boc的面積，用割補法可求出△bcd的面積．
（3）ph與bc的交點設為e點，則點e有兩種可能：
①eh=ep， ②eh=ep．
【解答】（1）解方程x2－6x+5=0，
得x1=5，x2=1．
由m 所以點a，b的座標分別為a（1，0），b（0，5）．將a（1，0），b（0，5）的座標分別代入y=－x2+bx+c，
得解這個方程組，得
所以拋物線的解析式為y=－x2－4x+5．
（2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0．
解這個方程，得x1=－5，x2=1．
所以點c的座標為（－5，0），由頂點座標公式計算，得點d（－2，9）．
過d作x軸的垂線交x軸於m，如圖所示．
則s△dmc=×9×（5－2）=．
s梯形mdbo=×2×（9+5）=14，
s△bdc =×5×5=．
所以s△bcd =s梯形mdbo+s△dmc －s△boc =14+－=15．
（3）設p點的座標為（a，0）
因為線段bc過b，c兩點，所以bc所在的直線方程為y=x+5．
那麼，ph與直線bc的交點座標為e（a，a+5），ph與拋物線y=－x2+4x+5的交點座標為h（a，－a2－4a+5）．
由題意，得①eh=ep，即
（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）．
解這個方程，得a=－或a=－5（捨去）．
②eh=ep，得
（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）．
解這個方程，得a=－或a=－5（捨去）．
p點的座標為（－，0）或（－，0）．
例3 （2006，山東棗莊）已知關於x的二次函式y=x2－mx+與y=x2－mx－，這兩個二次函式的影象中的一條與x軸交於a，b兩個不同的點．
（1）試判斷哪個二次函式的影象經過a，b兩點；
（2）若a點座標為（－1，0），試求b點座標；
（3）在（2）的條件下，對於經過a，b兩點的二次函式，當x取何值時，y的值隨x值的增大而減小？
【解答】（1）對於關於x的二次函式y=x2－mx+．
由於b2－4ac=（－m）－4×1×=－m2－2<0，
所以此函式的影象與x軸沒有交點．
對於關於x的二次函式y=x2－mx－．
由於b2－4ac=（－m）2－4×1×=3m2+4>0，
所以此函式的影象與x軸有兩個不同的交點．
故影象經過a，b兩點的二次函式為y=x2－mx－．
（2）將a（－1，0）代入y=x2－mx－．
得1+m－=0．
整理，得m2－2m=0．
解得m=0或m=2．
當m=0時，y=x2－1．令y=0，得x2－1=0．
解這個方程，得x1=－1，x2=1．
此時，點b的座標是b（1，0）．
當m=2時，y=x2－2x－3．令y=0，得x2－2x－3=0．
解這個方程，得x1=1，x2=3．
此時，點b的座標是b（3，0）．
（3）當m=0時，二次函式為y=x2－1，此函式的影象開口向上，對稱軸為x=0，
所以當x<0時，函式值y隨x的增大而減小．
當m=2時，二次函式為y=x2－2x－3=（x－1）2－4，此函式的影象開口向上，對稱軸為x=1，所以當x<1時，函式值y隨x的增大而減小．
【點評】本題是一道關於二次函式與方程、不等式有關知識的綜合題，但它仍然是反映函式影象上點的座標與函式解析式間的關係，抓住問題的實質，靈活運用所學知識，這類綜合題並不難解決．
◆強化訓練
一、填空題
1．（2006，大連）右圖是二次函式y1=ax2+bx+c和一次函式y2=mx+n的影象，觀察影象寫出y2≥y1時，x的取值範圍_______．
2．（2005，山東省）已知拋物線y=a2+bx+c經過點a（－2，7），b（6，7），c（3，－8），則該拋物線上縱座標為－8的另一點的座標是_______．
3．已知二次函式y=－x2+2x+c2的對稱軸和x軸相交於點（m，0），則m的值為______．
4．（2005，溫州市）若二次函式y=x2－4x+c的影象與x軸沒有交點，其中c為整數，則c=_______（只要求寫出乙個）．
5．（2005，黑龍江省）已知拋物線y=ax2+bx+c經過點（1，2）與（－1，4），則a+c的值是______．
6．甲，乙兩人進行羽毛球比賽，甲發出一十分關鍵的球，出手點為p，羽毛球飛行的水平距離s（m）與其距地面高度h（m）之間的關係式為h=－s2+s+．如下左圖所示，已知球網ab距原點5m，乙（用線段cd表示）扣球的最大高度為m，設乙的起跳點c的橫座標為m，若乙原地起跳，因球的高度高於乙扣球的最大高度而導致接球失敗，則m的取值範圍是______．
7．（2005，甘肅省）二次函式y=x2－2x－3與x軸兩交點之間的距離為______．
8．（2008，甘肅慶陽）蘭州市「安居工程」新建成的一批樓房都是8層高，房子的**y（元/m2）隨樓層數x（樓）的變化而變化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知點（x，y）都在乙個二次函式的影象上（如上右圖），則6樓房子的**為_____元/m2．
二、選擇題
9．（2008，長沙）二次函式y=ax2+bx+c的影象如圖所示，則下列關係式不正確的是（ ）
a．a<0 b．abc>0 c．a+b+c<0 d．b2－4ac>0
第9題第12題第15題)
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