幾何圖形的證明與計算
1.如圖，在正方形abcd中，e是邊ab上的一動點（不與a，b重合），連線de，點a關於de的對稱點為f，連線ef並延長交bc於點g，連線dg，過點e作eh⊥de交dg的延長線於點h，連線bh．
（1）求證：gf=gc；
（2）用等式表示線段bh與ae的數量關係，並證明；
（3）若正方形abcd的邊長為4，取dh的中點m，請直接寫出線段bm長的最小值
第1題圖
證明：（1）如解圖，連線df，
∵四邊形abcd是正方形，
∴da=dc，∠a=∠c=90°，
∵點a關於直線de的對稱點為f，
∴△ade≌△fde第1題解圖
∴da=df=dc，∠dfe=∠a=90°，∴∠dfg=90°，
在rt△dfg和rt△dcg中，
∵，∴△dfg≌△dcg（hl），
∴gf=gc；
（2）結論：bh= ae，證明如下：
證法一：如解圖，**段ad上擷取am，使am=ae第1題解圖
∵ad=ab，
∴dm=be，
由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠adc=90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴2∠2+2∠3=90°，
∴∠2+∠3=45°，
即∠edg=45°，
∵eh⊥de，
∴∠deh=90°，△deh是等腰直角三角形，
∴∠aed+∠beh=∠aed+∠1=90°，de=eh，
∴∠1=∠beh，
在△dme和△ebh中，
∵，∴△dme≌△ebh（sas），
∴em=bh，
rt△aem中，∠a=90°，am=ae，
∴em=ae，
∴bh=ae；
（3）如解圖中，取de的中點o，連線om，oa，am，em．
∵△deh是等腰直角三角形，dm=hm，
∴em=dm=hm，em⊥dm，
∵∠dae=∠dme=90°，od=oe，
∴do=oa=oe=om，
∴a，d，m，e四點共圓第1題解圖
∴∠mab=∠mde=45°，
∴∠dam=∠mab，
∴點m在正方形的對角線ac上，當bm⊥am時，bm的值最小，最小值為2．
2.如圖，在矩形abcd中，對角線ac的垂直平分線與邊ad、bc分別交於點e、f，鏈結af、ce．
（1）試判斷四邊形afce的形狀，並說明理由；
（2）若ab=5，2ae=3bf，求ef的長；
（3）鏈結be，若be⊥ce，求的值.
第2題圖
解：（1）四邊形afce是菱形．
理由：∵四邊形abcd是矩形，
∴ad∥bc，ad=bc，
∴∠eao=∠fco，
∵ef是ac的垂直平分線，
∴ao=co，∠eoa=∠foc=90°，
在△aeo和△cfo中，
∴△aeo≌△cfo（asa），
∴ae=cf，
∴四邊形afce是平行四邊形，
又∵ac⊥ef，
∴四邊形afce是菱形；
（2）∵2ae=3bf，
∴可以假設ae=3m，bf=2m，
∵四邊形aecf是菱形，
∴af=ae=3m第2題解圖
在rt△abf中，，∵ab2+bf2=af2，
∴25+4m2=9m2，
∴m=∴af=fc=，
bf= ，
∴bc= ，
∵四邊形abcd是矩形，
∴∠abc=90°，
ac=,
∴oc=,
∵tan∠ocf=,
∴,∴of=
∴△aeo≌△cfo
∴oe=of,∴ef=2of=.
（3）設ae=a，bf=b則af=cf=ec=a，bc=a+b，bf=de=b．
∵四邊形abcd是矩形，
∴ad∥cb，
∴∠dec=∠bce，
∵be⊥ce，
∴∠bec=∠d=90°，
∴△cde∽△bec，
∴，∴，
∴b2+ab－a2=0，
∴+－1=0
∴（捨棄）.
∴.3. (1)已知：△abc是等腰三角形，其底邊是bc，點d**段ab上，e是直線bc上一點，且∠dec＝∠dce，若∠a＝60°(如圖①)．求證：eb＝ad；
(2)若將(1)中的「點d**段ab上」改為「點d**段ab的延長線上」，其它條件不變(如圖②)，(1)的結論是否成立，並說明理由；
(3)若將(1)中的「若∠a＝60°」改為「若∠a＝90°」，其它條件不變，則的值是多少？(直接寫出結論，不要求寫解答過程)
第3題圖
(1)證明：如解圖①所示，過點d作df∥bc交ac於點f，則ad＝af，
∴∠fdc＝∠dce，
∵∠a＝60°，
∴df＝ad＝af，
又∵∠deb＝∠dce，
∴∠fdc＝∠deb，第3題解圖①
又ed＝cd，∠dbe＝∠dfc＝120°，
∴△dbe≌△cfd(aas)，∴eb＝df，
∴eb＝ad.
(2)解：eb＝ad成立．理由如下：
如解圖②所示，過點d作df∥bc交ac的延長線於f，
則ad＝af＝df，∠fdc＝∠ecd，
又∵∠dec＝∠ecd，
∴∠fdc＝∠dec，ed＝cd，
又∠dbe＝∠dfc＝60°，第3題解圖②
∴△dbe≌△cfd(aas)；
∴eb＝df，
∴eb＝ad.
(3) 解：＝.
【解法提示】過點d作bc的垂線，根據等腰直角三角形的性質，可以得出線段間關係，進而求得所需答案.
4. 如圖，正方形abcd，將邊cd繞點c順時針旋轉60°，得到線段ce，連線de，ae，bd，ae與bd交於點f．
（1）求∠afb的度數；
（2）求證：bf=ef；
第4題圖
解：（1）∵四邊形abcd是正方形，
∴∠adb=∠adc=45°，
由旋轉得：cd=ce，∠dce=60°，
∴△dce是等邊三角形，
∴cd=de=ad，
∠ade=90°+60°=150°，
∴∠dae=∠dea=15°，
∴∠afb=∠fad+∠adb=15°+45°=60°；
（2）如解圖，連線cf，
∵△cde是等邊三角形，
∴∠dec=60°，
∵∠dea=15第4題解圖
∴∠cef=∠cbf=45°，
∵四邊形abcd是正方形，
∴ad=cd，∠adf=∠cdf=45°，
∵df=df，
∴△adf≌△cdf（sas），
∴∠daf=∠dcf=15°，
∴∠fcb=90°－15°=75°，
∠ecf=60°+15°=75°，
∴∠fcb=∠ecf，
∵cf=cf，
∴△ecf≌△bcf（sas），
∴bf=ef；
5、如圖，點o是等邊△abc內一點，將△boc繞點c按順時針方向旋轉60°得△adc，連線od.已知∠aob＝110°.
(1)求證：△cod是等邊三角形；
(2)當α＝150°時，試判斷△aod的形狀，並說明理由；
(3)**：當α為多少度時，△aod是等腰三角形．
第5題圖
(1)證明：由旋轉的性質可得，co＝cd，∠ocd＝60°，
∴△cod是等邊三角形；
(2)解：當α＝150°，即∠boc＝150°時，△aod是直角三角形．理由如下：
∵△boc≌△adc，
∴∠adc＝∠boc＝150°，
又∵△cod是等邊三角形，
∴∠odc＝60°，
∴∠ado＝90°，
即△aod是直角三角形；
(3)解：分三種情況討論：
①ao＝ad，∴∠aod＝∠ado，
∵∠aod＝360°－∠aob－∠cod－α＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠ado＝α－60°，
∴190°－α＝α－60°，
∴α＝125°；
②oa＝od，∴∠oad＝∠ado，
∵∠aod＝190°－α，
∠ado＝α－60°，
∴∠oad＝180°－(∠aod＋∠ado)＝50°，
∴α－60°＝50°，
∴α＝110°；
③od＝ad，∴∠aod＝∠oad，
∴190°－α＝50°，
∴α＝140°；
綜上所述：當α的度數為125°或110°或140°時，△aod是等腰三角形．
6.如圖①，將一張矩形紙片abcd沿著對角線bd向上摺疊，頂點c落到點e處，be交ad於點f.
(1)求證：△bdf是等腰三角形；
(2)如圖②，過點d作dg∥be，交bc於點g，連線fg交bd於點o.判斷四邊形bfdg的形狀，並說明理由；
（3）在（2）的基礎上，若ab＝6，ad＝8，求fg的長．
第6題圖
(1)證明：由摺疊的性質可得，∠dbc＝∠dbf，
∵四邊形abcd是矩形，
∴ad∥bc，
∴∠adb＝∠dbc，
∴∠dbf＝∠adb，
∴bf＝df，
∴△bdf是等腰三角形；
(2)解：四邊形bfdg是菱形．
理由：∵四邊形abcd是矩形，
∴ad∥bc，即df∥bg，
∵dg∥bf，∴四邊形bfdg是平行四邊形，
∵bf＝df((1)中已證)，
∴平行四邊形bfdg是菱形；
（3）解：∵矩形abcd中ab＝6，ad＝8，∠a＝90°，
∴bd＝＝10，
∵四邊形bfdg是菱形，
∴bd⊥gf，gf＝2of，bd＝2od，
∴od＝5，∴tan∠adb＝＝=，
∴of＝，
∴fg＝.
7.如圖，正方形abcd的邊長是16，點e在邊ab上，ae＝3，動點f在邊bc上，且不與點b，c重合，將△ebf沿ef摺疊，得到△eb′f.
(1)當∠bef＝45°時，求證：cf＝ae；
(2)當b′d＝b′c時，求bf的長；
(3)求△cb′f周長的最小值．
第7題圖
(1)證明：如解圖①，
第7題解圖①
當∠bef＝45°時，易知四邊形beb′f是正方形，
∴bf＝be，
∵ab＝bc，
∴cf＝ae；
(2)解：如解圖②，作b′n⊥bc於點n，nb′的延長線交ad於點m，作eg⊥mn於點g，則四邊形mncd、四邊形aegm都是矩形．
第7題解圖②
∵b′d＝b′c，
∴∠b′dc＝∠b′cd，
∵∠adc＝∠bcd＝90°，
∴∠b′dm＝∠b′cn，
∵∠b′md＝∠b′nc＝90°，
∴△b′md≌△b′nc(aas)，
∴b′m＝b′n＝8，
∵ae＝mg＝3，
∴gb′＝5，
在rt△egb′中，eg＝＝＝12，
∵∠eb′g＋∠fb′n＝90°，
∠fb′n＋∠b′fn＝90°，
∴∠eb′g＝∠b′fn，
∵∠egb′＝∠fnb′＝90°，
∴△egb′∽△b′nf，
∴＝，∴＝，
∴bf＝b′f＝；
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