解答開放題
我們知道中考數學試卷中會有一些開放性試題，這些試題考查的知識點較多，綜合性強，還考查對數學的理解和對數學知識的運用，靈活多變，有一定的難度。
開放性試題，可以分為三類，即條件開放性試題、過程開放性試題、結論開放性試題，這些試題沒有固定的解題步驟和解答的程式，且答案不唯一。
下面我們就看幾個例題，希望能幫助你掌握解答這類試題的基本方法。
例1 如圖，在下面四個等式：①，②，③，④中選出兩個作為條件，推出是等腰三角形．寫出所有的方法，並完成其中一種的證明．
分析：這是乙個條件開放的題目。
首先，我們將條件進行組合。
根據下表可以得到12種組合，由於其中（1，2）與（2，1）表示同一種意思，所以去掉重合後共有6種組合。即:
（1）①，②
（2）①，③
（3）①，④
（4）②，③
（5）②，④
（6）③，④
然後，我們從結論出發去思考。
（1）若是等腰三角形，則必須ae= de，需要△abe≌△dce
（2）若是等腰三角形，則必須∠ead=∠eda，需要△abd≌△dca
顯然，每個組合中的兩個條件是不夠的，題目中還有哪些隱含的條件呢？我們發現，圖中的∠aeb=∠dec（對頂角相等）。這樣，我們發現：
組合（1）：①，②再加上圖中的∠aeb=∠dec（對頂角相等）不能證明△abe≌△dce或△abd≌△dca全等。
組合（2）：①，③再加上圖中的∠aeb=∠dec（對頂角相等）→△abe≌△dce（sas）
組合（3）：①，④再加上圖中的∠aeb=∠dec（對頂角相等）→△abe≌△dce（sas）
組合（4）②，③再加上圖中的∠aeb=∠dec（對頂角相等）→△abe≌△dce（asa）
組合（5）②，④再加上圖中的∠aeb=∠dec（對頂角相等）→△abe≌△dce（sas）
組合（6）：③，④再加上圖中的∠aeb=∠dec（對頂角相等）也不能證明△abe≌△dce或△abd≌△dca全等。
而根據上面的組合，使△abd≌△dca全等不可能。
下面完成解答：
答：方法1：①③；
方法2：①④；
方法3：②③；
方法4：②④.
已知：①③（或①④，或②③，或②④）
求證：是等腰三角形．
證明：在和中，
∴∴ 即是等腰三角形
條件開放性試題，需要考慮完備性，即要將所有可能的情況都考慮到，這就需要選擇方法，在這裡我們使用了在計算概率時常用的方法——列表法，以保證各種情況都考慮到。
條件開放性試題，由於條件是開放的，因此，這類問題常常需要從結論出發進行分析思考，尋求結論成立所需要的條件，這是一種逆向思維的方法。
條件開放題，常常出現一些條件不能使結論成立，這類條件需要通過正確的判斷進行甄別，將不符合要求的條件捨去。
例2 如圖，直線的解析表示式為，
且與軸交於點，直線經過點a，b，直線，
交於點c．在直線上存在異於點的另一點，
使得與的面積相等，請直接寫出點
的座標．
分析：這是乙個過程開放的題目。
我們發現所求的p點必須滿足兩個條件：
條件1，點在直線上；
條件2，使得與的面積相等。
我們知道，兩個三角形面積相等的條件有圖1
（1）等底同高的兩個三角形的面積相等。如圖1，a是cp的中點，de⊥cp，垂足為e，則與的面積相等。
（2）同底等高的兩個三角形面積相等。如圖2，
ad⊥bc，a/d⊥bc，a//d⊥bc，垂足分別為d、e、f，且ad= a/d= a//d，則與△a/bc圖2
△a//bc的面積相等。
（3）全等三角形的面積相等。如圖3，延長da
到e，使ae=da，在ca的延長線上取點p，使ca=ap，
連線ep，顯然構造的△aep與△adc全等，則與
的面積相等圖3
我們發現，根據條件1，與的位置應該
與圖1或圖3類似。
對於圖1，我們只要使pa=ac即可。也就是將點c繞
點a旋轉180°，就得到p點。只要知道了點c的座標，就可以寫出點p的座標了。從圖中我們可以直觀的看
出c（-3，2），則p（6，3）。
對於圖3，我們要使ae=ad，還要使pa=ac，同樣只要知道點c的座標，就可以寫出點p的座標了。
這時我們還需要再找一下，看還有沒有滿足條件的點。顯然沒有了。
另外我們還可以驗證一下，我們找到的p點，是否在l2上：
根據圖中提供的資訊，我們知道a（4，0），b（3，），這時，直線l2的解析表示式為，將p（6，3）代入解析式，等式成立。因此，p（6，3）就是符合條件的點。
例3 如圖，已知半徑為1的與軸交於兩點，為的切線，切點為，圓心的座標為（2，0），線段上是否存在一點，使得以為頂點的三角形與相似．若存在，請求出所有符合條件的點的座標；若不存在，請說明理由．
分析：這是乙個結論開放的題目。
我們發現所求的p點必須滿足兩個條件：
條件1，點**段om上；
條件2，使得以為頂點的三角形與△oo1m相似。
我們知道是直角三角形，且oo1=2，o1m=1，根據勾股定理，可得mo=。
若以為頂點的三角形與△oo1m相似，則它也一定是直角三角形，且∠moo1為公共角。顯然這樣的三角形是很容易作出來的，點p一定存在。
我們可以通過作垂線構造直角三角形：
（1）如圖，過a作pa⊥x軸，垂足為p。p點的橫座標就是線段oa的長度1，縱座標就是線段ap的長度。
我們可以利用「相似三角形對應邊成比例」求得線段oa、ap的長度：
由於△oap∽△omo1→→→ap=，故p（1，）。
我們還可以利用「銳角三角函式」求線段ap的長度：
在rt△omo1中，由於oo1=2，o1m=1，所以，
tan∠moo1=
在rt△oap中，由於oa=1，所以tan∠aop=
因為∠moo1=∠aop，所以tan∠moo1=tan∠aop，即
故ap=，p（1，）。
我們還可以利用「特殊的直角三角形的性質」 求線段ap的長度：
在rt△omo1中，由於oo1=2，o1m=1，所以∠moo1=30°
在rt△oap中，由於oa=1，tan∠aop= tan 30°==
故ap=，p（1，）。
（2）如圖，過a作ap⊥om，垂足為p，過p
點作ph⊥x軸，垂足為h，這時點p的橫座標就是
線段oh的長度，縱座標就是線段hp的長度。
在rt△oap中，由於oa=1，∠aop=30°，cos30°==
在rt△ohp中，由於op=，∠hop=30°，
sin 30°=→hp=opsin30°=×=
cos30°=→oh=op cos30°=×=
故p（，）
符合條件的點座標有（1，）和（，）
例4 如圖，在平面直角座標系中，的頂點的座標為（10，0），頂點在第一象限內，且，．在過o，b，a的拋物線上是否存在一點，使以為頂點的四邊形為梯形？若存在，有幾個這樣的點p？並求出在第一象限的點的座標；若不存在，請說明理由；
分析：根據已知條件：的頂點
的座標為（10，0），頂點在第一象限
內，且，。我們知道
這樣的三角形是唯一確定的。
為求出點p，我們需要完成下列任務：
（1）畫出過o，b，a的拋物線的草圖；
（2）在拋物線上畫出梯形；
（3）出點的座標（只求在第一象限的點的座標）
我們知道點b不是拋物線的頂點，因此，拋物線的對稱軸應該是線段oa的中垂線，這樣可以畫出草圖（如下圖）：
我們知道：「有一組對邊平行的四邊形是梯形」，同時，以o，b，a為頂點的三角形有三條邊，我們可以過三角形的任意乙個頂點，作對邊的平行線，看這條平行線是否與拋物線相交，如果相交，交點就是p。如下圖：
bp∥oaop∥abap∥ob
我們可以清楚的看到符合條件的點p共有三個。當bp∥oa時，點p在第一象限；當op∥ab時，點p在第四象限；當ap∥ob時，點p在第三象限。
當p在第一象限時，點p的縱座標與點b的縱座標相同。
我們可以這樣來解：
解：如圖，存在，共有3個。
過b作bc⊥oa，垂足為c
在rt△abc中 ∵ 即=
∴bc=ab=×=3
由勾股定理，得 bc2+ac2=ab2 ∴ac=
∴oc=oa-ca=4
∴b（4，3）
設過o、a、b三點的拋物線為：y=ax2+bx（a≠0）
根據題意，得解得
y=x2+x
設p（x，3）在y=x2+x上，當y=3時，得 x2+x =3
整理，得 x2-10x+24=0
解得 x1=4（與點b重合，捨去） x2=6
p（6，3）
你發現了嗎？題目中並沒有要求我們畫圖、求點b的座標、求二次函式的解析式，我們為什麼要做這些呢？
首先，畫圖是為了能夠清楚地表達我們找到的點p的位置。
其次，為求在第一象限的點p的座標，我們發現點p的縱座標與點b的縱座標相同，同時點p又是拋物線上的點，因此，需要求出點b的座標和二次函式的解析式。
綜上所述，解答開放性題目，需要「數形結合」，即從形的角度探索，從數的角度論證。圖形在解題過程中起到很重要的作用。
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