§1－3 空間向量與立體幾何
【知識要點】
1．空間向量及其運算：
(1)空間向量的線性運算：
①空間向量的加法、減法和數乘向量運算：平面向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則拓廣到空間依然成立．
②空間向量的線性運算的運算律：
加法交換律：a＋b＝b＋a；
加法結合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb．
(2)空間向量的基本定理：
①共線(平行)向量定理：對空間兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使得a∥λb．
②共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，則向量c與向量a，b共面的充要條件是存在惟一一對實數λ，μ，使得c＝λa＋μb．
③空間向量分解定理：如果三個向量a，b，c不共面，那麼對空間任一向量p，存在惟一的有序實陣列λ1，λ2，λ3，使得p＝λ1a＋λ2b＋λ3c．
(3)空間向量的數量積運算：
①空間向量的數量積的定義：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉；
②空間向量的數量積的性質：
a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥ba·b＝0；
|a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜．
③空間向量的數量積的運算律：
(λa)·b＝λ(a·b)；
交換律：a·b＝b·a；
分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(4)空間向量運算的座標表示：
①空間向量的正交分解：建立空間直角座標系oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引單位向量i，j，k，則這三個互相垂直的單位向量構成空間向量的乙個基底{i，j，k｝，由空間向量分解定理，對於空間任一向量a，存在惟一陣列(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，那麼有序陣列(a1，a2，a3)就叫做空間向量a的座標，即a＝(a1，a2，a3)．
②空間向量線性運算及數量積的座標表示：
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
λa＝(λa1，λa2，λa3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．
③空間向量平行和垂直的條件：
a∥b(b≠0) a＝λba1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈r)；
a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．
④向量的夾角與向量長度的座標計算公式：
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
在空間直角座標系中，點a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則a，b兩點間的距離是
2．空間向量在立體幾何中的應用：
(1)直線的方向向量與平面的法向量：
①如圖，l為經過已知點a且平行於已知非零向量a的直線，對空間任意一點o，點p在直線l上的充要條件是存在實數t，使得，其中向量a叫做直線的方向向量．
由此可知，空間任意直線由空間一點及直線的方向向量惟一確定．
②如果直線l⊥平面α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．
由此可知，給定一點a及乙個向量a，那麼經過點a以向量a為法向量的平面惟一確定．
(2)用空間向量刻畫空間中平行與垂直的位置關係：
設直線l，m的方向向量分別是a，b，平面α，β的法向量分別是u，v，則
①l∥ma∥ba＝kb，k∈r；
②l⊥ma⊥ba·b＝0；
③l∥αa⊥ua·u＝0；
④l⊥αa∥ua＝ku，k∈r；
⑤α∥u∥vu＝kv，k∈r；
⑥α⊥βu⊥vu·v＝0．
(3)用空間向量解決線線、線面、麵麵的夾角問題：
①異面直線所成的角：設a，b是兩條異面直線，過空間任意一點o作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所夾的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角．
設異面直線a與b的方向向量分別是v1，v2，a與b的夾角為θ，顯然則
②直線和平面所成的角：直線和平面所成的角是指直線與它在這個平面內的射影所成的角．
設直線a的方向向量是u，平面α的法向量是v，直線a與平面α的夾角為θ，顯然
，則③二面角及其度量：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．記作α－l－β在二面角的稜上任取一點o，在兩個半平面內分別作射線oa⊥l，ob⊥l，則∠aob叫做二面角α－l－β的平面角．
利用向量求二面角的平面角有兩種方法：
方法一：
如圖，若ab，cd分別是二面角α－l－β的兩個麵內與稜l垂直的異面直線，則二面角α－l－β的大小就是向量的夾角的大小．
方法二：
如圖，m1，m2分別是二面角的兩個半平面α，β的法向量，則〈m1，m2〉與該二面角的大小相等或互補．
(4)根據題目特點，同學們可以靈活選擇運用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題．
【複習要求】
1．了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其座標表示．
2．掌握空間向量的線性運算及其座標表示．
3．掌握空間向量的數量積及其座標表示；能運用向量的數量積判斷向量的共線與垂直．
4．理解直線的方向向量與平面的法向量．
5．能用向量語言表述線線、線面、麵麵的垂直、平行關係．
6．能用向量方法解決線線、線面、麵麵的夾角的計算問題．
【例題分析】
例1 如圖，在長方體oaeb－o1a1e1b1中，oa＝3，ob＝4，oo1＝2，點p在稜aa1上，且ap＝2pa1，點s在稜bb1上，且b1s＝2sb，點q，r分別是o1b1，ae的中點，求證：pq∥rs．
【分析】建立空間直角座標系，設法證明存在實數k，使得
解：如圖建立空間直角座標系，則o(0，0，0)，a(3，0，0)，b(0，4，0)，o1(0，0，2)，a1(3，0，2)，b1(0，4，2)，e(3，4，0)．
∵ap＝2pa1， ∴
∴同理可得：q(0，2，2)，r(3，2，0)，
，又rpq，
∴pq∥rs．
【評述】1、證明線線平行的步驟：
(1)證明兩向量共線；
(2)證明其中乙個向量所在直線上一點不在另乙個向量所在的直線上即可．
2、本體還可採用綜合法證明，連線pr，qs，證明pqrs是平行四邊形即可，請完成這個證明．
例2 已知正方體abcd－a1b1c1d1中，m，n，e，f分別是稜a1d1，a1b1，d1c1，b1c1的中點，求證：平面amn∥平面efbd．
【分析】要證明面面平行，可以通過線線平行來證明，也可以證明這兩個平面的法向量平行．
解法一：設正方體的稜長為4，如圖建立空間直角座標系，則d(0，0，0)，a(4，0，0)，m(2，0，4)，n(4，2，4)，b(4，4，0)，e(0，2，4)，f(2，4，4)．
取mn的中點k，ef的中點g，bd的中點o，則o(2，2，0)，k(3，1，4)，g(1，3，4)．
＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，1，4)，
∴∥，，∴mn//ef，ak//og，
∴mn∥平面efbd，ak∥平面efbd，
∴平面amn∥平面efbd．
解法二：設平面amn的法向量是a＝(a1，a2，a3)，平面efbd的法向量是
b＝(b1，b2，b3)．
由得取a3＝1，得a＝(2，－2，1)．
由得取b3＝1，得b＝(2，－2，1)．
∵a∥b，∴平面amn∥平面efbd．
注：本題還可以不建立空間直角座標系，通過綜合法加以證明，請試一試．
例3 在正方體abcd－a1b1c1d1中，m，n是稜a1b1，b1b的中點，求異面直線am和cn所成角的余弦值．
解法一：設正方體的稜長為2，如圖建立空間直角座標系，則d(0，0，0)，a(2，0，0)，m(2，1，2)，c(0，2，0)，n(2，2，1)．
設和所成的角為θ，則
∴異面直線am和cn所成角的余弦值是
解法二：取ab的中點p，cc1的中點q，連線b1p，b1q，pq，pc．
易證明：b1p∥ma，b1q∥nc，
∴∠pb1q是異面直線am和cn所成的角．
設正方體的稜長為2，易知
∴∴異面直線am和cn所成角的余弦值是
【評述】空間兩條直線所成的角是不超過90°的角，因此按向量的夾角公式計算時，分子的數量積如果是負數，則應取其絕對值，使之成為正數，這樣才能得到異面直線所成的角(銳角)．
例4 如圖，正三稜柱abc－a1b1c1的底面邊長為a，側稜長為，求直線ac1與平面abb1a1所成角的大小．
【分析】利用正三稜柱的性質，適當建立空間直角座標系，寫出有關點的座標．求角時有兩種思路：一是由定義找出線面角，再用向量方法計算；二是利用平面abb1a1的法向量求解．
解法一：如圖建立空間直角座標系，則a(0，0，0)，b(0，a，0)，
取a1b1的中點d，則，連線ad，c1d．
則∴dc1⊥平面abb1a1，
∴∠c1ad是直線ac1與平面abb1a1所或的角．
，∴直線ac1與平面abb1a1所成角的大小是30°．
解法二：如圖建立空間直角座標系，則a(0，0，0)，b(0，a，0)，a1(0，0，)，，從而
設平面abb1a1的法向量是a＝(p，q，r)，
由得取p＝1，得a＝(1，0，0)．
設直線ac1與平面abb1a1所成的角為
【評述】充分利用幾何體的特徵建立適當的座標系，再利用向量的知識求解線面角；解法二給出了一般的方法，即先求平面的法向量與斜線的夾角，再利用兩角互餘轉換．
例5 如圖，三稜錐p－abc中，pa⊥底面abc，ac⊥bc，pa＝ac＝1，，求二面角a－pb－c的平面角的余弦值．
解法一：取pb的中點d，連線cd，作ae⊥pb於e．
∵pa＝ac＝1，pa⊥ac，
∴pc＝bc＝，∴cd⊥pb．
∵ea⊥pb，
∴向量和夾角的大小就是二面角a－pb－c的大小．
如圖建立空間直角座標系，則c(0，0，0)，a(1，0，0)，b(0，，0)，p(1，0，1)，由d是pb的中點，得d
由得e是pd的中點，從而
即二面角a－pb－c的平面角的余弦值是
解法二：如圖建立空間直角座標系，則a(0，0，0)，，c(0，1，0)，p(0，0，1)，
設平面pab的法向量是a＝(a1，a2，a3)，
平面pbc的法向量是b＝(b1，b2，b3)．
由得取a1＝1，得
由得取b3＝1，得b＝(0，1，1)．
∵二面角a－pb－c為銳二面角，
∴二面角a－pb－c的平面角的余弦值是
【評述】1、求二面角的大小，可以在兩個半平面內作出垂直於稜的兩個向量，轉化為這兩個向量的夾角；應注意兩個向量的始點應在二面角的稜上．
空間向量與立體幾何知識點
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