知識梳理
計算與證明類問題在中考試題中以中檔題居多，但一般情況下中考壓軸題的前l～2問也可能涉及到計算與證明問題．此類問題主要涉及等腰三角形的性質和判定、勾股定理、平行四邊形(含矩形、菱形、正方形)的性質和判定、相似三角形梯形的性質以及圓的切線性質和判定等中考知識要點；問題的形式有求線段的長度、角的度數、圖形的面積等有關計算問題，求證線段相等、角度相等、三角形全等或相似、線段垂直或平行、確定三角形或四邊形的形狀等證明問題，以及判斷圖形全等或相似、直線平行或垂直、新增條件使圖形變為特殊圖形、判斷圓的切線等有關開放探索型問題；解決計算和證明問題的方法主要有觀察實驗、分析綜合、猜想發現、歸納模擬、數形結合、方程函式模型等數學思想方法．
典型例題
【例1】 (08天津)如圖，在正方形abcd中，e為ab
邊的中點，g，f分別為ad，bc邊上的點，若ag=1，bf
=2，∠cef=90°，則gf的長為
【解】3
【例2】 (08麗水)如圖，在三角形abc中，ab>ac，
d、e分別是ab、ac上的點，△ade沿線段de翻
折，使點a落在邊bc上，記為a′．若四邊形ada′e
是菱形，則下列說法正確的是
a．de是△abc的中位線 b．aa′是bc邊上的中線
c．aa′是bc邊上的高 d．aa′是△abc的角平分線
【分析】 依據翻摺和菱形性質可推出aa′是△abc的角平分線．
【解】 d
【例3】(08**)如圖，把一張矩形的紙abcd沿對角線bd摺疊，使點c落在點e處，be與ad交於點f．
(1)求證：△abf≌△edf：
(2)若將摺疊的圖形恢復原狀，點f與bc邊上的點m正好重合，連線dm，試判斷四邊形bmdf的形狀，並說明理由．
【分析】 (1)由矩形的性質以及摺疊圖形是全等形找出三角形全等的條件；(2)由(1)知鄰邊df=bf，及ad∥bc可判斷四邊形bmdf是菱形．
【解】 (1)證明：由摺疊可知，cd=ed，∠e=∠c．在矩形abcd中，ab=cd，∠a=∠c， ab=ed，∠a=∠e．∠afb=∠efd，△afb≌△efd．
(2)四邊形bmdf是菱形．理由：由摺疊可知：bf=bm，df=dm．由(1)知△afb≌△efd， bf=df． bm=bf=df=dm．四邊形bmdf是菱形．
【例4】(08泰安)如圖所示，△abc是直角三角形，∠abc=90°，
以ab為直徑的⊙o交ac於點e，點d是bc邊的中點，鏈結de．
(1)求證：de與⊙o相切；
(2)若⊙o的半徑為，de=3，求ae．
【分析】 (1)鏈結oe，證明oe⊥de；(2)先運用勾股定理求出ac的長，再運用面積法求出be，最終求出ae．
【解】(1)證明：鏈結oe，beab是直徑， be⊥ac． d是bc的中點， de=db，∠dbe=∠deb．又oe=ob，∠obe=∠oeb，∠dbe+∠obe=∠deb+∠oeb．
即∠abd=∠oed但∠abc=90°．∠oed=90°，de是⊙o的切線．
(2)【例5】(08茂名)如圖，在等腰梯形abcd中，已知ad∥bc，ab=dc，ad=2，bc=4，延長bc至e．使ce=ad．
(1)寫出圖中所有與△dce全等的三角形，並
選擇其中一對說明全等的理由；
(2)**當等腰梯形abcd的高df是多少時，
對角線ac與bd且相垂直?請回答並說明理由．
【分析】 (1)找出與△dce中的一邊相等的線段所在三角形，再判斷此三角形與△dce是否全等；(2)採用假設法，若ac與bd垂直，由等腰梯形的性質可推出∠dbc=45°，從而反推出當df=be= (bc+ce)= (bc+ad)=3時對角線ac與bd互相垂直．
【解】 (1)△cda≌△dce，△bad≌△dce；
①△cda≌△dce的理由是： ad∥bc，
∠cda=∠dce．
又da=ce，cd=dc，△cda≌△dce．
或 ②△bad≌△dce的理由是：
ad∥bc，∠cda=∠dce．又四邊形abcd是等腰梯形，∠bad=∠cda，∠bad=∠dce．又ab=cd，ad=ce，△bad≌adce．
(2)當等腰梯形abcd的高df=3時，對角線ac與bd互相垂直．
理由是：設ac與bd的交點為點g，四邊形abcd是等腰梯形， ac=db．
又ad=ce，ad∥bc，四邊形aced是平行四邊形． ac=de，ac∥de．
db=de．則bf=fe．又be=bc+ce=bc+ad=4+2=6， bf=fe=3． df=3，∠bdf=∠dbf=45°，∠edf=∠def=45°．∠bde=∠bdf+∠edf=90°．又ac∥de，∠bgc=∠bde=90°，即ac⊥bd．
【例4】 (08茂名)如圖，⊙o是△abc的外接圓，且
ab=ac，點d在弧bc上運動，過點d作de∥bc，
de交ab的延長線於點e，鏈結ad、bd．
(1)求證：∠adb=∠e；
(2)當點d運動到什麼位置時，de是⊙o的切線?請說明理由．
(3)當ab=5，bc=6時，求⊙o的半徑．
【分析】 (1)證明角相等，可以通過等量傳遞相等的方法，找出圖形中相等的量即可，這可以運用條件中的ab=ac、de∥bc、圓周角的性質來完成；(2)由圓和等腰三角形的對稱性，猜測當點d運動到弧bc的中點時de是⊙o的切線，並運用切線的判定定理加以證明；(3)圖中沒有半徑，可以鏈結ao、bo等線段構造出半徑，由條件ab=5，bc=6，可以延長ao，構造直角三角形利用勾股定理求出圓的半徑．
【解】(1)在△abc中， ab=ac，∠abc=∠c． de∥bc，∠abc=∠e，
∠e=∠c．又∠adb=∠c，∠adb=∠e．
(2)當點d是弧bc的中點時，de是⊙o的切線．
理由是：當點d是弧bc的中點時，則有ad⊥
bc，且ad過圓心o．
又de∥bc． ad⊥ed．
de是⊙o的切線．
(3)鏈結bo、ao，並延長ao交bc於點f，
則af⊥bc，且bf=bc=3．
又ab=5， af=4．
設⊙o的半徑為r，在rt△obf中，of=4－r，ob=r，bf=3．
r2=32+(4－r) 2
解得，⊙o的半徑是．
**訓練
1．如圖，在□abcd中，e是bc的中點，且
∠aec=∠dce，則下列結論不正確的是
a．s△afd=2s△efbb．bf=df
c．四邊形aecd是等腰梯形 d．∠aeb=∠adc
2．(08瀋陽)如圖所示，正方形abcd中，點e是cd邊上一點，連線ae，交對角線bd於點f，連線cf，則圖中全等三角形共有
a．1對 b．2對 c．3對 d．4對
3．如圖，某花木場有一塊如等腰梯形abcd的空地，各邊的中點分別是e、f、g、h，用籬笆圍成的四邊形efgh場地的周長為40 cm，則對角線ac=________cm．
4．(08宜賓)如圖所示，在平行四邊形ab=cd中，e、f分別是邊ad、bc的中點，ac分別交be、df於點m、n．給出下列結論：①△abm≌△cdn；②am=ac；③dn=2nf；④．其中正確的結論是只填序號)．
5．(08安徽)已知：點o到△abc的兩邊ab、ac所在直線的距離相等，且ob=oc．
(1)如圖1，若點o在bc上，求證：ab=ac；
(2)如圖2，若點o在△abc的內部，求證：ab=ac：
(3)若點o在△abc的外部，ab=ac成立嗎?請畫圖表示．
6．如圖，ab為⊙o的直徑，pq切⊙o於t，ac⊥pq於c，交⊙o於d．
(1)求證：at平分∠bac；
(2)若ad=2，，求⊙o的半徑．
7．(08宜昌)如圖，⊙o的半徑od經過弦ab(不是直徑)的中點c，過ab的延長線上一點p作⊙o的切線pe，e為切點，pe∥od；延長直徑ag交pe於點h；直線dg交oe於點f，交pe於點k．
(1)求證：四邊形ocpe是矩形；
(2)求證：hk=hg；
(3)若ef=2，fo=1，求ke的長．
參***
1．a 2．c 3．20 4．①②③
5．證明：(1)過點o分別作oe⊥ab，of⊥ac，e、f分別是垂足，由題意知，oe=of，ob=ocrt△oeb≌rt△ofc．∠b=∠c，從而ab=ac．
(2)過點o分別作oe⊥ab，of⊥ac，ef分別是垂足，由題意知，oe=of．在rt △oeb和rt△ofc中， oe=of，ob=oc， rt△oeb≌rt△ofc．∠obe=∠ocf，又由ob=oc知∠obc=∠ocb，∠abc=∠acb， ab=ac．
(3)不一定成立．(注：當∠a的平分線所在直線與邊bc的垂直平分線重合時，有ab=ac；否則，ab≠ac，如示例圖)
6．(1)證明：連線ot， pq切⊙o於t，ot⊥pq．又ac⊥pq， ot∥ac， ∠tac=∠ato．又ot=oa，∠ato=∠oat．∠oat=∠tac，即at平分∠bac．
(2)解：過點o作om⊥ac於m， ．又∠otc=∠act=∠omc=90°四邊形otcm為矩形． om=tc=， 在rt△aom中，．即⊙o的半徑為2．
7．(1) ac=bc，ab不是直徑， od⊥ab，∠pco=90°．pe∥od，∠p=90°． pe是切線，∠peo=90°．四邊形ocpe是矩形．
(2) og=od，∠ogd=∠odg． pe∥od，∠k=∠odg．∠ogd=∠hgk，∠k=∠hgk， hk=hg．
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