§8 立體幾何中的向量方法(ⅱ)——求空間角與距離
(時間：45分鐘滿分：100分)
一、選擇題(每小題7分，共28分)
1. 如圖所示，已知正方體abcd—a1b1c1d1，e、f分別是正方形a1b1c1d1和add1a1的中心，則ef和cd所成的角是( )
a.60° b.45° c.30° d.90°
2.在正方體abcd—a1b1c1d1中，m是ab的中點，則sin〈，〉的值等於( )
a. b. c. d.
3.長方體abcd—a1b1c1d1中，ab＝aa1＝2，ad＝1，e為cc1的中點，則異面直線bc1與ae所成角的余弦值為( )
a. b. c. d.
4.設正方體abcd—a1b1c1d1的稜長為2，則點d1到平面a1bd的距離是( )
a. b. c. d.
二、填空題(每小題7分，共28分)
5．正四稜錐s—abcd中，o為頂點在底面上的射影，p為側稜sd的中點，且so＝od，則直線bc與平面pac所成的角是________．
是二面角α—ab—β稜上的一點，分別在α、β平面上引射線pm、pn，如果∠bpm＝∠bpn＝45°，∠mpn＝60°，那麼二面角α—ab—β的大小為 .
7. 如圖所示，pd垂直與正方形abcd所在平面，ab=2，e為pb的中點，cos〈〉=,若以da，dc，dp所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角座標系，則點e的座標為 .
8.正方體abcd—a1b1c1d1的稜長為1，e、f分別為bb1、cd的中點，則點f到平面a1d1e的距離為 .,
三、解答題(共44分)
9．(14分)在稜長為1的正方體abcd—a1b1c1d1中，e、f分別是d1d、bd的中點，g在稜cd上，且cg＝cd，應用空間向量方法解下列問題：
(1)求證：ef⊥b1c；
(2)求ef與c1g所成角的余弦值．
10．(15分)正三稜柱abc—a1b1c1的底面邊長為a，側稜長為a，求ac1與側面abb1a1所成的角．
11．如圖所示，在五面體abcdef中，fa⊥平面abcd，ad∥bc∥fe，ab⊥ad，m為ec的中點，af＝ab＝bc＝fe＝ad.
(1)求證：bf⊥dm；
(2)求二面角a—cd—e的余弦值
答案5. 30° 6. 90° 7. (1，1，1)8.
9. (1)證明如圖所示，建立空間直角座標系，d為座標原點，
則e，f，
c(0,1,0)，c1(0,1,1)，b1(1,1,1)，g.
＝，＝(－1,0，－1)．
∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0.
⊥，即ef⊥b1c.
(2)∵＝，∴||＝.
又·＝×0＋×＋×(－1)＝，
＝，∴cos﹤，〉＝＝，
即異面直線ef與c1g所成角的余弦值為.
10. 解方法一建立如圖所示的空間直角座標系，則a(0,0,0)，b(0，a,0)，a1(0,0， a)，c1，取a1b1的中點m，則m，連線am、mc1， 則＝，＝(0,a,0)，＝(0,0， a)．
·＝0，·＝0．∴mc1⊥平面abb1a1.
∴∠c1am是ac1與側面abb1a1所成的角．
＝，＝，
·＝0＋＋2a2＝.＝＝a，
＝＝a，
cos30°，
即ac1與側面abb1a1所成的角為30°.
方法二 (法向量法)(接方法一)
＝(0,0， a)．＝(0，a,0)， 設側面abb1a1的法向量n＝(λ，x，y)，
∴ n·＝0且n·＝0 ∴ax＝0且ay＝0，∴x＝y＝0，故n＝(λ，0,0)．
∵＝，cos〈〉，n〉＝＝＝－.
設所求線面角為θ， 則sinθ=＝，故θ＝30°.
點評方法二給出了求線面角的一般方法，先求平面法向量與斜線方向向量的夾角φ，則線面角θ滿足sin θ＝|cos φ|.
11. 解以a為座標原點，建立如圖所示的空間直角座標系，不妨設ab＝1，
依題意得a(0,0,0)、b(1,0,0)、c(1,1,0)、d(0,2,0)、e(0,1,1)、f(0,0,1m.
(1)證明 ＝(－1,0,1)，＝，
∴·＝－＋0＋＝0，∴bf⊥dm.
(2)解設平面cde的乙個法向量為u＝(x，y，z)，
,又＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，∴
令x＝1，可得u＝(1,1,1)．
又由題設，平面acd的乙個法向量為v＝(0,0,1)，
∴cos〈u，v〉＝＝＝.
故二面角a—cd—e的余弦值為.
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