1．（典型例題）如圖，在四稜錐p-abcd中，底面abcd是正方形，側稜pd⊥底面abcd，pd=dc，e是pc的中點，作ef⊥pb於點f.
（1）證明：pa//平面edb；
（2）證明：bp⊥平面efd；
[對症下藥]（1）如圖，連線ac、ac交bd於o，連線eo。∵底面abcd為正方形，∴o為ac的中點，在△pac中，eo是中位線，∴pa//eo，又eo平面edb，且pa平面edb，所以pa//平面edb；
（2）∵pd⊥平面abcd，∴平面pdc⊥平面abcd，又底面abcd為正方形，∴bc⊥cd，∴bc⊥平面pcd，∴bc⊥de，又de⊥pc，∴de⊥平面pbc，∴df在平面pbc上的射影為ef，又ef⊥pb，∴df⊥pb，又pb⊥ef，∴pb⊥平面def；
（3）由（2）知，pb⊥df，故∠efd是二面角c—pb—d的平面角。由（2）知，de⊥ef，pd⊥db，設正方形abcd的邊長為a則pd=dc=a，bd=a，pb=a，pc=a,de=pc=,在rt△pdbk ,of=.在rt△efd中，sin∠efd=,∴∠efd=所以二面角c—pb—d的大小為
2.（典型例題）如圖10-4所示，在正三稜錐a—bcd中，∠bac=30°，ab=a，平行於ad、bc的截面efgh分別交ab、bd、dc、ca於e、f、g、h。
（1）判定四邊形efgh的形狀，並說明理由；
（2）設p是稜ad上的點，當ap為何值時，平面pbc⊥平面efgh，請給出證明。
[專家把脈]正三稜錐的性質不熟悉而出錯，正三稜錐的相對的稜互相垂直；正三稜錐的三個側面是等腰三角形不是等邊三角形。
[對症下藥]（1）∵ad∥面efgh，面acd面efgh=hg，∴ad∥hg，同理ef∥ad，所以hg∥ef，同理eh∥fg，∴efgh為平行四邊形。又a—bcd為正三稜錐，∴a在底面bcd上的射影o是△bcd的中心，∴do⊥bc，根據三垂線定理，ad⊥bc，∴hg⊥eh，四邊形efgh為矩形；
（2）作cp⊥ad於p點，連線bp，∵ad⊥bc，∴ad⊥面bcp，∴hg∥ad，∴hg⊥面bcp，又hg面efgh，∴面bcp⊥面efgh，在rt△apc中，∠cap=30°，ac=a, ∴ap=.
專家會診
解線面位置關係的題目，首先要熟悉各種位置關係的判定方法及性質，其次解題時應將判定與性質結合起來，多用分析法，如要證a∥α則過a作一平面β，使βα=b，再證a∥b；第三要善於轉化，如兩條羿面直線是否垂直，要用三垂線定理將其轉化為兩相交直線是否垂直。線面的位置關係是立體幾何的基礎，學習時應予以重視。
空間角1．（典型例題）如圖10-8，在三稜錐s—abc中，△abc是邊長為4的正三角形，平面sac⊥平面abc，sa=sc=2，m、n分別為ab、sb的中點。
（1）證明：ac⊥sb；
（2）求二面角n—cm—b的大小；
（3）求點b到平面cmn的距離。
[專家把脈] 求二面角的大小時，只顧用定義作出二面角的平面角，給計算千百萬麻煩或根本就算不出來，所以一般用三垂線定理來作二面角的平面角，就是便於計算。
[對症下藥] （1）如圖10-9，取ac中點d，連線sd，db，∵sa=sc，ab=bc，∴ac⊥sd，且ac⊥bd，∴ac⊥平面sdb。又sb 平面sdb，∴ac⊥sb。
（2）取bd的中點e，連線ne，過e作ef⊥cm於f，連續nf，∵平面sac⊥平面abcd，sd⊥ac，∴sd⊥面abcd，又n、e分別為sb、bd的中點，∴ne∥sd，ne⊥面abc，又ef⊥cm，∴nf⊥cm，∴∠nfe為二面角n—cm—b的平面角。
ne=sd=，在正△abc中，由平面幾何知識可求得ef=mb=，在rt△nef中，tan∠nef=,∴二面角n—cm
b的大小是arctan2；
（3）在rt△nef中，nf=
∴s△cmn=cm·nf=，s△cmb=bm·cm=2.設點b到平面cmn的距離為h, ∵vb—cmn=vn-cmb,ne⊥平面cmb，∴s△cmn·h=s△cmb·ne，∴h=即點b到平面cmn的距離為。
2．（典型例題）在長方體abcd—a1b1c1d1中，已知ab=4，ad=3，aa1=2，e、f分別是線段ab、bc上的點，且eb=fb=1。
（1）求二面角c—de—c1的正切值
（2）求直線ec1與fd1所成角的余弦值。
[對症下藥] 正解一：（1）如圖過c作cg⊥de，垂足為g，連線c1g。∵cc1⊥平面abcd，∴cg是c1g在平面abcd上的射影，由三垂線定理得de⊥c1g。
∴∠cgc1是二面角c—de—c1的平面角。
在△ade中，ae=ad=3，∠dae=90°，∴∠ade=45°，得∠cdg=45°，∴cg=cd·sin∠cdg=2
∴tan∠cgc1=
∴二面角c—de—c1的正切值為
（2）延長ba至點e1，使ae1=1，連線de1有d1c1∥e1e，d1c1=e1e，∵四邊形d1e1ec1是平行四邊形。∴e1d1∥ec1，於是∠e1d1f為ec1與fd1所成的角。
在rt△be1f中，e1f=，在rt△d1de1中，d1e1=，在rt△d1df中，fd1=，所以在△e1fd1中，由餘弦定理得：cos∠e1d1f=
正解二：（1）以a為原點，分別為x軸,y軸,z軸的正向建立空間直角座標系,則有d(0,3,0)、d1（0，3，2）、e（3，0，0）、f（4，1，0）c1（4，3，2）於是=（3，-3，0），=(1,3,2),=(-4,2,2).設向量=(x,y,z)為平面c1dea的法向量,則有,得x=y=-,令x=1,得=(1,1,-2),向量=(0,0,2)與平面cde垂直, 成的角θ為二面角c—de—c1的平面角。
（2）設ec1與fd1所成的角為β，則cosβ=
1 如圖，在矩形abcd中，ab=1，bc=a，現沿ac折成二面角d—ac—b，使bd為異面直線ad、bc的公垂線。
（1）求證：平面abd⊥平面abc；
答案：解：(1)∵ad⊥cd，ad⊥bd，∴ad⊥平面bcd，∴bc⊥ad，又bc上bd，∴bc⊥平面abd，而bc平面abc，故面abd⊥面abc．
（2）a為何值時，二面角d—ac—b為45°；
答案：∵面abd上面abc，作de⊥ab於e，則de⊥平面abc，作ef⊥ac於f，由三垂線定理有ac⊥df，∴∠dfe為二面角d---ac--b的平面角．在rt△adc中，ad2=af．ac，
∴af=又rt△afe∽rt△abc， ∴ef=
（3）a為可值時，異面直線ac與bd所成的角為60°。
答案：作bm⊥ac於m，過點o作bn∥ac與fe的延長線交於點，則bmfn為矩形，且bn⊥dn．∴∠dbn為異面直線ac與bd所成的角．∵mf=ac-2af=
∴又在rt△bnd中cos∠dbn=
6 3 幾何證明舉例
課題名稱5 6 3 幾何證明舉例授課時間 教學目標 1 證明並掌握線段垂直平分線的性質定理及逆定理。2 學會上述定理在幾何證明及計算中的應用 教學重 難點定理在幾何證明及計算中的應用 課前準備導學案 學案教學記 一 預習導航 知識鏈結 1 線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是。2 線段垂直平分線的性質是。...
空間幾何證明
空間幾何證明 線面平行垂直與異面直線夾角23 立體幾何線面平行與直線夾角 2011.1 25 如圖，點p為矩形abcd所在平面外一點，pa 平面abcd，點e為pa的中點。1 求證 pc 平面bed 2 求異面直線ad與pb所成角的大小。2011.7 24 在正方體中 求證 求異面直線與所成角的大小...
11 5幾何證明舉例 4
幾何證明舉例導學案 四 學習目標 1 進一步掌握直角三角形的性質，並能夠熟練應用 2 通過本節課的學習能夠熟練地寫出證明的已知 求證 3 證明要合乎邏輯，能夠應用綜合法熟練地證明幾何命題。一 自主預習課本p134內容，獨立完成課後練習1 2後，與小組同學交流 二 通過預習直角三角形的性質及全等三角形...