1.（資陽市）如圖5-1，已知p為正方形abcd的對角線ac上一點(不與a、c重合)，pe⊥bc於點e，pf⊥cd於點f.
(1) 求證：bp=dp；
(2) 如圖5-2，若四邊形pecf繞點c按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中是否總有bp=dp？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明；
(3) 試選取正方形abcd的兩個頂點，分別與四邊形pecf的兩個頂點鏈結，使得到的兩條線段在四邊形pecf繞點c按逆時針方向旋轉的過程中長度始終相等，並證明你的結論 .
2.（武漢市）如圖6－1是乙個美麗的風車圖案，你知道它是怎樣畫出來的嗎？按下列步驟可畫出這個風車圖案：
在圖6－2中，先畫線段oa，將線段oa平移至cb處，得到風車的第乙個葉片f1，然後將第乙個葉片oabc繞點o逆時針旋轉180°得到第二個葉片f2，再將f1、f2同時繞點o逆時針旋轉90°得到第
三、第四個葉片f3、f4.根據以上過程，解答下列問題：
(1)若點a的座標為(4，0)，點c的座標為(2，1)，寫出此時點b的座標；
(2)請你在圖6－2中畫出第二個葉片f2；
(3)在(1)的條件下，連線ob，由第乙個葉片逆時針旋轉180°得到第二個葉片的過程中，線段ob掃過的圖形面積是多少？
3.如圖7，在直角座標系中，已知點p0的座標為(1,0)，將線段op0按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為op0的2倍，得到線段op1；又將線段op1按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為op1的2倍，得到線段op2；如此下去，得到線段op3，op4，…，opn（n為正整數）.
（1）求點p6的座標
（2）求△p5op6的面積；
（3）我們規定：把點pn(xn,yn)（n=0,1,2,3,…）的橫座標xn、縱座標yn都取絕對值後得到的新座標(|xn|,|yn|)稱之為點pn的「絕對座標」．根據圖中點pn的分布規律，請你猜想點pn的「絕對座標」，並寫出來．
4.（台州市）把正方形abcd繞著點a，按順時針方向旋轉得到正方形aefg，邊fg與bc交於點h（如圖8）．試問線段hg與線段hb相等嗎？請先觀察猜想，然後再證明你的猜想．
5.（浙江省）如圖9－1，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖9－2）， 量得他們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角形紙片擺成如圖9－3的形狀，但點b、c、f、d在同一條直線上，且點c與點f重合（在圖9－3至圖9－6中統一用f表示）
圖9－1圖9－2圖9－3
小明在對這兩張三角形紙片進行如下操作時遇到了三個問題，請你幫助解決.
（1）將圖9－3中的△abf沿bd向右平移到圖9－4的位置，使點b與點f 重合，請你求出平移的距離；
（2）將圖9－3中的△abf繞點f順時針方向旋轉30°到圖9－5的位置，a1f交de於點g，請你求出線段fg的長度；
（3）將圖9－3中的△abf沿直線af翻摺到圖9－6的位置，ab1交de於點h，請證明：ah﹦dh.
圖9－4 圖9－5 圖9－6
參***
1. 解：（1）解法一：在△abp與△adp中，利用全等可得bp=dp.
解法二：利用正方形的軸對稱性，可得bp=dp.
（2）不是總成立 .
當四邊形pecf繞點c按逆時針方向旋轉，點p旋轉到bc邊上時，dp>dc>bp，此時bp=dp不成立.
（3）連線be、df，則be與df始終相等.
在圖1-1中，可證四邊形pecf為正方形，
在△bec與△dfc中，可證△bec≌△dfc .
從而有 be=df .
2. 解：（1）b（6,1）
（2）圖略
（3）線段ob掃過的圖形是乙個半圓.過b作bd⊥x軸於d.由（1）知b點座標為（6,1），∴ob2＝od2＋bd2＝62＋12＝37.∴線段ob掃過的圖形面積是.
3. 解：（1）根據旋轉規律，點p6落在y軸的負半軸，而點pn到座標原點的距離始終等於前乙個點到原點距離的倍，故其座標為p6(0,26)，即p6(0,64)．
（2）由已知可得，
△p0op1∽△p1op2∽…∽△pn-1opn，
設p1(x1,y1)，則y1=2sin45°=,∴.
又∵,∴.
（3）由題意知，op0旋轉8次之後回到x軸正半軸，在這8次中，點pn分別落在座標象限的平分線上或x軸或y軸上，但各點絕對座標的橫、縱座標均為非負數，因此，點pn的座標可分三類情況：令旋轉次數為n.
①當n=8k或n=8k+4時（其中k為自然數），點pn落在x軸上，此時，點pn的絕對座標為(2n,0)；
②當n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時（其中k為自然數），點pn落在各象限的平分線上，
此時，點pn的絕對座標為，即.
③當n=8k+2或n=8k+6時（其中k為自然數），點pn落在y軸上，此時，點pn的絕對座標為(0,2n)．
4. 解：hg＝hb．
證法1：鏈結ah（如圖10）.
∵四邊形abcd，aefg都是正方形，
∴∠b＝∠g＝90°．
由題意，知ag＝ab，又ah＝ah，
∴rt△agh≌rt△abh（hl）.
∴hg=hb．
證法2：鏈結gb（如圖11）．
∵四邊形abcd，aefg都是正方形，
∴∠abc＝∠agf＝90°．
由題意知ab＝ag．
∴∠agb＝∠abg．
∴∠hgb＝∠hbg．
∴hg＝hb．
5. 解：（1）圖形平移的距離就是線段bc的長.
∵在rt△abc中，斜邊長為10cm，∠bac=30°，∴bc=5cm.
∴平移的距離為5cm．（2分）
（2）∵∠a1fa＝30°，∴∠gfd＝60°.又∠d=30°，
∴∠fgd＝90°．
在rt△efd中，ed=10 cm，∴ .
∵fg＝cm．
（3）在△ahe與△dhb1中，∠fab1＝∠edf＝30°.
∵fd＝fa，ef＝fb＝fb1，
∴fd－fb1＝fa－fe，即ae＝db1．
又∵∠ahe＝∠dhb1，∴△ahe≌△dhb1（aas）．
∴ah＝dh.
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