解答綜合題
綜合題是指在一道題中將代數、幾何等內容進行綜合考查的題目，這類題目有這樣一些特點：
1、常常作為中考數學試卷的壓軸題，通常在乙個大題下，以幾個小題的形式出現。
2、通常是全卷最難的題目，但每個小題的難度卻不相同，往往（1）小題可能比前面的題目要簡單很多，而（2）小題、（3）小題的難度會逐步以較大幅度增加。
3、題目的閱讀量不一定很大，但計算量卻較大，對計算的熟練程度要求較高，稍有不慎可能會做而做錯。
4、題目放在最後，時間緊張，心理壓力大，不容易集中精力，往往不能很好的發揮自己的水平。
根據這些題目的特點，提出以下建議：
對於中等水平的考生，可以放棄這些題目的解答，將時間用在前110分的題目上，完成這些題目的解答後將剩餘的時間用來檢查前面題目的解答是否正確，保證將會做得題目做對，將分拿到手。
對於平時程度較好的同學，在保證前面分能夠拿到手之後還有時間，不妨完成在最後這道題目的前面的小題，爭取做對，多拿一些分。
對於數學成績特別優秀的學生，完成前面的題目用不了很多時間，會留下很多時間，但不應急於解答壓軸題，也應該先檢查前面解答題目的過程和結果是否正確，確保前面分拿到手，然後集中精力完成最後一題的解答。
本文中選擇了一些題目和解答供有能力的同學選用。
例1 如圖，矩形的長、寬分別為和1，且，點e，連線．
（1）求經過三點的拋物線的表示式；
（2）若以原點為位似中心，將五邊形放大，使放大後的五邊形的邊長是原五邊形對應邊長的3倍．在下圖網格中畫出放大後的五邊形a/e/d/c/b/；
（3）經過三點的拋物線能否由（1）中的拋物線平移得到？請說明理由．
解：（1）設經過三點的拋物線為
（a≠0）．
．∴，解得 ．
∴過三點的拋物線的表示式為．
確定二次函式的解析式通常使用「待定係數法」，關鍵是正確列、解多元方程組。
（2）（3）不能．理由如下：
設經過三點的拋物線的表示式為（a/≠0）．
，∴解得 ．
∵，∴∴經過三點的拋物線不能由（1）中拋物線平移得到．
注意：解題中使用的作為依據來說明「經過三點的拋物線不能由（1）中拋物線平移得到」，表明兩條拋物線的開口大小不同，因此，兩條拋物線的形狀不同。
本題還可以這樣來解：
過三點的拋物線的表示式為= -2（x-）2+2
點e（，2）正好是拋物線的頂點
將y= -2（x-）2+2變形為y-2= -2（x-）2
令y-2=y / ，x-= x /
∴過a、e、d三點的拋物線為：y / = -2 x /2
假設經過三點的拋物線由（1）中拋物線平移得到，那麼點
e /（，6）應該還是拋物線的頂點，將點e（，2）平移到點e/（，6），橫座標向右平移了3個單位，縱座標向上平移了4個單位，這時拋物線的方程可以寫成：y / -4= -2 （x /-3）2，則經過三點的拋物線應是：
y= -2（x-）2+6，這時點a/（3，）應該在拋物線y= -2（x-）2+6上，但將其座標代入等式不成立。故經過三點的拋物線不能由（1）中拋物線平移得到。
注意：這裡使用了「反證法」，即提出與結論相反的假設，然後進行推理，推出錯誤，反究錯誤產生的原因是「假設」錯誤。因此原結論成立。
也就是說，我們從上面的草圖中看出「經過三點的拋物線不能由（1）中拋物線平移得到」，這時，為了說明這個結論是正確的，我們提出了與結論相反的「假設」，然後進行推理，最後，點a/（3，）應該在拋物線
y= -2（x-3）2+8上，其座標代入拋物線的解析式後等式應該成立，但實際代入後不成立，說明前面一定出現了錯誤，但整個推理過程都是正確的，究其錯誤原因是假設錯誤，由此可得出結論「經過三點的拋物線不能由（1）中拋物線平移得到。」
另外，將點m（x,y）向右平移2個單位後，得到點m/（x-2,y）,再將點m/向上平移3個單位後，得到點m//（x-2,y-3）。同理，拋物線y / = -2 x /2上所有點橫座標向右平移了3個單位，縱座標向上平移了4個單位，這時拋物線的方程可以寫成：y / -4= -2 （x /-3）2。
例2 如圖，拋物線y＝x2＋bx－2與x軸交於a，b兩點，與y軸交於c點，且a(－1，0)．
（1）求拋物線的解析式及頂點d的座標；
（2）判斷的形狀，證明你的結論；
解：（1）點在拋物線上，
，．∴拋物線的解析式為．
，∴頂點的座標為．
（2）當時，，．
當時，，，，．
，，．，，，
．是直角三角形．
注意：1、利用「配方法」求拋物線的頂點座標是一種常用的方法，尤其是不使用計算器時，不失為一種方便、快捷的方法。由於中考可以使用計算器，我們不經常使用配方法，但上高中以後會經常用到。
2、如圖，在平面直角座標系中，點的座標與線段
的程度有關，一般情況下│x│=pm，│y│=pn，只有點p落在第一象限時才有x=pm， y=pn。因此，在這類
題目中使用的點常常在第一象限。題目通過圖象上的點的座標轉換為線段的長度，將代數與幾何等聯絡起來。
3、在解這類題目時，正確的畫出函式圖象和從圖象（或圖形）中獲取資訊十分重要。在判斷△abc的形狀時，我們從圖形上可以直觀感覺到是直角三角形，然後使用勾股定理的逆定理去判斷。
例3 如圖，在平面直角座標系中，二次函式的圖象的頂點為d點，與y軸交於c點，與x軸交於a、b兩點， a點在原點的左側，b點的座標為（3，0），ob＝oc ，tan∠aco＝．
（1）求這個二次函式的表示式．
（2）經過c、d兩點的直線，與x軸交於點e，
在該拋物線上是否存在這樣的點f，使以點a、c、
e、f為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點f的座標；若不存在，請說明理由．
解：（1）方法一：由已知得：c（0，－3），a（－1，0）
∵a、b、c三點在拋物線上
∴ 解得
∴方法二：點 a（－1，0）， b（3，0）是拋物線與x軸的交點
設拋物線為：（a＞0）
∵點c（0，-3）在拋物線上
∴a（0+1）（0-3）=-3 解得
∴（2）方法一：存在，如圖中f點
過c作cf∥ae，
cf與拋物線相交於點f（x，-3）
∵d是拋物線的頂點
∴xd=
yd=∴d（1，－4）
設過c、d的直線為：y=kx+b（k≠0）
∴ 解得
∴∴e點的座標為（－3，0） ∴ae=2
∵f（x，-3）在拋物線上
∴f（2，－3） ∴cf=2
∵cf∥ae，cf=ae=2
∴以a、c、e、f為頂點的四邊形為平行四邊形
∴存在點f（2，－3）
方法二：同上，可求得e（－3，0）
如圖，以a、c、e為頂點的
平行四邊形的第四個頂點為f1、f2、f3，
顯然，只有f1在拋物線上
∴存在點f（2，－3）
注意：解（2）的方法一利用點座標來證明「有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形」。這裡由於過c作cf∥ae，這時，點c與點f的縱座標相等。
只要求出點f的橫座標，就可以算出線段cf的長度。
解（2）的方法二是一種傳統方法，如上圖可知，在平面直角座標系中，如果已知乙個平行四邊形的三個頂點，那麼這個平行四邊形的第四個頂點就有三種情況。
例4 如圖，在梯形中，，
，，於點e，
f是cd的中點，dg是梯形的高．
（1）求證:四邊形aefd是平行四邊形；
（2）設，四邊形degf的面積為y，求y關於x的函式關係式.
（1）證明：∵ ∴梯形abcd為等腰梯形
∵∠c=60° ∴
在△abd中，
bdc=90°
∵∠bdc=∠aed =90° ∴ae∥df.
在rt△aed中，∠ade =30° ∴ae=ac
f是cd的中點 ∴df=cd=ac=ae
在四邊形aefd中，ae∥df ae. =df
四邊形aefd是平行四邊形.
（2）解：在rt△aed中, ∵ ∴.
在rt△dgc中 ∠c=60°
∵sin60°= ∴dg=cdsin60°=x
∵ ∴
∴s四邊形degf=ef·dg=x2
注意：這道題很有意思，在圖中△abe、△ade、△fed、△feg、△cdg這五個三角形全等。它們都是有乙個60°角，有一條長直角邊相等的直角三角形。
例5 如圖，四邊形abcd中，ad＝cd，∠dab＝∠acb＝90°，過點d作de⊥ac，垂足為f，de與ab相交於點e．已知ab＝15 cm，bc＝9 cm，p是射線de上的動點．設dp＝x cm（x＞0），四邊形bcdp的面積為y cm2．
（1）求y關於x的函式關係式；
（2）當x為何值時，△pbc的周長最小，並求出此時y的值．
解：（1）∵de⊥ac ∴∠dfc＝∠fcb＝90°
∴bc∥df
四邊形bcdp是梯形
在rt△abc中 ac2+bc2=ab2
在△acd中，∵da=dc df⊥ac
cf=af=6
∴（x＞0）．
（2）∵bc＝9（定值）
∴要使△pbc的周長最小，只需pb＋pc最小
∵點p是線段ab垂直平分線上的點
∴pa=pc
∴pb+pc＝pb+pa 故只要求pb+pa最小．
如圖，顯然當p與e重合時pb+pa最小
此時x=dp＝de，pb+pa＝ab
在△dae和△abc中
∵bc∥df ∴∠aef=∠b
∵∠dfa=∠acb=90°
∴△dae∽△acb ∴ 即
在△afe和△acb中
∵∠fae=∠cab ∠afe=∠acb=90°∴△afe∽△acb
∴即 ∴ae=
在rt△ade和△cab中
∵∠aef=∠b ∴tan∠aef=tan∠b
∴ 即
∴ad=10 ∴
∴當時，△pbc的周長最小，此時．
注意：這道題的第二問的解答太複雜，可以不看。但是，這裡介紹了一種求線段長度的方法。
我們知道，可以利用「全等三角形對應邊相等」求線段的長度，實際上，還可以利用「相似三角形對應線段成比例」求線段的長度。題目中先後兩次使用相似三角形。
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